第一章-5-飞行动力学-飞机的纵向运动分解
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由于速度为轨迹弧长对时间的导数：V=ds/dt, 微段弧长：s=R, 取微分为：ds=Rd, 因此有：
V2 V 1 ds R d d an V V V V R R R dt R dt dt
2.切向方程
1
0
巡航飞行中速度较快，迎角较小；发动机安装角T在飞机上 是一个很小的角度，所以
XV X X -XT
—无因次速度 Tv，TT可由发动机特性曲线求出 Dv，Da是阻力对速度和迎角的函数，由吹风数据得出 d V 也可写成： X V X X X
dt
V
TBiblioteka Baidu
T
(二)法向动力学方程的线性化
法向加速度为
0
对于等速直线平飞的基准运动有 代入几何关系 得： 考虑升力表达式 得 mV d mV d L
cos( T ) 1
3.纵向方程
推力远小于重力，第二式中： 所以纵向方程：
dV m dt T D G sin mV d L G cos dt d 2 M a TzT I y 2 dt
d Z ZV V q Z e e dt
令p=d/dt，可得另一种描述：
式中，Xv，Z，Mq称为大导数（有单位）； 而Cm，CDM，Cl称为小导数（无因次）； 上式虽然是3个等式，描述了一个4阶系统：有4个p=d/dt
纵向方程系数表示式
大导数的意义 与计算公式
（三）绕oy轴转动动力学方程的线性化
由基准运动可知： 代入力矩： 可得
M
M
整理后得
MV dq/dt -Me -MT Mq q
令 可得： 或
d q dt
d q M V V M M M q q M e e M T T dt d q M V V M M M q q M e e M T T dt
a a a a M a M 0a M V V M M ae e M M q q
(一)切向动力学方程的线性化
dV 1 (T D G sin ) dt m
切向加速度： ， 基准运动航迹倾角0=0，故 且 则第一式的线性化方程为 由于有= -， 0=0-0=0，所以有：=- 代入上式： 式中，
T T (V , T ) L L(V , , e ) D D(V , ) M a M a (V , , e , , q )
各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一 阶项,得
令 得到力与力矩的线性化描述：
T T0 TV V TT T L L0 LV V L L e e D D0 DV V D
第一章
飞行动力学
第八节 飞机的纵向运动
北京航空航天大学自动化学院
张平
2012，3
一、纵向运动方程
纵向运动 飞机在自身对称面内运动： 升降、加减速、俯仰 纵向运动的外力与力矩 1、发动机推力T，方向沿发动机轴线，与机身轴线形成发动机安装角T 重心对推力线的垂距为zT，当重心在推力线之上zT为正值时，推力T对 重心之矩为正 2、升力L,垂直于飞行速度V，向上为正； 3、阻力D，平行于飞行速度V，向后为正； 4、俯仰力矩Ma(仅指气动力矩)，抬头为正。 5、重力G，永远指向地心。
，可忽略
二、纵向运动方程的线性化
推力：T=T(V,，T)，与空速、空气密度和油门位置有关 升力：L=L(V,，，e)，与空速、密度、迎角和升降舵偏转 角有关 阻力：D=D(V,，)，与空速、密度、迎角（和升降舵偏转角） 有关 俯仰力矩：M a M a (V , , , e , , q) ,还与动导数有关 基准运动为定直平飞，小扰动假设：空气密度=常值，可忽略 简化的力与力矩：
0
0
高阶小量
代入
LV V L Le e G cos
dt
0
dt
0
对于基准运动，有L0-G=0，而cos=1 则
Z ZV -Ze
式中，Lv，L，Le是升力对速度、迎角和升降舵偏角的偏导数 令 d 也可写成： d
dt q
dt
Z ZV V q Z e e
控制力矩
纵向方程描述
归纳纵向4阶状态方程 系数矩阵— 雅可比矩阵
d V X V V X X X T T dt
d q M V V M M M q q M e e M T T dt d q dt
三、纵向扰动运动的两种典型模态 以飞机纵向扰动运动的过渡过程为例。 设某飞机高度h=11OOOm，M=0.9(V0=266m/s)作定常直线平飞，受到 扰动后，飞机偏离基准运动状态。计算扰动因素消除后，飞机 恢复到基准运动的过渡过程。 完全靠飞机自身的稳定性，驾驶员没有进行操纵:
一、纵向运动方程
由受力图可得方程组:
速度的切向方向-
速度的法向方向-
dV T cos( T ) D G sin dt d mV T sin( T ) L G cos dt dq Iy M a TzT dt d q dt m
第二式中：Vd/dt=an-法向加速度，速度在法向的变化率 第三式是绕oy轴的转动动力学方程， 第四式与第五式是补充几何关系。 注：仅是在纵向剖面的力与力矩关系。
1.纵向方程
1）法向方程 d/dt=an的由来：飞机质心速度V 由理论力学，法向加速度an=V2/R，
式中：V -切向速度，R -重心轨迹曲率半径
V2 V 1 ds R d d an V V V V R R R dt R dt dt
2.切向方程
1
0
巡航飞行中速度较快，迎角较小；发动机安装角T在飞机上 是一个很小的角度，所以
XV X X -XT
—无因次速度 Tv，TT可由发动机特性曲线求出 Dv，Da是阻力对速度和迎角的函数，由吹风数据得出 d V 也可写成： X V X X X
dt
V
TBiblioteka Baidu
T
(二)法向动力学方程的线性化
法向加速度为
0
对于等速直线平飞的基准运动有 代入几何关系 得： 考虑升力表达式 得 mV d mV d L
cos( T ) 1
3.纵向方程
推力远小于重力，第二式中： 所以纵向方程：
dV m dt T D G sin mV d L G cos dt d 2 M a TzT I y 2 dt
d Z ZV V q Z e e dt
令p=d/dt，可得另一种描述：
式中，Xv，Z，Mq称为大导数（有单位）； 而Cm，CDM，Cl称为小导数（无因次）； 上式虽然是3个等式，描述了一个4阶系统：有4个p=d/dt
纵向方程系数表示式
大导数的意义 与计算公式
（三）绕oy轴转动动力学方程的线性化
由基准运动可知： 代入力矩： 可得
M
M
整理后得
MV dq/dt -Me -MT Mq q
令 可得： 或
d q dt
d q M V V M M M q q M e e M T T dt d q M V V M M M q q M e e M T T dt
a a a a M a M 0a M V V M M ae e M M q q
(一)切向动力学方程的线性化
dV 1 (T D G sin ) dt m
切向加速度： ， 基准运动航迹倾角0=0，故 且 则第一式的线性化方程为 由于有= -， 0=0-0=0，所以有：=- 代入上式： 式中，
T T (V , T ) L L(V , , e ) D D(V , ) M a M a (V , , e , , q )
各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一 阶项,得
令 得到力与力矩的线性化描述：
T T0 TV V TT T L L0 LV V L L e e D D0 DV V D
第一章
飞行动力学
第八节 飞机的纵向运动
北京航空航天大学自动化学院
张平
2012，3
一、纵向运动方程
纵向运动 飞机在自身对称面内运动： 升降、加减速、俯仰 纵向运动的外力与力矩 1、发动机推力T，方向沿发动机轴线，与机身轴线形成发动机安装角T 重心对推力线的垂距为zT，当重心在推力线之上zT为正值时，推力T对 重心之矩为正 2、升力L,垂直于飞行速度V，向上为正； 3、阻力D，平行于飞行速度V，向后为正； 4、俯仰力矩Ma(仅指气动力矩)，抬头为正。 5、重力G，永远指向地心。
，可忽略
二、纵向运动方程的线性化
推力：T=T(V,，T)，与空速、空气密度和油门位置有关 升力：L=L(V,，，e)，与空速、密度、迎角和升降舵偏转 角有关 阻力：D=D(V,，)，与空速、密度、迎角（和升降舵偏转角） 有关 俯仰力矩：M a M a (V , , , e , , q) ,还与动导数有关 基准运动为定直平飞，小扰动假设：空气密度=常值，可忽略 简化的力与力矩：
0
0
高阶小量
代入
LV V L Le e G cos
dt
0
dt
0
对于基准运动，有L0-G=0，而cos=1 则
Z ZV -Ze
式中，Lv，L，Le是升力对速度、迎角和升降舵偏角的偏导数 令 d 也可写成： d
dt q
dt
Z ZV V q Z e e
控制力矩
纵向方程描述
归纳纵向4阶状态方程 系数矩阵— 雅可比矩阵
d V X V V X X X T T dt
d q M V V M M M q q M e e M T T dt d q dt
三、纵向扰动运动的两种典型模态 以飞机纵向扰动运动的过渡过程为例。 设某飞机高度h=11OOOm，M=0.9(V0=266m/s)作定常直线平飞，受到 扰动后，飞机偏离基准运动状态。计算扰动因素消除后，飞机 恢复到基准运动的过渡过程。 完全靠飞机自身的稳定性，驾驶员没有进行操纵:
一、纵向运动方程
由受力图可得方程组:
速度的切向方向-
速度的法向方向-
dV T cos( T ) D G sin dt d mV T sin( T ) L G cos dt dq Iy M a TzT dt d q dt m
第二式中：Vd/dt=an-法向加速度，速度在法向的变化率 第三式是绕oy轴的转动动力学方程， 第四式与第五式是补充几何关系。 注：仅是在纵向剖面的力与力矩关系。
1.纵向方程
1）法向方程 d/dt=an的由来：飞机质心速度V 由理论力学，法向加速度an=V2/R，
式中：V -切向速度，R -重心轨迹曲率半径