第六章 卡平方测验

2 0.975
0.22
现χ2=10.54>
2 0.025
9.35
,在0.22～9.35的范围之外，
H0被否定。
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9
总体方差σ2的置信区间
P12 2,
s
2 2
2 2,
1
s 2 2
2,
2
s 2 2
1 2,
［例6.3］求列6.1资料总体σ2的95%的
置信限。
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10
L1
s 2 2
2,
3 175.6 56.3 9.35
L2
s 2 2
1 2,
3 175.6 2394.5 0.22
于是95%的置信限为：
56.3≤ σ2 ≤2394.5
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11
6.2.2 几个样本方差的同质性测验
2 ( yi )2
χ2分布图形为一组具有不同自由度ν值的曲线。 χ2值最 小为0，最大为+∞，因而在坐标轴的右边。附表6为χ2≥ 2
时的右尾概率表。
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3
f ( 2 ) 0.6
0.5
0.4
1
0.3
0.2
3
5
0.1
0.0
0
2
4
6
8
10
图6.1 不同自由度的 2分布曲线
2
12
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4
若所研究的总体μ不知，而以样本 y代替，则
2
(
yi
y )2
1
2
(yi y)2
(n 1)s2
2
s 2 2
χ2的定义二：
用于次数资料(计数资料)分析的χ2公式：
2 (O T )2 T
χ2 值是多项 ui2 或 (O－T)2/T 之和， 具有可加性。
17
由表6.1可得：
s
2 p
80.9/
20
4.045
νi
ln
s
2 p
20 ln
4.045
201.39748
27.94960
C 1 1 1 1 1 1 1.0818 3(3 1) 4 5 11 20
χC2
1 (27.94960 27.14452) 1.0818
0.744
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5
6.2 χ2在方差的同质性测验中的应用
6.2.1 一个样本方差与给定总体方差比 较的假设测验 6.2.2 几个样本方差的同质性测验
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6
6.2.1 一个样本方差与给定总体方差 比较的假设测验
2 s2 2 可用来测验单个样本方差s2所代表的总体方差和
3个方差同质性测验的计算
i
si2
i
i si2
lnsi2 i ln si2
1
4.2
4
2
6.0
5
3
3.1
11
16.8
1.43508 5.74032
30.0
1.79176 8.95880
34.1
1.13140 12.44540
Σ
20
80.9
4.35824 27.14452
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13
合并的方差为：
k
k
s
2 p
i si2 /
i
i 1
i 1
Bartlett χ2值为：
2
(ik1 i ) ln
s
2 p
k
i i 1
ln
si2
2 C
2.3026 C
(
k i1
i
)
lg
s
2 p
k
i
i1
lg
si2
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14
c
1
1 3(k 1)
18
查附表5，当时
ν
k
1
31
2 ，
2 0.05,2
5.991
>0.744,P>0.05,接受H0，因此说明本例的3个方差估计值
是同质性的。
实际应用上本例可不需再作C矫正，因为
2 =27.94960－27.14452=0.80508明显很小，直观已
可判断不会显著。
假设H0：
2 1
2 2
2 3
对HA：3个方差不全相等(这里的
HA不能用不等号表示，因为如H0被否定，只能推论3者不
相等而并不能确定属于
2 1
2 2
2 3
、
2 1
2 2
2 3
、
2 1
2 2
32等情况的哪一种)。
然后，在表6.1进行同质性测验的计算：
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16
表6.1
第六章 卡平方(χ2)测验
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1
6.1卡平方(χ2)的定义与分布
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2
χ2的定义一：
是指相互独立的多个正态离差平方值的总和。
2 u12 u22 ui2 un2
ui2
( yi i )2 i
若所研究的对象来自同一总体，则μi=μ，σi=σ,从而
给定的方差值C 是否有显著差异，简称为一个样
本与给定总体方差的比较。
在作两尾测验时有H0：σ2=C，对HA：σ2≠C。其显著
大于
2
2,
和小于
2 (1 2 ),
时H0
将被否定。P73
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7
［例6.1]硫酸铵施于水田表层试验，得4 个
小区的稻谷产量为517、492、514、522(kg)，
k i 1
1
i
1
i
如果算得的
2 C
2 ,
，便否定H0，表明这些样本所属总体方差
是不同质的。
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15
[例6.4] 假定有3个样本方差s12=4.2, s22=6.0, s32=3.1，各
具有自由度 ν1 4 ，ν2 5 ，ν3 11，试测验其是否同质。
计得样本方差为175.6(kg)2。现要测验H0： σ2=50 (kg)2对HA：σ2≠ 50 (kg)2，α取
0.05。
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8
2
(n 1)s2
2
(4 1) 175.6 50
10.54
查附表6，在ν=n-1=3时， χ2的临界值为：
2 0.025
9.35,
2、
1
22、
、
2不全相等
k
这一测验由Bartett测验(Bartlett test)
假如有k个独立的方差估计值：
s12
1
1
( y1 y1)2;
sk2
1
k
( yk yk )2
s22
1
2
( y2 y2 )2; ;
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假定有3个或3个以上样本，每一样本
均可估计同一方差，则由χ2可测验各样本
方差是否来自相同方差总体的假设，这称 为方差的同质性测验(test for homogeneity among variances)。
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12
写为H0：
2 1
2 2
k2(k为样本数)
对HA：