-数学模型第四版

s .t . x11 x12 x13 x14 2000 x21 x22 x23 x24 1100 x11 x21 1700 s.t. x12 x22 1100 x13 x23 200 x14 x24 100 xij 0, i 1,2; j 1,2,3,4
分组问题
1）线性规划模型与整数规划模型 2）0-1整数规划模型与非线性规划模型
线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种. 线性规划模型的标准形式
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养
素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 c1 x1 c2 x2 cn xn ,
其次食谱中第 i 种营养素的含量为 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn .
因此上述问题可表述为： min c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 0, x2 0, xn 0
一般的运输问题可以表述如下：
要把某种物资从 m 个发点 Ai , i 1,2,, m ， 调运给需要这种物资的 n 个收点 B j , j 1,2,, n . 已知 ai b j ，从 Ai 运一个单位的产品到 B j
i 1 i 1 m n
的运价为 cij . 现在需要确定一个调运方案，即确定由 Ai 到 B j 的运输量 xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n，在满 足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
t i ( xi 1 xi 2 )
i 1
7
i 1, 2, 7 xi 1 xi 2 ni 7 t x cl j j 1, 2 i ij i 1 7 s .t . wi xij cw j j 1, 2 i 1 7 t i ( xi 1 xi 2 ) s i 5 i 1, 2, 7; j 1, 2 xij 0取整数
运输问题
例2. 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物
资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表1.1所示. 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？
数学模型：
min s .t .
z cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai , i 1,2,, m j 1 xij b j , j 1,2,, n i 1
xij 0, i 1,2,, m; j 1,2,, n
下面我们建立该问题的整数线性规划模型。
1) 约束条件 两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即：
xi1 xi 2 ni ,
i 1,2,,7
每节车可装的长度不能超过车能提供的长度：
ti xij cl j ,
i 1
7
j 1,2
每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：
wi xij cw j ,
这样就把一般形式的LP变换为规范形式.
②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，
必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.
对于一个不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个剩余变量 si ，用
n
aij x j si bi , j 1
目标函数 c (c1 ,, cn )T 价值向量 c j , j 1,2,, n 价值系数 x j , j 1,2,, n 决策变量
⑵ 规范形式
min cT x
⑶ 标准形式
min cT x
Ax b s .t . x 0
Ax b s .t . x 0
断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不
是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好
的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.
关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求
解过程可参见相关文献. 然后在实际应用中，特别是数学建模过程中，
遇到线性规划问题的求解，我们一般都是利用现 有的软件进行求解，此时通常并不要求线性规划 问题是标准形式. 比较常用的求解线性规划模型 的软件有MATLAB、LINGO和LINDO.
解 令 xi , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（ i 1,2, 7; j 1,2 ） ni 为第 i 种包装箱需 ； 要装的件数； i 为第 i 种包装箱的重量；i 为第 i 种 w t 包 装 箱 的 厚 度 ； cl j 为 第 j 节 车 的 长 度 （ cl j 1020 ） cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特 ； 殊限制（ s 302.7 ） 。
般形式的LP中，一个等式约束
aij x j bi j 1
可用下述两个不等式约束去替代
n
aij x j bi j 1
n
(aij ) x j (bi ) j 1
n
对于一个无符号限制变量 x j ，引进两个非负 变量 x 0 和 x 0 ，并设 j j
x j x x j j
m
n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量， 即
ai b j ，则称该问题为平衡的运输问题. i 1 i 1
总产量>总销量和总产量<总销量. 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准
m
n
否则，称为不平衡的运输问题，包括：
形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题. 从 而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解.
线性规划模型的三种形式
⑴ 一般形式 min(max) z c1 x1 cn xn b1 a 系 x 11 x a12 a1nx b , ain n i 1,, p s .t . a i 1 1 a i 2 2 i b 数 a21 a22 a2 n s aiAx ai 2 x2 ain xn bi , i p 1,, 1 1 b 矩 m a a s 1,, m 2 阵 i 1 x1 a ai 2 xa a in xn bi , i 右端向量 m1 m2 mn x j 0, j 1,, q 非负约束 自由变量 x j 0, j q 1, n
2 2 2
x1i 2000
j 1
4
B
乙
x2i 1100 j 1
4
C x23 x14 x 24 D
x13
xij 0 ( i 1,2; j 1,2,3,4)
min f 21 x11 25 x12 7 x13 15 x14 51 x21 51 x22 37 x23 15 Baidu Nhomakorabea24
三种形式的LP问题全都是等价的，即一种 形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，
且它们有相同的解 .
以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准 形式.
目标函数的转化
max z min ( z )
z
o
-z
x
约束条件和变量的转化
①．为了把一般形式的LP问题变换为规范形式，
我们必须消除等式约束和符号无限制变量.在一
C5, C6, C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这 类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm. 试 把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小. 种类 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
t/cm
48.7 53.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0
w/kg 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000 n/件 8 7 9 6 6 4 8
0-1整数规划模型
0-1整数规划是整数规划的特殊情形，它要求 线性规划模型中的决策变量xij只能取值为0或1. 0-1整数规划模型的求解目前并没有非常好的 算法，对于变量比较少的情形，我们可以采取简 单隐枚举法，该方法是一种基于判断条件（过滤 条件）的穷举法.
我们也可以利用LINGO和LINDO软件包来求
4) 模型求解 运用LINGO软件求解得到：
4 1 9 1 2 1 0 x , 4 6 0 5 1 2 0
*
f * 2039.4
5) 最优解的分析说明 由上一步中的求解结果可以看出，x*即为最优 的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm， 两节车共装箱的总长度为2039.4cm. 但是，上述求解结果只是其中一种最优的 装车方案，即此答案并不唯一.
解0-1整数规划模型.
背包问题
例4. 有 n 个物品，编号为1, 2, …, n，第 i 件物品
i 1
7
j 1,2
对于C5, C6, C7类包装箱的总数的特别限制：
t i ( xi 1 xi 2 ) s
i 5
7
2) 目标函数 浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大：
max f ( x ) t i ( xi 1 xi 2 )
i 1 7
3) 整数线性规划模型
max
整数线性规划模型
对于线性规划问题，如果要求其决策变量取 整数值，则称该问题为整数线性规划问题. 对于整数线性规划问题的求解，其难度和运 算量远大于同规模的线性规划问题. Gomory割 平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性 规划问题的方法. 此外，同线性规划模型一样，
我们也可以运用LINGO和LINDO软件包来求解
整数线性规划模型.
例3. 有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车
上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以 cm 计）及重量（w，以kg计）是不同的. 表1给出
了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板 车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（像面包片 那样），载重为40t. 由于当地货运的限制，对于
代替上述的不等式约束.
n
si 0
对于不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个松弛变量 ri ，用
n
aij x j ri bi , j 1
代替上述的不等式约束
n
ri 0
这样就把一般形式的LP变换为标准形式 .
线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 法—单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 法，对偶单纯形法等）. 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判
运 费 产
销 地
A B C D
地
甲 21 25 7 15
乙
51
51
37
15
表 1.1
解
min f 21 x11 25 x12 7 x13 15 x14 51 x21 51 x22 37 x23 15 x24
2
甲
x11 x12
A
x21 x 22
xi1 1700 i 1 xi 2 1100 i 1 xi 3 200 i 1 xi 4 100 i 1