高等结构动力学4_连续体2_固有频率的变分式

EJY ¢¢d (Y ¢¢ ) = -( EJY ¢¢ )¢ dY ¢ + ( EJY ¢¢dY ¢ )¢ é ù¢ ¢¢ ¢ = ( EJY ¢¢ ) dY - ê ( EJY ¢¢ ) dY ú + ( EJY ¢¢dY ¢ )¢ êë úû
l l ö 2 1 æ ÷ ç EJ (Y ¢¢ ) dx ÷ = ( EJY ¢¢ )¢¢ dYdx - ( EJY ¢¢ )¢ dY dç ÷ è ò0 ø ò0 2 ç l 0
固有频率的变分式
证明等价性
æ l ö æ l ö 2 2 2 ÷ ÷ ç ç =0 dç EJ (Y ¢¢ ) dx ÷ r AY d x ÷ - w dç ÷ ç ò ò ÷ ç è 0 ø è 0 ø d EJ (Y ¢¢ )
(
2
) = 2EJY ¢¢d (Y ¢¢ )
d ( rAY 2 ) = 2rAY dY
EI 1 5.6825 Sl 4
EI 2 39.4784 Sl 4 EI 3 68.9944 Sl 4
正则化特征向量：
ψ (1) 0.5742 2 0 Sl 0.0048 ψ ( 2) 0 2 1 Sl 0 ψ ( 3) 0.5199 2 0 Sl 0.7746
= ååkijaia j = a Ka
T i =1 j =1 l l n n
kij = ò EJ fi¢¢(x )fj¢¢ (x )dx
0
l
n æ n öæ ö ÷ ÷ ç ç 2 ÷ ÷ ç ç = r AY d x r A a f ( x ) a f ( x ) dx ÷ ÷ å å ç i i j j ò0 ò0 ç ÷ ÷ ç ç j =1 ÷ ÷ è i =1 øè ø
用里兹法求基频
容易，基函数满足所有位移边界条件和力边界条件
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
单位厚度 截面变化 A( x ) A0
x l
y
A0 2b 为根部截面积
0
l
b b x
截面对中性轴的惯性矩：
1 2bx 3 x3 1 J (x ) = ( ) = J0 J0 = (2b )3 根部截面对中性轴的惯性矩 12 l 12 l3 x 2 x i -1 f x ( ) = (1 ) ( ) , (i = 1, 2, , n ) 基函数： i l l
+ EJY ¢¢dY ¢ 0
l
l l ö 1 æ 2 ÷ dç rAY dx ÷ = ò rAY dYdx ç ò ÷ ç 0 0 ø 2 è
é ù 2 ¢¢ ¢ dY ¢¢ ¢¢ EJY w r AY d Y d x EJY ê ú ( ) ( ) ò0 êë úû
l
l 0
+ EJY ¢¢dY ¢ 0 = 0
l
w2 = st
d ( w2 ) = 0
aTKa aTMa
dx = a Ma
T
对最后一式，求一阶变分，得到驻值条件
)=
1
( aTMa )
é aTMad ( aTKa ) - aTKad ( aTMa ) ù = 0 úû 2 ê ë
d ( aTKa ) - w2d ( aTMa ) = 0
d ( aTKa ) = d ( aT ) Ka + aTKd ( a ) = 2d ( a ) Ka
+ EJY ¢¢dY ¢ 0
l
l l ö 1 æ 2 ÷ dç r A Y d x = ò rAY dYdx ÷ ç ò ÷ ç 0 ø 2 è 0
固有频率的变分式
证明等价性
l l ö 2 1 æ ¢¢ dYdx - ( EJY ¢¢ )¢ dY ÷ ç ¢¢ ¢¢ = dç EJ Y d x EJY ( ) ( ) ÷ ÷ è ò0 ø ò0 2 ç l 0
l
Y (x ) = åai fi (x )
i =1
n
2
dx
将自变函数的近似展开式代入泛函 n æ n öæ ö l l 2 ÷ ÷ ç ç ÷ç åa f¢¢ (x )÷ ÷ dx ç åai fi¢¢(x )÷ ç j j ò0 EJ (Y ¢¢ ) dx = ò0 EJ ç ÷ ÷ ç ç j =1 ÷ ÷ è i =1 øè ø
l
于是有
( EJY ¢¢ )¢¢ - w2rAY
=0
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
固有振动问题的变分提法，有利于采用数值方法求解
EJ (Y ¢¢ ) ò w2 = st 0
l 2
dx
ò0
其中 Y 满足位移边界条件。
l
rAY 2dx
若存在n个已知的，连续的、二阶可导且满足位移边界的函数
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
1 30 M A0l 1 105 1 105 1 280 1 K A0l 2 5 2 5 2 5
由： K 2 M 0
EI 0 1 5.319 A0l 4
l 0 l
aiTMaj = 0
T
n
aiTKaj = 0
i¹j
Yi (x ) = åak fk (x ) = aiTΦ = ΦTai
mij = ò rAfi (x )fj (x )dx M = ò rAΦ( Φ ) dx
0 T
kij = ò EJ fi¢¢(x )fj¢¢ (x )dx K=ò
0 l 0
T 广义力列阵： Q (t ) P0 sin t[1, 0, 1]
i x qi (t ) sin l i 1
x
l/2
Kq Q (t ) 强迫振动方程： Mq
Qi (t ) p ( x, t )i ( x)dx
0 l
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
T
( da ) ( K - w M ) a = 0
T 2
d ( a Ma ) = 2d ( a ) Ma
T T
( K - w2M ) a = 0
Y (x ) = åai fi (x )
i =1
n
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
正交性证明
( K - w2M ) a = 0
Φ = éê f1 f2 fn ùú ë û
y
Ma
P0 sin t
x
2x 3x Φ [1 ( x ), 2 ( x ), 3 ( x )] [sin , sin , sin ] l l l
质量阵：
3 0 2 Sl 0 1 0 M 2 2 0 3
4
刚度阵：
1 0 0 EI K 0 16 0 2l 3 0 0 81
(EIY ¢¢)¢¢ - w2rAY = 0
Y =0 或
( EJY ¢¢ )¢ = 0
EJY ¢¢ = 0
l
Y¢ = 0 或
x = 0 or x = l
变分提法
w
2
ò = st 0
EJ (Y ¢¢ ) dx
l
2
ò0
rAY 2dx
固有频率的变分式
证明等价性
w
2 l 2
ò = 0
EJ (Y ¢¢ ) dx
= ååmijaia j = aTMa
i =1 j =1
n
n
mij = ò rAfi (x )fj x )dx0l
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
w
2
ò = st 0
l
EJ (Y ¢¢ ) dx
l 2
2
ò0
l
EJ (Y ¢¢ ) dx = aTKa
2
2
ò0 rAY
d(w
2
dx
ò0 rAY
l
ò0
d ( w2 ) =
rAY 2dx
N( Y) = D( Y)
对上式取一阶变分，得到驻值条件
D( Y )d ( N ( Y )) - N ( Y )d ( D( Y )) é Y )ù ë D( û
2
=
d ( N (Y )) - w2d ( D( Y )) D( Y)
=0
于是有
æ l ö æ l ö 2 2 2 ÷ ÷=0 ç ç ¢¢ dç EJ Y d x w d r AY d x ( ) ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ç è ò0 ø è ò0 ø
EI 0 若取 n＝1： 1 5.477 A0l 4 EI 0 精确解： 1 5.315 A0l 4
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法 例：等截面简支梁
梁中部有一集中质量 Ma， 大小等于梁的质量 集中质量上有外力 P0 sin t
EI 50 Sl 4
0 l/2 l/2
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
3 0 2 Sl 0 1 0 M 2 2 0 3 1 0 0 EI 0 16 0 K 2l 3 0 0 81
4
特征值问题： ( K 2 M )ψ 0 固有频率：
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
如果基础函数系只取一项，那么得到Ritz法
EJ (Y ¢¢ ) ò w2 = st 0
l 2
dx
ò0
l
Y (x ) = a1f1(x )
rAY 2dx
( k11 - w2m11 )a1 = 0
w
2
ò = 0
l l
¢¢) dx EJ ( f1 rA( f1 ) dx
fi (x ) ( i = 1n )
然后将自变函数按基础函数展开
Y (x ) = åai fi (x ) = a1f1(x ) + a2f2(x ) + an fn (x )
i =1 n
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
EJ (Y ¢¢ ) ò w2 = st 0
l 2
dx
ò0 rAY
2
2
=
k11 m11
ò0
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法 例：楔形悬臂梁
单位厚度
x 截面变化 A( x ) A0 l A0 2b 为根部截面积
y
0
l
b b x
1 J0 = (2b )3 根部截面对中性轴的惯性矩 12 解： 1 2bx 3 x3 截面对中性轴的惯性矩：J (x ) = ( ) = J 0 3 12 l l x 2 x i -1 ( ) = (1 ) ( ) , (i = 1, 2, , n ) f x 取基函数： i l l
连续系统的振动－固有频率的变分式
• 1. 固有频率的变分式 • 2. 梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
董兴建 上海交通大学 振动，冲击，噪声研究所 机械大楼 A832
固有频率的变分式
瑞利商
R(f) = f T Kf f T Mf = w2
梁横向固有振动问题的两种提法 微分方程的特征值问题 相应的边界条件
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法
梁的稳态响应：
y ( x , t ) i ( x ) q i (t )
i 1 3 3
y
Ma
P0 sin t
0
l/2
l 外力写成分布力形式： p ( x, t ) ( P0 sin t ) ( x ) 2 广义力： l l ix i Qi (t ) P0 sin t ( x ) sin dx P0 sin t sin , (i 1,2,3) 0 2 l 2
取 n＝2
1 30 M A0l 质量阵： 1 105
1 1 105 K A0 l 1 刚度阵： 2 280 5
2 5 2 5
1 l mij = ò rAfi (x )fj (x )dx 2 0
1 l kij = ò EJ fi¢¢ (x )fj¢¢(x )dx 2 0
y
Ma
P0 sin t
x
求： （1）梁的前三阶固有频率 （2）梁的稳态横向强迫振动
基础函数取为：
i x i ( x ) sin , (i 1,2,) l
梁横向振动的近似解法－Rayleigh-Ritz法 解：
若对第三阶固有频率的精 度要求不高，取 n＝3 基础函数系为
x
0 l/2 l/2
梁的稳态响应： y ( x, t ) qi (t ) sin
k =1 l
EJ Φ¢¢ ( Φ¢¢ ) dx
T
i j dx = ò ò0 rAYY
l
rAaiTΦΦTaj dx 0
l 0
l
=
aiT
é l ù T ê ò rAΦΦ dx ú aj = aiTMaj = 0 êë 0 úû
ò0
l
EJYi¢¢Yj¢¢ dx = ò EJ ( aiTΦ )( ΦTaj ) dx = aiTKaj = 0