杨辉三角及其空间拓展PPT教学课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
杨辉三角及其空间拓展
小组成员：刘雅儒 郭良美 指导老师：
2020/12/10
1
• 杨辉（约十三世纪）字 谦光，钱塘（今浙江杭 州）人，是我国南宋时 的数学家，杨辉的数学 著作有《讲解九章算法》 十二卷，流传至今的只 是其中的一部分，其中 “开方作法本源”载有 二项式系数三角形，后 人称为杨辉三角形，此 外，他还著有《日用算 法》二卷，《乘除通变 算宝》三卷，《田亩比 类乘除捷法》二卷、 《续古摘奇算法》二卷 等。
(a 2)
(a 3)
(a 4)
x=n-m y=m
m=y n=x+y
y
P=C x+y
(a+b) 0 (a+b)1 (a+b)2
图 2.1
(a+b)3
2020/12/10
4
当研究了二维直角坐标系中的杨辉三角后，就很自然地 想到三维直角坐标系，我们完全可以将3个二维直角坐标 系中的杨辉三角放在一起，组成三维直角坐标系中的杨 辉三角。
b
角的平面公式。
∵本来杨辉三角第n行0、1、
(b 3) 1 (b 2)
4
10
20
(ab3)
(a2b3)
2、…m…n+1各数
3 (ab2)
6
10
(a2b2)
(a3b2)
(b 1)
则第(m+1)个数Pm=C
m n
当呈直角坐标系时
1
2
3
4
(ab)
(a2wk.baidu.com)
(a3b)
(b 0) 1
a
(a 0)
1
1
1
1
(a 1)
即所有的偶数依次排出 以 （ 2 n-1）（nN*） 的 长 度为边长的倒立的等边 三角形。
2020/12/10
3
直角坐标系中的杨辉三角
• 为了研究方便，我借鉴平面直角坐标系将杨辉三
角放了进去。在平面直角坐标系中（这里只考虑
整点），点与坐标就有一一对应的关系，这其中
就必然有规律，经过我们的推理，得出了杨辉三
2020/12/10
2
如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，便又会出 现一种奇特的现象，所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角 形状排列，而奇数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶 数）的边长依次为： 3、7、15、31、63……
经过反复思考比对，我 们又发出现了其中的规 律即：
3=22-1 7=23-1 15=24-1 31=25-1
• N维与N-1维的点的杨辉三角数（系数）的关系：
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=Pn-1|(a1,a2,a3…at-1,at+1…an-1,an)
(at =0) Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=Caa1na2an×Pn-1|(a1,a2,a3…an-2,an-1)
2020/12/10
Ca3 a1a2a3
Ca2 a1a2
对应为(d1+d2+d3+…+dn-1+dn)n的展开项的系数
2020/12/10
6
杨辉三角数与数之间的关系式：
• 同在N维的点所对应的N维杨辉三角数（系数） 之间的关系
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)= Pn|(a1-1,a2…an)+Pn|(a1,a21,a3…an)+… …+P|(a1,a2…at-1…an)+… …+Pn|( a1,a2…an-1)
7
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
8
• 平面杨辉三角中位于P(x,y)点的杨辉三角数
P|(x,y)=
C
y x
y
对应为 (a+b)n的展开项axby的系数
• 立体杨辉三角中位于P(x,y,z)点的杨辉三角数
P|(x,y,z)=
× C z x yz
Cy x y
对应为 (a+b+c)n的展开项axbycz的系数
• 四维杨辉三角中位于P(w,x,y,z)点的杨辉三角数
P|(w,x,y,z) = × × Cw wxyz
Cz x yz
Cy x y
对应为 (a+b+c+d)n的展开项axbyczdw的系数
• N维杨辉三角中位于P(a1,a2,a3…an-1,an)点的杨辉三角数
P |(a ,a ,a …a ,a )= ×……× × n 1 2 3
n-1 n
Can a1a2an
70 35 15
5 1 X (a)
Z (c)
1
5
15
35
70
5
15 35
10 20
6 10
3 4
1 1
1 4
4
10
20
35
1
3
6
10
15
3
12
1
2
6
1 12
1 4
2 3
2
3
12
1 3
6
10
1 4
10 20
4
5
1
1
5
15
35
Y (b)
5
15
35
70
2020/12/10
图 8.1
5
• 杨辉三角数公式：
小组成员：刘雅儒 郭良美 指导老师：
2020/12/10
1
• 杨辉（约十三世纪）字 谦光，钱塘（今浙江杭 州）人，是我国南宋时 的数学家，杨辉的数学 著作有《讲解九章算法》 十二卷，流传至今的只 是其中的一部分，其中 “开方作法本源”载有 二项式系数三角形，后 人称为杨辉三角形，此 外，他还著有《日用算 法》二卷，《乘除通变 算宝》三卷，《田亩比 类乘除捷法》二卷、 《续古摘奇算法》二卷 等。
(a 2)
(a 3)
(a 4)
x=n-m y=m
m=y n=x+y
y
P=C x+y
(a+b) 0 (a+b)1 (a+b)2
图 2.1
(a+b)3
2020/12/10
4
当研究了二维直角坐标系中的杨辉三角后，就很自然地 想到三维直角坐标系，我们完全可以将3个二维直角坐标 系中的杨辉三角放在一起，组成三维直角坐标系中的杨 辉三角。
b
角的平面公式。
∵本来杨辉三角第n行0、1、
(b 3) 1 (b 2)
4
10
20
(ab3)
(a2b3)
2、…m…n+1各数
3 (ab2)
6
10
(a2b2)
(a3b2)
(b 1)
则第(m+1)个数Pm=C
m n
当呈直角坐标系时
1
2
3
4
(ab)
(a2wk.baidu.com)
(a3b)
(b 0) 1
a
(a 0)
1
1
1
1
(a 1)
即所有的偶数依次排出 以 （ 2 n-1）（nN*） 的 长 度为边长的倒立的等边 三角形。
2020/12/10
3
直角坐标系中的杨辉三角
• 为了研究方便，我借鉴平面直角坐标系将杨辉三
角放了进去。在平面直角坐标系中（这里只考虑
整点），点与坐标就有一一对应的关系，这其中
就必然有规律，经过我们的推理，得出了杨辉三
2020/12/10
2
如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，便又会出 现一种奇特的现象，所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角 形状排列，而奇数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶 数）的边长依次为： 3、7、15、31、63……
经过反复思考比对，我 们又发出现了其中的规 律即：
3=22-1 7=23-1 15=24-1 31=25-1
• N维与N-1维的点的杨辉三角数（系数）的关系：
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=Pn-1|(a1,a2,a3…at-1,at+1…an-1,an)
(at =0) Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)=Caa1na2an×Pn-1|(a1,a2,a3…an-2,an-1)
2020/12/10
Ca3 a1a2a3
Ca2 a1a2
对应为(d1+d2+d3+…+dn-1+dn)n的展开项的系数
2020/12/10
6
杨辉三角数与数之间的关系式：
• 同在N维的点所对应的N维杨辉三角数（系数） 之间的关系
Pn|(a1,a2,a3…an-1,an)= Pn|(a1-1,a2…an)+Pn|(a1,a21,a3…an)+… …+P|(a1,a2…at-1…an)+… …+Pn|( a1,a2…an-1)
7
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
8
• 平面杨辉三角中位于P(x,y)点的杨辉三角数
P|(x,y)=
C
y x
y
对应为 (a+b)n的展开项axby的系数
• 立体杨辉三角中位于P(x,y,z)点的杨辉三角数
P|(x,y,z)=
× C z x yz
Cy x y
对应为 (a+b+c)n的展开项axbycz的系数
• 四维杨辉三角中位于P(w,x,y,z)点的杨辉三角数
P|(w,x,y,z) = × × Cw wxyz
Cz x yz
Cy x y
对应为 (a+b+c+d)n的展开项axbyczdw的系数
• N维杨辉三角中位于P(a1,a2,a3…an-1,an)点的杨辉三角数
P |(a ,a ,a …a ,a )= ×……× × n 1 2 3
n-1 n
Can a1a2an
70 35 15
5 1 X (a)
Z (c)
1
5
15
35
70
5
15 35
10 20
6 10
3 4
1 1
1 4
4
10
20
35
1
3
6
10
15
3
12
1
2
6
1 12
1 4
2 3
2
3
12
1 3
6
10
1 4
10 20
4
5
1
1
5
15
35
Y (b)
5
15
35
70
2020/12/10
图 8.1
5
• 杨辉三角数公式：