组合数学答案

H (x) G0 G1x G2 x 2 G3 x3 G4 x 4
……①
3xH (x) 3G0 x 3G1x 2 3G2 x3 3G3 x 4
……②
x 2 H (x) G0 x 2 G1x3 G2 x 4 ①-②+③，得：
1 3x x 2 H (x) G0 G1x 3G0 x
2.2
已知序列{
3 3
,
4 3
, …… ,
n3 3
, ……} ，求母函数。
解：
1 (1 x)n
的第
k
项为：
(kn
n 1 1
)
，对于本题，n=4，
母函数为：
(1
1 x)4
2.3
已知母函数 G（X）=
3 78x 1 3x 54x 2
,求序列{
an
}
解：G（X）= 3 78 x = A B (1 9x)(1 6x) (1 9x) (1 6x)
1
3 9x x 56
x2
，求对应的序列an 。
解：母函数为 G(x) 3 9x 3 9x 1 x 56x2 (1 7x)(1 8x)
令G(x) A B 1 7x 1 8x
A(1 8x) B(1 7x) 3 9x
AB3 8A+7B= 9 解得：A=2 B=1
所以 G(x)
从而有：
A B 3
A 7
6A 9B 78 B 4
G（X）= 7 4 (1 9x) (1 6x)
G（X）=7 (1 9x 92 x 2 93 x3 ) -
4 (1 (-6)x (-6) 2 x 2 (6)3 x3 )
a n =7* 9n 4 * (6) n
2.4．已知母函数
x2 G=
x2 + 3 x3 +来自百度文库…
（1-x）G=1+2x+3 x2 +4 x3 + ……+（n+1） xn +……
（1- x2 ）G=1+x+ x2 + x3 + ……+ xn +……
(1 x)3 G=(1-x)(1-x)(1-x)G 逐步相乘，根据以上两式可得
(1 x)3 G=1
2.10
H
1
4x
x 4 : a4 4a3 6a2 4a1 a0 0
x5 : a5 4a4 6a3 4a2 a1 0
x n1 : xn :
an1 4an2 6an3 4an4 an5 0 an 4an1 6an2 4an3 an4 0
母函数： Gx 36 20x 6x2 x 14
2.1 求序列{0，1，8，27，… n3 …}的母函数。
解： Gx a0 a1x a2 x2 a3 x3 an xn Gx 0 x 8x2 27x3 n3 xn
an n3
an1 n 13
an 4an1 6an2 4an3 an4 0 左右同乘再连加：
10x 2
20x3
3n
3 x n
证明：（a） (1
……③
又已知 Gn F2n ，则 G0 F0 0 ， G1 F2 1
所以， H (x) x
x
1 3x x2 (3 5 x)( 3 5 x)
2
2
设 H (x) A B ，则可列出方程组：
3 5 x 3 5 x
2
2
A B 1
3 2
5
A 3 2
5B0
那么，
，解得
A
5
ej
s js
2
v jv
aij )
v jv s js
1 1 x2
G（x）=
(1
1 x
2
)2
2.7 设 G 1 2x2 3x4 4x6 .... (n 1)x2n .... 求 (1 x2 )G, (1 x2 )2 G 。
题解： G 1 2x2 3x4 4x6 .... (n 1)x2n ....(1) x2G x2 2x4 3x6 4x8 .... (n)x2n (n 1)x2n2 ....(2)
3 10
5
B
5
3 10
5
H (x)
A
B
(3 5 )(1 3 5 x) (3 5 )(1 3 5 x)
2
2
2
2
5 3 (
i
5 x)
5 3 (
i
5 x)
5 i0 2
5 i0 2
5 5
3
( i0
2
5 )i
(3 2
5
)
i
x
i
2. 6 求序列{1，0，2，0，3，4，0，……}
证明：（1）（1-x）G=1+2x+3 x2 +4 x3 + ……+（n+1） xn +……
（2）（1- x2 ）G=1+x+ x2 + x3 + ……+ xn +……
（3） (1 x)3 G=1
证： G=1+3x+6 x2 +10 x3 + ……+C（n+2，2） xn +……
xG= x+3 x2 + 6 x3 +……
解： G(x)=1+0*x+2* x2 +0* x3 +3* x4 +0* x3 +0* x5 +4* x6 + ……
=1+2 x2 +3 x4 +4 x6 + ……
x2 G(x)= x2 +2 x4 +3 x6 + ……
（1- x2 ）*G（x）=1+ x2 + x4 + x6 +……
（1- x2 ）*G（x）= (2 v jv
2
1
2* (7x)i (8x)i
1 7x 1 8x
i0
i0
an 2 * (7)n 8n
2.5 设 Gn F2n ，其中 Fn 是第 n 个 Fibonacci 数。证明：Gn 3Gn1 Gn2 0 ，
n=2，3，4…。求{G0 ,G1,G2 ,} 的母函数。
解：设 H (x) G0 G1x G2 x 2 G3 x3 ，则
（1）-（2）得： G x2G 1 x2 x4 x6 .... (n)x2n ....
(1
x2
)G
1 x2n 1 x2
(1 x2 )2 G 1 x2n
2.8 求下列序列的母函数： （1）1，0，1，0，1，0….. （2）0，-1，0，-1，0，-1…….
（3）1，-1，1，-1，1，-1……
题解：（1）带入母函数公式得：
G(x)
1
x2
x4
x6
....
x2n
....
1 x2n 1 x2
（2）带入母函数公式得： G(x)
( x1
x3
x5
....
x2n1
....)
x(1 x2n ) 1 x2
（3）有（1）和（2）相加得到： 1 x2n 1 x
2. 9 设 G=1+3x+6 x2 +10 x3 + ……+C（n+2，2） xn +……