简谐运动中对称性应用论文

简谐运动中对称性的应用

【摘要】做简谐运动的物体，其对称性主要表现在：①位移对称性；②时间对称性；③速率对称性；④加速度（回复力）对称性。

【关键词】简谐运动对称性

应用“对称性”会给解题带来较大方便，本文将结合实例加以分析。

一、位移对称性的应用

例1、物体做简谐运动的过程中，有两点a、a/关于平衡位置对称，则物体（）

a、在两点处的位移一定相同

b、在两点处的位移可能相同

c、在两点处的位移一定不同

d、在两点处的位移大小一定相同

解析：根据位移的对称性知，a、a/两点的位移始终大小相等、方向相反。因此c、d为正确答案。

二、时间对称性的应用

例2、一个质点在平衡位置o附近做简谐运动，若从o点开始计时，经过3s质点第一次到达m点，再经过2s第二次到达m点，则质点第三次到达m点的时间为多少？

解析：如图1、设a、b为质点运动过程中的最大位移处，质点的运动可分为两种情况：

若质点开始时是向右运动的，由o→m用了t1=3s，由m→b→m 用了t2=2s，根据时间对称性知，质点由m→b用时为1s，故t/4=4s，得t=16s。所以质点第三次到达m点的时间为t3=t+t1=19s。

图1

若质点开始时是向左运动的，由o→a→o→m，历时t1=3s，由m →b→m，历时t2=2s，同理有t//2+ t//4=4s，得t/=16/3s，又质点由o→m的时间为t/= t//4- t2/2=1/3s，所以质点第三次到达m 点的时间为t3=3t//2+t/=25/3s.

三、速度对称性的应用

例3、如图2为一水平弹簧振子在5s内的振动图象，从图象中分析，在给定的时间内，以t=0.5s时刻为起点的哪段时间内，弹力做的功为零。

解析：由速率的对称性知，与0.5s具有相同速率的时刻为1.5s、2.5s、3.5s、4.5s.再由动能定理知，在0.5s～1.5s、0.5s～2.5s、0.5s～3.5s、0.5s～4.5s的时间内弹力所做的功为零。

图2

四、加速度（回复力）对称性的应用

例4、如图3甲所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，整个过程中弹簧为弹性形变。比较弹簧压缩到最大时小球的加速度和重力加速度的大小？

解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图3乙所示， c点为弹簧为原长时端点的位置，小球的重力与弹簧的弹力大小相等的位置b为平衡位置，a点为弹簧被压缩到最低点的位置（即小球简谐运动的最大位移处），a/点为与a对称的位置（即另一最大位移处），由加速度的对称性知，小球在a点和a/点的加速度大小相等

（设为a），而小球在点c的加速度为g，所以，a＞g．图3

例5、如图4所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木板b相连，木板a放在木板b上，两木板质量均为m，现加一竖直向下的力f作用在a上，a、b均静止。问：

⑴将力f瞬间撤去后，a、b共同运动到最高点时，b对a的弹力多大？

⑵运动过程中，要使a、b不会分开，力f应满足什么条件？

解析：撤去力f后，a、b将共同沿竖直方向做简谐运动，撤去力f的瞬间，a、b整体受的回复力大小为f，方向竖直向上，由牛顿第二定律得，此时a受的回复力大小为f/2，方向竖直向上，因刚撤力f时，a、b的位置是它们做简谐运动的最低点，由回复力的对称性知，在最高点a受回复力大小也为f/2，方向竖直向下，a

受到的回复力是其重力与b对它的弹力的合力。所以在最高点时回复力f/=mg-fn（fn为b对a的弹力）

图4

∴fn =mg-f/=mg-f/2

要使a、b在运动过程中不分开，则应满足在任意位置a、b间的弹力fn≥0

即f≤2mg.

对称性是简谐运动的重要特征之一，相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可能等值反

向，动能、势能一定相等。振动物体通过平衡位置两侧的两段对称路径的时间相等，回复力做的功相等，回复力的冲量大小相等；物体通过平衡位置一侧的一段路径的往返时间也相等。这一对称性关系在应用中很有价值。

参考文献

[1] 王显忠，《导学教程》，济南出版社.

[2] 涛琪，《红对勾》，内蒙古大学出版社.

[3] 谢冰玉等，《高考理化生》长春出版社.