概率论与数理统计_第七章__参数估计

设X1,…Xn是取自N (, 2 )的样本， μ已知
求参数 2 的置信度为1 的置信区间.
确定分位数
2 1
/
2
(
n),
2
/
2
(n)
使
n
（Xi )2
P{12 2 (n) i1 2
2 2 (n)} 1
例4. 对飞机的飞行速度进行15次独立试验，测 得飞机的最大飞行速度(单位：m/s)如下：
如果只知道0<p<1,并且实 测记录是X=k (0 ≤ k≤ n),又 应如何估计p呢?
若总体分布已知，对于样本值，选取适当 的参数，使样本值出现的概率最大，这种 估计方法就是极大似然估计法。
➢极大似然估计法
设总体X的分布律或概率密度为f(x; Ө), θ=(θ1, θ2,…, θk)是未知参数， X1,X2, …,Xn是 总体X的样本，则称X1,X2, …,Xn的联合分布 律或概率密度函数
i 1
0
ˆ
ˆ
1n n i1 xi
2
1 n
n i 1
( xi
x
x )2
ˆ X
ˆ
2
n 1 n
S2
求极大似然估计量的步骤：
n
(1) 根据f(x; θ)，写出似然函数 L( ) f (xi; )
n
i 1
(2) 对似然函数取对数 ln L( ) ln f (xi ; )
(3) 写出方程 ln L 0
X u 2
n
2.135
μ的置信区间为(2.115,2.135).
求置信区间的步骤
(1) 构造仅与待估参数θ 有关，但分布已知的 函数U；
(2) 给定置信度1-α，得常数a,b，使 P{a<U<b}= 1-α；
(3) 将a<U<b变形，使得：
ˆ1( X1, X 2,..., X n ) ˆ2 ( X1, X 2,..., X n )
)
1 12
(b
a)2
1 12
(bˆ
aˆ)2
M2
n 1 n
S2
aˆ X 3(n 1) S 2， bˆ X 3(n 1) S 2
n
n
矩法特点分析：
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 .
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 .
极大似然估计
例： 设一箱中装有若干个白色和黑色的球， 已知两种球的数目之比为3:1或1:3，现有放回 地任取3个球，有两个白球，问：白球所占的 比例p是多少？
第7章 参数估计
总体所服从的分布类型已知/未知
抽样
参数 估计
估计总体中未知的参数
参数估计 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息
来估计总体的某些参数. 估计新生儿的体重
估计废品率
估计湖中鱼数
§7.1
点估计
设有一个统计总体，总体的分布函数
为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是向量) .
现从该总体抽样，得到样本 X1,X2,…,Xn
设X1,…Xn是取自 N (, 2 )的样本， 2已知,
求参数 的置信度为1 的置信区间.
利用 X ~ N (0，1) / n
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2}
1
例1：随机地从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零 件16个，分别测得其长度为：
2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10
0
2
1 X 2
ˆ1
2X 1
1 X
(2)极大似然估计
n
L( ) ( 1)n ( xi ) (0 xi 1) i 1 n
ln L( ) n ln( 1) ln xi i 1
令 d ln L( ) 0 d
1 n n
ln xi
i 1
ˆ2 1 n n
ln xi
i 1
§7.2 点估计量的评价标准
例2: 已知某产品的不合格率为p, 有简单随 机样本X1 ,X2 ,…, Xn 求p的矩估计量。
解：E(X)=p.
pˆ
1 n
n i 1
Xi
X
例3：设电话总机在某段时间内接到呼唤的次数 服从参数λ未知的泊松分布，现在收集了如下42 个数据：
接到呼唤次数 0 1 2 3 出现的频数 7 10 12 8
Ak
1 n
n i 1
X
k i
K.皮尔逊
n
X
k i
大数定律： lim P(| i1 E( X k ) | ) 1
n
n
矩估计基本思想: 用样本矩估计总体矩 .
设总体的分布函数中含有k个未知参数 1,,k
(1)它的前k阶原点矩都是这k个参数的函数,记为：
(2)用样本i阶原点矩替换总体i阶原点矩
(3) 解方程组，得 θi=hi (X1, X2,…, Xn) (i=1,2,…,k);
45 32
求未知参数λ 的矩估计。
ˆ x 80 40
42 21
例4. X~U(a,b),由简单随机样本X1 ,X2 ,…, Xn求 a,b的矩估计量。 解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
E(X )
1 (a b) 2
1 (aˆ 2
bˆ)
1 n
n i 1
Xi
X
D( X
ˆ1
1 2
X1
1 3
X2
1 6
X
3
ˆ2
1 3
X1
1 3
X2
1 3
X3
ˆ3
1 6
X1
1 6
X2
2 3
X3
例2：设X1,X2,…, Xn是来自某总体X的样本，且
EX , DX 2 , 判断 , 2 的矩估计量是
否是无偏估计。
三、一致性(相合性)
设 ˆn ˆn (X1,, X n )是参数 的估计量，若有
(4) 结论
区间(ˆ1,ˆ2 )就是的一个 置信度为1 的置信区间.
方差未知，求期望的区间估计
例2：随机地从一批服从正态分布N(μ, σ2)的零件 16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间 (α=0.05)
n
L(x1, x2,..., xn; ) f (xi; ) i 1
为样本的似然函数，简记为L(θ)。
对于固定的样本观测值x1,x2,…,xn。如果有
例1. 设总体X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2是 未知参数。求μ,σ2的极大似然估计。
f (x; , 2 )
1
2
exp[
1
2
2
(x
)2]
n
例4. 设X1,X2,…,Xn为取自总体X~U(a, b)的样 本, 求a, b的极大似然估计量.
回顾： 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
X
~
f
(x)
(
1)x ,
0,
0 x 1 其它
其中 >0,
求 的矩估计量和极大似然估计量.
解：(1)矩估计
E(X )
xf (x)dx
1 x( 1)x dx 1
则以hi (X1, X2,…, Xn)作为θi 的估计量 ，并 称hi(X1, X2,…, Xn)为θi 的矩法估计量，而 称hi(x1, x2,…, xn) 为θi 的矩法估计值。
例1. 设总体X的数学期望和方差分别是μ, σ2 ，求μ , σ2的矩估计量。
总体期望、方差的矩估计量分别是样本均值和 样本二阶中心矩。
422.2 418.7 425.6 420.3 425.8 423.1 431.5 428.2
438.3 434.0 411.3 417.2 413.5 441.3 423.0
假设飞机最大飞行速度服从 N (424.93, 2 ) 求最
大飞行速度的方差的置信度为0.90的置信区间。
解：n 15, 424.93, 1 0.90 0.1
i 1
若方程有解，
求出L(θ)的最大值点 ˆ(x1,x2,..., xn )
例2. 设总体X服从参数λ>0的泊松分布，求 参数λ的极大似然估计量。
例3. 已知某产品的不合格率为p,有简单随机样本 X1 ,X2 ,…, Xn，求p的极大似然估计量。 若抽取100件产品，发现10件次品，试估计p.
设X1,…Xn是取自 N (, 2 )的样本， 2未知,
求参数 的置信度为1 的置信区间.
查t分布表得 t 2,
使
P{|
X S
n
| t
2} 1
μ未知,求方差的区间估计
例1：用一个仪表测量某物理量9次，得到样本均 值为56.32，样本标准差为0.22. 测量标准差σ 反映了测量仪表的精度，试求σ的置信水平为 0.95的置信区间。
从样本出发构造适当的统计量
ˆ ˆ(X1, , Xn )
作为参数 的估计量，即点估计。 将 x1,, xn 代入估计量，得到 的估计值
ˆ ˆ(x1, , xn )
关键问题：如何构造统计量?
ˆ ˆ(X1, , Xn )
矩估计
点估计
极大似然估计
矩估计
总体k阶原点矩
k EX k
样本k阶原点矩
§7.4
单正态总体四种类型的区间估计
1. 期望的区间估计 σ2已知时μ的置信区间 σ2未知时μ的置信区间
2. 求方差的区间估计 μ已知时σ2的置信区间 μ未知时σ2的置信区间
已知方பைடு நூலகம்，求期望的区间估计
例1：随机地从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零 件16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间 (α=0.05)
P{
2 1
2 (n 1)
(n 1)S2
2
2
2 (n 1)}
1
例2：假设某地区18~25岁女青年身高 现抽取30名，样本均值为158cm,样本方差为 (5cm)2，求σ2的置信水平为95%的区间估计。
μ已知,求方差的区间估计
例3：随机地从一批服从正态分布N(2.12, σ2)的 零件16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 试求σ2的置信水平为0.95的置信区间。
设θ 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
ˆ1 ˆ1( X1, X2,, Xn ), ˆ2 ˆ2 ( X1, X2,, Xn )
(ˆ1 ˆ2 ) 满足 P(ˆ1 ˆ2 ) 1
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是θ 的置信度为 1 的置
信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
二、有效性
设 ˆ1 ˆ1( X1,, X n )和 ˆ2 ˆ2( X1,, Xn)
都是参数 的无偏估计量，若有
D(ˆ1) D(ˆ2 ) 则称 ˆ1 较 ˆ2 有效 .
如果对固定的n, D(ˆ1) min(D(ˆ)) 则称ˆ1是ˆ的有效估计。
例1：设X1,X2, X3是来自某总体X的样本，且 E(X)=μ,讨论μ的以下估计量的无偏性和一致性。
则称 ˆn 是参数 的一致估计量.
切比雪夫大数定律
lim
n
P(|
1 n
i
n 1
X
i
|
)
1
设样本X1, , Xn来自数学期望E(X ) ,方差D(X ) 2
的总体，则X 是的一致估计量。
伯努利大数定律
设总体为参数为p的0-1分布，X1,
,
X
为样本，
n
则X 是p的一致估计量。
§7.3
置信区间定义：
2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间
(α=0.05)
解： X 2.14 ... 2.11 2.125 16
查表u 2 u0.025 1.96, 0.02, n 16, 代入得
X u 2
n
2.115,
评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一 次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 即确定估计量好坏必须在大量观察的基础上从 统计的意义来评价。
常用的几条标准是：
1．无偏性 2．有效性 3．一致性
一、无偏性
设 ˆ( X1,, Xn)是未知参数 的估计量，若 E(ˆ)
则称 ˆ 为 的无偏估计 .
L(, 2)
i 1
1
2
exp[
1
2 2
( xi
)2 ]
(2
n
)2
(
)2
n 2
exp[
1
2
2
n
(xi )2 ]
i 1
ln
L(,
2
)
n 2
ln(
2
)
n 2
ln
2
1
2
2
n
( xi
i 1
)2
ln L
1
2
[
n i 1
xi
n ]
0
ln L
2
n
2 2
1
2( 2 )2
n
(xi n)2
例2：假设某地区18~25岁女青年身高X ~ N (, 2) 现抽取30名，样本均值为158cm,样本方差为 (5cm)2，求σ2的置信水平为95%的区间估计。
设X1,…Xn是取自 N (, 2 )的样本，
求参数 2 的置信度为 1 的置信区间.
确定分位数 12 / 2 (n 1), 2 / 2 (n 1) 使