【西大2017版】[0088]《数学分析选讲》网上作业及课程考试复习资料(有答案]
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1：[论述题]
《数学分析选讲》第一次作业 一、判断下列命题的正误
1.设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.
2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数. 3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛.
5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛.
6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.
9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续.
二、选择题
1．设2,1
()3,1
x x f x x x +≤⎧=⎨
->⎩,则[(0)]=f f ( )
A 1；
B 2；
C 3；
D 0 2．设函数1,()0,x f x x ⎧=⎨
⎩为有理数
为无理数
，则1)=f （）．
A 1-；
B 1；
C 0； D
12
3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（） A 必不存在； B 至多只有有限多个；
C 必定有无穷多个；
D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y +（）．
A 收敛；
B 发散；
C 是无穷大；
D 可能收敛也可能发散 5．设lim ||2n n x →∞
=，则（）
A 数列}{n x 收敛；
B lim 2n n x →∞
=；
C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；
D lim 2n n x →∞
=-；
6．已知2
lim(
)01
x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（）
A 1,1==b a ；
B 1,1-==b a ；
C 1,1=-=b a ；
D 1,1-=-=b a
三、计算题
1．求极限8020
100(31)(25)lim (51)
→+∞+--x x x x . 2
．求极限0
x →.
3
．求极限n →∞
.
4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x
x
x
x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 四、证明题
设a a n n =∞
→lim ，b b n n =∞
→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有
n n b a <.
参考答案：《数学分析选讲》第一次作业答案
一、判断题 1．（正确） 2．（正确） 3．（正确） 4．（正确） 5．（错误） 6.（正确）
7．（错误） 8．（正确） 9．（错误）
二、 选择题
1、A
2、C
3、B
4、B
5、C
6、B
三、计算题
解 1、8020
8020
8020
100100
1001532(31)(25)32lim
lim (51)5
15→+∞→+∞
⎛
⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
+-⋅⎝⎭⎝⎭
==-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭x x x x x x x x
2
、0
x x →→=0sin 2lim 2x x x →==.
3、
≤
++
≤
1
n n
==，
故1
n→∞
++=
.
4、当0
x<时，有
2
2
1
()lim lim1
1
x x x
x x x
n n
n n n
f x
n n n
-
-
→∞→∞
--
===-
++
；同理当0
x>时，有()1
f x=.而(0)0
f=，所以
1,0
()sgn0,0
1,0
x
f x x x
x
-<
⎧
⎪
===
⎨
⎪>
⎩
.
显然0是f的间断点，由于
lim()1,
x
f x
+
→
=
lim()1
x
f x
-
→
=-，所以0是f的第一类跳跃间断点.
四、证明题
证由b
a<，有b
b
a
a<
+
<
2
. 因为
2
lim
b
a
a
a
n
n
+
<
=
∞
→
，由保号性定理，存在0
1
>
N，
使得当
1
N
n>时有
2
b
a
a
n
+
<。又因为
2
lim
b
a
b
b
n
n
+
>
=
∞
→
，所以，又存在0
2
>
N，使得
当
2
N
n>时有
2
b
a
b
n
+
>. 于是取}
,
max{
2
1
N
N
N=，当N
n>时，有
n
n
b
b
a
a<
+
<
2
.
2：[单选题]设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn}
A：收敛
B：发散
C：是无穷大
D：可能收敛也可能发散
参考答案：D
3：[单选题]设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限
A：都存在且相等
B：都存在，但不一定相等
C：至少有一个存在
D：都不存在