材料力学5 弯曲应力
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l
FP
q
FP
弯曲应力
弯曲应力
纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 弯曲切应力 梁弯曲时的强度条件 提高弯曲强度的措施 非对称截面梁的平面弯曲*
[ 1]
§纯弯曲时的正应力§
[ 2]
纯弯曲
剪力FQ：相切于横截面内力系的合力 剪力FQ 切应力t 弯矩M ：垂直于横截面内力系的合力偶 弯矩 M 正应力s
为正时，则s (y) 沿截面高度的分布规律：
压应力(–) 拉应力(+)
弯矩M
截面
受压一侧正应力为负， 受拉一侧正应力为正。
[ 13 ]
纯弯曲时正应力分布关系
s ( y) My
Iz
压应力(–) 拉应力(+)
截面
由公式可知，某一截面的最大正应力发 生在距离中性轴最远处。
弯矩M
s max
Mymax Iz
线。横向线与纵向线仍正交。
m
a
弯曲变形的平面假设：假设变形
后横截面仍保持平面，且仍然垂
b
直于变形后的梁轴线。
m'
此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。
a b
n
M
a
b
n'
[ 4]
实验观察
M
变形前
M
a
b
由于弯曲的作用，上部纤维缩 短，下部纤维伸长。
中间必有一层保持原长，这一 层称为: 中性层
变形后
m a
rdq
r
表明：距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y 成正
比，与 r 成反比。
[ 8]
纯弯曲时正应力公式的推导—物理关系
纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压 缩，当应力小于某一限值(比例极限)时，由胡克定律:
s E
几何关系代入 ( y) y r
得到
s (y) E y
r
[ 9]
1 M
r EI z
s ( y) E ( y) E y r
Ey 1 Ey M My
r
EI z I z
弯曲正应力公式 s ( y) My
Iz
M 该面的弯矩 y 该点与中性层距离 Iz 惯性矩
[ 12 ]
纯弯曲时的正应力
s ( y) My 弯曲正应力公式
Iz
对某一指定截面，M和Iz 都是确定的，当横截面的弯矩
[ 18 ]
横力弯曲时的正应力
横力弯曲时的正应力公式
s ( y) My
Iz
s
max
M Wz
对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大 的横截面上，其大小应为:
s
max
My Iz
max
最大正应力不仅与弯矩M 有关，且与截面形状尺寸有关。
[ 19 ]
[例]已知图示简支梁，受均布载荷作用，q=60kN/m。
b m'
a b
n
M
a
b n'
[ 5]
实验观察
b
B
C
c
中性轴
A
a
b
横截面
c
B'
中性层 C'
a
A'
b M
c
a
b c 中性轴 a
cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴。
中性轴通过横截面形心。
杆件弯曲过程中，横截面绕对应的中性轴转动。
[ 6]
纯弯曲时正应力公式的推导过程 变形应变应力应变关系变换公式得到应力公式 变形几何关系 物理关系 静力学关系
πd 3 32
2
[ 15 ]
y z
d D
D4 1 4
I
＝
z
64
D3 1 4
Wz＝
32
＝ d
DyHhzbBIz
BH 3 12
(1
bh3 BH 3
)
Wz
Iz ymax
BH 2 6
(1
bh3 BH 3 )
[ 16 ]
§横力弯曲时的正应力§
[ 17 ]
横力弯曲
梁的横力弯曲：横截面上既有正应力又有切应力。 在横力弯曲下，横截面不再保持平面，而且往往也不能保 证纵向纤维之间没有挤压。 虽然横力弯曲和纯弯曲之间存在差异，但进一步的分析 表明，用纯弯曲梁的正应力公式计算细长梁横力弯曲时 的正应力，并不会引起很大的误差，计算结果仍能够满 足精度要求，因此纯弯曲时的公式仍然适用。
F a
A C
FQ
F
M
Fa
Fa
B AC、DB段既有剪力又有弯矩，
D
横截面上同时存在正应力和切
x 应力，此情况称为横力弯曲。
F Fa
CD段只有弯矩，横截面上就只
有正应力而无切应力，此情况
x 称为纯弯曲。
[ 3]
实验观察
M
变形前
M
a
b
变形后横向线mm’ nn’ 仍为直线，
但有转动。纵向线aa，bb变为曲 变形后
纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
微内力 dA组成垂直于横截面的空间平行力系。此力系 简化为三个内力分量：
FN
s ( y)dA
A
M y
zs ( y)dA
A
M z
ys ( y)dA
A
纯弯曲时有：
z
yx
dA s
y
Mz FN
My
FN 0 M y 0 M z M (弯矩)
s ( y) Ey
取
Wz
Iz ymax
Wz 抗弯截面系数(抗弯截面模量)
s max
M Wz
[ 14 ]
不同截面的惯性矩、抗弯截面系数
y
实心矩形截面的抗弯截面系数
h
z
bh3
b
IZ 12
bh3
Wz
Iz ymax
12 h
bh2 6
2
y
实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数
z
πd 4
d
IZ
d4
64
Wz
Iz ymax
64 d
r
FN
s ( y)dA E
A
r
ydA 0
A
A ydA Sz 0
横截面对 z 轴静矩等于零，即z轴(中性轴)过横截面形心。
[ 10 ]
纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
z
y x
dA s
y
M z
s ( y) ydA M (弯矩)
A
Mz
Ey ydA E
Ar
r
y2dA M
A
A y2dA I z
横截面对 z 轴(中性 轴)的惯性矩
E
r
Iz
M
1 M 梁轴线弯曲后的曲率的数学表达式。
r EI z r 曲率半径 EIZ梁的抗弯刚度越大 ，r 越大
结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与 弯曲刚度成反比。
[ 11 ]
几何关系 物理关系 静力学关系
(y) y r
s E
y
q c A
30
12
B
180
z
1m c
2m
120
试求：
(1) c-c截面上1、2两点的正应力；
(2) c-c截面上的最大正应力；
(3) 全梁的最大正应力。
[ 20 ]
q c A
1m c
2m
y
30
B
12
180
z
120
M
ql2/8
解：(1) 求c-c截面1、2点正应力
x 先求支座反力 FA FB 90kN
0
用截面法求截面弯矩方程
Mc
M (x) qlx qx2 (0 x 3)
[ 7]
纯弯曲时正应力公式的推导—变形几何关系
从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段:
dq
中性层位于CC
A
M
Ar M
z mm’ 变形前长度:
L dx rdq
dx
mC y C m'
B
B
yx mm’ 变形后长度:
m'
y
L' (r y)dq
mm’ 位置的线应变:
( y) (r y)dq rdq y
FP
q
FP
弯曲应力
弯曲应力
纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 弯曲切应力 梁弯曲时的强度条件 提高弯曲强度的措施 非对称截面梁的平面弯曲*
[ 1]
§纯弯曲时的正应力§
[ 2]
纯弯曲
剪力FQ：相切于横截面内力系的合力 剪力FQ 切应力t 弯矩M ：垂直于横截面内力系的合力偶 弯矩 M 正应力s
为正时，则s (y) 沿截面高度的分布规律：
压应力(–) 拉应力(+)
弯矩M
截面
受压一侧正应力为负， 受拉一侧正应力为正。
[ 13 ]
纯弯曲时正应力分布关系
s ( y) My
Iz
压应力(–) 拉应力(+)
截面
由公式可知，某一截面的最大正应力发 生在距离中性轴最远处。
弯矩M
s max
Mymax Iz
线。横向线与纵向线仍正交。
m
a
弯曲变形的平面假设：假设变形
后横截面仍保持平面，且仍然垂
b
直于变形后的梁轴线。
m'
此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。
a b
n
M
a
b
n'
[ 4]
实验观察
M
变形前
M
a
b
由于弯曲的作用，上部纤维缩 短，下部纤维伸长。
中间必有一层保持原长，这一 层称为: 中性层
变形后
m a
rdq
r
表明：距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y 成正
比，与 r 成反比。
[ 8]
纯弯曲时正应力公式的推导—物理关系
纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压 缩，当应力小于某一限值(比例极限)时，由胡克定律:
s E
几何关系代入 ( y) y r
得到
s (y) E y
r
[ 9]
1 M
r EI z
s ( y) E ( y) E y r
Ey 1 Ey M My
r
EI z I z
弯曲正应力公式 s ( y) My
Iz
M 该面的弯矩 y 该点与中性层距离 Iz 惯性矩
[ 12 ]
纯弯曲时的正应力
s ( y) My 弯曲正应力公式
Iz
对某一指定截面，M和Iz 都是确定的，当横截面的弯矩
[ 18 ]
横力弯曲时的正应力
横力弯曲时的正应力公式
s ( y) My
Iz
s
max
M Wz
对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大 的横截面上，其大小应为:
s
max
My Iz
max
最大正应力不仅与弯矩M 有关，且与截面形状尺寸有关。
[ 19 ]
[例]已知图示简支梁，受均布载荷作用，q=60kN/m。
b m'
a b
n
M
a
b n'
[ 5]
实验观察
b
B
C
c
中性轴
A
a
b
横截面
c
B'
中性层 C'
a
A'
b M
c
a
b c 中性轴 a
cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴。
中性轴通过横截面形心。
杆件弯曲过程中，横截面绕对应的中性轴转动。
[ 6]
纯弯曲时正应力公式的推导过程 变形应变应力应变关系变换公式得到应力公式 变形几何关系 物理关系 静力学关系
πd 3 32
2
[ 15 ]
y z
d D
D4 1 4
I
＝
z
64
D3 1 4
Wz＝
32
＝ d
DyHhzbBIz
BH 3 12
(1
bh3 BH 3
)
Wz
Iz ymax
BH 2 6
(1
bh3 BH 3 )
[ 16 ]
§横力弯曲时的正应力§
[ 17 ]
横力弯曲
梁的横力弯曲：横截面上既有正应力又有切应力。 在横力弯曲下，横截面不再保持平面，而且往往也不能保 证纵向纤维之间没有挤压。 虽然横力弯曲和纯弯曲之间存在差异，但进一步的分析 表明，用纯弯曲梁的正应力公式计算细长梁横力弯曲时 的正应力，并不会引起很大的误差，计算结果仍能够满 足精度要求，因此纯弯曲时的公式仍然适用。
F a
A C
FQ
F
M
Fa
Fa
B AC、DB段既有剪力又有弯矩，
D
横截面上同时存在正应力和切
x 应力，此情况称为横力弯曲。
F Fa
CD段只有弯矩，横截面上就只
有正应力而无切应力，此情况
x 称为纯弯曲。
[ 3]
实验观察
M
变形前
M
a
b
变形后横向线mm’ nn’ 仍为直线，
但有转动。纵向线aa，bb变为曲 变形后
纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
微内力 dA组成垂直于横截面的空间平行力系。此力系 简化为三个内力分量：
FN
s ( y)dA
A
M y
zs ( y)dA
A
M z
ys ( y)dA
A
纯弯曲时有：
z
yx
dA s
y
Mz FN
My
FN 0 M y 0 M z M (弯矩)
s ( y) Ey
取
Wz
Iz ymax
Wz 抗弯截面系数(抗弯截面模量)
s max
M Wz
[ 14 ]
不同截面的惯性矩、抗弯截面系数
y
实心矩形截面的抗弯截面系数
h
z
bh3
b
IZ 12
bh3
Wz
Iz ymax
12 h
bh2 6
2
y
实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数
z
πd 4
d
IZ
d4
64
Wz
Iz ymax
64 d
r
FN
s ( y)dA E
A
r
ydA 0
A
A ydA Sz 0
横截面对 z 轴静矩等于零，即z轴(中性轴)过横截面形心。
[ 10 ]
纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
z
y x
dA s
y
M z
s ( y) ydA M (弯矩)
A
Mz
Ey ydA E
Ar
r
y2dA M
A
A y2dA I z
横截面对 z 轴(中性 轴)的惯性矩
E
r
Iz
M
1 M 梁轴线弯曲后的曲率的数学表达式。
r EI z r 曲率半径 EIZ梁的抗弯刚度越大 ，r 越大
结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与 弯曲刚度成反比。
[ 11 ]
几何关系 物理关系 静力学关系
(y) y r
s E
y
q c A
30
12
B
180
z
1m c
2m
120
试求：
(1) c-c截面上1、2两点的正应力；
(2) c-c截面上的最大正应力；
(3) 全梁的最大正应力。
[ 20 ]
q c A
1m c
2m
y
30
B
12
180
z
120
M
ql2/8
解：(1) 求c-c截面1、2点正应力
x 先求支座反力 FA FB 90kN
0
用截面法求截面弯矩方程
Mc
M (x) qlx qx2 (0 x 3)
[ 7]
纯弯曲时正应力公式的推导—变形几何关系
从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段:
dq
中性层位于CC
A
M
Ar M
z mm’ 变形前长度:
L dx rdq
dx
mC y C m'
B
B
yx mm’ 变形后长度:
m'
y
L' (r y)dq
mm’ 位置的线应变:
( y) (r y)dq rdq y