动量传递(1)

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Tips :
牛顿第一定律表述：任何物体都保持静止或匀速直线 运动状态，直至其他物体所作用的力迫使它改变这种 状态为止。 任何物体具有保持静止或匀速直线运动的性质， 称为惯性。因此，牛顿第一定律也称为惯性定律。 牛顿第二定律：物体的加速度跟作用力成正比，跟物 体的质量成反比，即F=ma。 牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力总 是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
V
控制体的质量累积速率为
dM d d d
dV
V
根据质量守恒定律，通过控制体的净流率等于累 积速率的减少，则
d u cos dA d A
dV
V
6
即
d u cos dA d A
dV 0
V
上式为适用于任意控制体的通用总质量衡算方程。 用文字公式可叙述为：
Chapter 2 Momentum Transport
本章重点: 连续性方程(The equation of continuity) 奈 维 － 斯 托 克 斯 方 程 ( Navier-Stockes Equation) 湍流的概念(Turbulent flow)
1
前言
动量传递： 研究流体流动(运动)和作用在流体上的各种力 之间的关系，它涉及到的规律有质量守恒定律 和牛顿第二运动定律（又称为动量定律）。
V
若在Y，Z方向上作用在控制体上的合力皆为零，则
u y u cos dA
A
d d
u y dV 0
V
d u z u cos dA d A
u z dV 0
V
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通过以上分析可以看出，三种衡算可以用统一的形式来 表达，即 输入的(动量、热量、质量)速率 － ＝ 输出的(动量、热量、质量)速率 累积的( 动量、热量、质量)速率
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所以，柱坐标的连续性方程也可以表示为
D u r u r 1 u u z ( )0 D ' r r r z
对于不可压缩流体，为常数 则柱坐标的连续性方程为
u r u r 1 u u z 0 r r r z
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(2) 球坐标系的连续性方程一般表达式为：
z,r,
rd
dz dr r
(r+dr)d
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u r ( z , r , ) u ( z , r , )u ( z , r , ) u ( z , r , ) z
密度为
( z, r , )
r方向的流体质量速率为 输入： ur rddz 输出： [ u ( ur ) dr ] (r dr )ddz r
方向的流体质量速率为 输入： u drdz 输出： ( u ) [ u d ]drdz
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输出－输入
( u ) drddz
Z方向的流体质量速率为 输入： u dr rd
z
输出：
[ u z
( u z ) dz]dr rd z
密度为
( x, y, z, )
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( u y
( u y ) y
dy)dxdz
y
uzdxdy
uxdydz dz z
dy (x,y,z) dx uydxdz
( u x
x
( u x ) dx)dydz x
( u z ) ( u z dz)dxdy z
微分质量衡算的微元体
wk.baidu.com
流率：单位时间流过总面积的质量 通量：单位时间流过单位面积的质量
u(kg/m2s)为单位时间流过单位面积的质量， 通过dA的质量流率为： u cos dA 通过控制面A的输出和输入流率之差：
u cos dA
A
输出质量流率－输入质量流率
5
整个控制体的瞬时质量为
M dV
输入的质量速率 － 输出的质量速率 ＝ 累积的质量速率
7
2.1.2总能量衡算方程
总能量衡算式为，
d Q W uE cosdA d A
EdV
V
如果控制体不吸热，不做功，则
d uE cos dA d A
EdV 0
V
用文字公式可叙述为： 输入的能量速率 － 输出的能量速率 ＝ 累积的能量速率
质量守恒定律 牛顿第二定律
运动的流体 运动的流体
连续性方程 运动方程
(奈维－斯托克斯方程)
2
传递过程研究的三个层次
宏观层次、介观层次和分子层次
W 1 Q 1' 2' 2
3
§2.1. 总衡算方程
2.1.1 总质量衡算方程
控 面 制
.
控制体示意图
.
u
A 控 体 d 制 。 n
4
质量流率与质量通量的概念
1 1 2 ( r 2u r ) ( u sin ) ' r r r sin 1 ( u ) 0 r sin
对于不可压缩流体
u u u r 1 u r 2u r 0 r tg sin
质量的变化为
由 输出－输入＋累积＝0 得
( u ) ( ur r ) ( u z ) drddz drddz rdrddz r z rdrddz 0 '
28
即
1 1 ( ru r ) ( u ) ( u z ) 0 ' r r r z
如果在X方向上作用在控制体上的合力为零，则
d u x u cos dA d A
u x dV 0
V
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同理，Y，Z方向上：
d u z u cos dA d A
u z dV Fz
V
u y u cos dA
A
d d
u y dV Fy
式中为余纬度， 为方位角，
90 90
0 360
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由微分衡算还可以得到如下方程：
动量衡算(动量定律)

奈维斯托克斯方程；
热量衡算(热力学第一定律) 质量衡算(质量守恒定律)
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将上式展开 u x u y u z ux uy uz ( )0 x y z x y z 其中
D ux uy uz x y z D
所以连续性方程的另一表达形式为
u x u y u z D ( )0 D x y z
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2.2.1直角坐标的连续性方程式(欧拉法) (单一
组分流体，无传质过程)
采用欧拉方法，在流体流动的空间内任意一点P(x,y,z) 处，选取一空间微元dx,dy,dz，该点的速度为
u x ( x, y, z , ) u ( x, y, z , )u y ( x, y, z , ) u ( x , y , z , ) z
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2.1.3总动量衡算
对于流动流体，牛顿第二定律表述为 d ( Mu ) F d 为什么称为动量定律？ 三个空间方向上应用牛顿第二运动定律，则
d ( Mu x ) Fx d
d ( Mu y ) d
Fy
d ( Mu z ) Fz d
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以x方向为例，控制体的总动量衡算为： (输出的动量速率－输入的动量速率+累积的动量速率)
z
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由于采用了欧拉方法，微元体的体积固定不变，所以质 量的累积仅表现在微元体内的流体密度的变化上。 在 时流体的密度为 ，在 +d 时，流体的密度为 d 由于密度的变化而使微元体产生的质量累积为：
dM ( d )dxdydz dxdydz ( d )dxdydz 质量累积速率为 ：
ddxdydz dM dxdydz d d
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由 输入质量流率 － 输出质量流率 = 质量累积速率 输入 输出 累积
( u x ) u x x dx dydz x : u x dydz ( u y ) y : u y dxdz u y dy dxdz dxdydz y u dxdy z: z ( u z ) dz dxdy u z z
输出－输入 ( u z ) rdrddz
z
微元体内质量的累积来源于密度的变化 在‘时的质量为 rdrddz
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在时为
( d ' )rdrd dz '
( d ' )rdrddz rdrddz ' rd ' drddz '
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X方向的流体质量速率(kg/s)为：( 注：[kg/m2s]为质 量通量) 输入： u x dydz ( u x ) 输出： [ ux dx]dydz
x
Y方向的流体质量速率为 输入： u y dxdz ( u y ) 输出： [ u y dy]dxdz
y
Z方向的流体质量速率为 输入： u z dxdy ( u z ) 输出： [ uz dz]dxdy
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则
( u y ) ( u x ) ( u z ) dxdydz dxdydz dxdydz x y z dxdydz
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 x y z
即
此式即为普遍适应的连续性方程 适用条件： 稳定流动，不稳定流动；理想流体，非理想流体； 可压缩，不可压缩；牛顿型，非牛顿型
r
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输出－输入
( u r ) dr (r dr )ddz u r rddz r ( u r ) ( u r ) u r drddz rdrd dz (dr ) 2 ddz r r ( u r ) [ u r r ]drddz r ( u r r ) drddz r u r (r dr )ddz
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§2.2. 微分衡算及连续性方程
总衡算方程的特点：不需知道系统内部详情； 微分衡算特点： 了解流动系统内部详细情况，包括 动量，能量，质量等各物理量随空 间和时间的变化情况。 微分衡算所依据的物理定律与总衡算一样： 微分动量衡算：动量守恒(牛顿二定律) 微分能量衡算：能量守恒(热力学一定律) 微分质量衡算：质量守恒
上述为柱坐标通用的连续性方程。 此方程也可以由直角坐标系连续性方程经坐标变换而得。 将上式展开
u u u 1 u u z ur uz ( r r )0 ' r r z r r r z
因
u D ur uz ' r r z D '
对于不可压缩流体， const.
u x u y u z 0 x y z
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习题：由普遍形式的连续性方程推导稳定条件下 的连续性方程。
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2.2.2 柱坐标及球坐标系的连续性方程
有时采用柱坐标或球坐标解决问题更加方便。下 面推导柱坐标系的连续性方程： (1)柱坐标的连续性方程(欧拉法) Z 如图2－3所示，在流体 流动的空间内任意一点 (z，r，)处，选取一空 d 间微元 dz，dr，d， 该点的速度为
= 控制体x方向各种力之和
参照总质量衡算，通过整体控制面的净动量速率为 输出动量速率 ― 输入动量速率 ＝ u x u cos dA
A
d 累积动量速率 = d
u x dV
V
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则总的动量衡算式为
u x u cos dA
A
d d
u x dV Fx
V