一元一次不等式组的解法、步骤、应用
一元一次不等式(组)及其解法
一.一元一次不等式的定义
只含有一个未知数, 只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的 不等式叫一元一次不等式. 不等式叫一元一次不等式.
二.形式: 形如 形式: 形如ax>b(a≠0)
如何解不等式ax>b(a ≠0)? 如何解不等式
b 分类讨论:a>0时,x> 分类讨论 时 a
1 − 3x 练习: (1)解不等式 − 7 ≤ <2 2 (2)解不等式组 : 4 + 2x > 7 x + 3 3x + 6 > 4 x + 5 2 x − 3 < 3x − 5
x+y=3 例8.方程组 8.方程组 的解满足 x-2y=-3+a 2y=-
x>0 ,求a的取值范围. 的取值范围. y>0
x
b a b a
x
b a<0时,x< 时 a
三.一元一次不等式的解法: 一元一次不等式的解法:
4 − 2x x −3 例1.解不等式 < 1− 3 4
去分母 去括号 移项b的形式 或 化成 的形式
练习：求不等式21 − 4 x > 5的非负整数解 1. 1 2 2.k取什么值时, 代数式 (1 − 5k ) − k的值为非负数. 2 3
2 3 x + 25 例2.关于x的方程 − ( x + m) = + 1的解是正数, 3 3 那么m的取值范围是什么?
四.一元一次不等式组
假设a>b 假设
x>a
(1)
x>b x>a
x>a
x<a
第10讲 一元一次不等式组
三、解答题 (共 54 分 ) 15 ． (1)(4 分 )(2015· 连云港)解不等式组：
2x＋ 1＞5， x＋1＞4(x－2).
2x＋ 1＞5， 解： x＋1＞4(x－2)，
解不等式①，得 x＞ 2. 解不等式②，得 x＜ 3.
① ②
∴不等式组的解集是 2＜x＜3.
2 x－ 1≥x＋ 1， (2)(4分 )解不等式组： 1 x－ 2> 2x－ 1. 3 2 x－ 1≥x＋ 1， 解： 1 x－ 2> 2x－ 1， 3x＋1＜0， D. 3－x＞0
3x＋ 4≥ 0， 3 ． 不 等 式 组 1 x－24≤ 1 2 积为 0 .
的所有整数解的
5－2x≥－1， 4．已知关于 x 的不等式组 无解， x－a>0
则 a 的取值范围是 a≥ 3.
解不等式①，得 2x≥－ 2，解得 x≥－ 1. 解不等式②，得 x＜ 4. 则不等式组的解集为－ 1≤ x＜ 4.
在数轴上表示如下图所示．
4 x＋ 1≤7x＋ 10， (4)(5 分 )(2015· 北京 ) 解不等式组： x－8 x－5< ， 3 并写出它的所有非负整数解．
∴不等式组的解集是 x＞ 5. ① ②
解不等式①，得 x≥ 3.解不等式②，得 x＞ 5.
2x＋ 1≥－ 1， (3)(5分 )解不等式组： 1＋ 2x >x－ 1， 3
等式组的解集在数轴上表示出来．
并把不
2x＋ 1≥－ 1， ① 解：1＋ 2x >x－ 1， ② 3
m＝ 2， ∴ n＝ 1.
∴ x2－ 4x＋ 2mn＝ x2－ 4x＋ 4＝ (x－ 2)2. 答案： (x－ 2)2
六年级春季班第12讲：一元一次不等式(组)的应用与提高-教师版
本讲在上一讲学习了一元一次不等式（组）的基础上，讲解一元一次不等式（组）的相关应用，以及含字母系数的不等式（组）和含绝对值的不等式．重点是灵活运用不等式的思想解决相关的实际问题，难点是掌握分类讨论的数学思想，用以解决含字母系数的不等式（组）和含绝对值的不等式的问题．1、 一元一次不等式及其解法只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式． 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项；（4）化成ax b >（或ax b <等）的形式（其中0a ≠）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．一元一次不等式（组）的应用与提高内容分析知识结构模块一：一元一次不等式的解法及应用知识精讲【例1】()5134y y--≥-的最大整数解是__________．【难度】★【答案】4．【解析】原不等式化为：28y≤，即：4y≤，所以最大整数解是4．【总结】考查不等式的解法，注意题目中求的是最大整数解．【例2】解下列不等式．（1）7341112536x x x x-++--≥-+；（2）()()112335123x x⎡⎤----≥⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【答案】（1）3617x≤；（2）23x≤-．【解析】（1）去分母得：15(7)6(34)3010(1)5(1)x x x x--+≥-++-去括号得：10515182430101055x x x x---≥--+-合并同类项得：3472x≤解得：3617x≤；（2）化简得：5(23)23x x---+≥，4(23x--≥，423x-≤-即原不等式的解为：23x≤-．【总结】考查不等式的解法，注意去分母时每一项都要乘以最简公分母．【例3】当a为何值时，不等式31324x a x-->的解集是x > 2．【难度】★★【答案】16．【解析】去分母得：2(31)3x a x->-，去括号化简得：92x a>+所以原不等式的解为：29ax+>，即229a+=，解得：16a=．【总结】本题主要考查对不等式的解集的理解及运用．例题解析【例4】m为何正整数时，关于x的方程5315424x m m-=-的解是非正数？【难度】★★【答案】m为1或2或3．【解析】去分母得：53215x m m-=-，化简得：3x m=-．因为方程的解是非正数，所以30m-≤，解得：3m≤，所以正整数m的值为1、2、3．【总结】考查解一元一次方程与解不等式的综合运用，注意对非正数的理解．【例5】有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数．【难度】★★【答案】63或54或45或36或27或18．【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为(9)x-，则有：10963x x+-≤，解得：6x≤，所以这个两位数可能为：63、54、45、36、27、18．【总结】考查不等式的简单应用．【例6】10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或种乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0．5万元，乙种蔬菜可收入0．8万元，要使总收入不低于15．6万元，则最多能安排几个人种甲种蔬菜？【难度】★★【答案】4人．【解析】设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的人数为（10x-）人，则0.530.82(10)15.6x x⨯+⨯-≥，解得：4x≤，故最多安排4人种甲种蔬菜．【总结】考查不等式在实际生活中的简单应用．【例7】 用含药率15%与40%的同种农药混合成含药率不小于30%的农药100千克，那么含药率40%的农药应不少于多少千克？ 【难度】★★【答案】不少于60千克．【解析】设需含药率15%的农药x 千克，则需含药率40%的农药（100x -）千克， 可列方程：15%40%(100)30x x +-=，解得：40x =，故10060x -=千克． 【总结】考查不等式在实际生活中的简单应用．【例8】 某单位组织旅游，定了若干条游船（不超过10条），如每条游船坐4人，则还余19人没安排；如每条游船坐6人，则有一条船人没坐满．问：该单位定了多少条游船？ 【难度】★★ 【答案】10条．【解析】设该单位定了x 条游船(010)x x <≤，为整数，则0(419)6(1)6x x <+--<，解得：9.510x <≤， 所以10x =，即该单位定了10条游船． 【总结】考查不等式的简单应用．【例9】 某班班主任组织优秀班干部去旅游，甲旅行社说：“如果班主任买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的6折优惠．”全票价为24元/张，就学生数讨论哪家旅行社更优惠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设旅行社收的费用为y 元，学生数有x 人，根据题意得：24024050%120240(1)24060%144144y x x y x x =+⨯⨯=+=+⨯⨯=+甲乙，当y y =甲乙时，解得4x =，即当学生数为4时，两家旅行社收费一样多； 所以可得：当4x >时，y y <甲乙；当4x <时，y y >甲乙．因此学生数多于4人时，选甲旅行社；当学生数少于4人时，选乙旅行社． 【总结】考查不等式的应用，注意对两种方案的选择．【例10】 已知A 市和B 市库存某种机器12台和6台，现决定支援C 市10台，D 市8台，已知从A 市调运一台机器到C 市、D 市的运费分别为400元和800元；从B 市调运一台机器到C 市、D 市运费分别300元和500元，要求运费不超过9000元，问共有几种调运方案． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设B 市到C 市运x 台，则B 市到D 市运（6x -）台，A 市到C 市运（10x -）台， A 市到D 市运（12(10)x --）台，总运费为ω元，则 300500(6)400(10)800[12(10)]x x x x xω=+-+-+--=+，令9000ω≤，即20086009000+≤，解得：2x ≤． 所以共有三种调运方案：①B 市往C 市运0台，B 市往D 市运6台，A 市往C 市运10台，A 市往D 市运2台； ②B 市往C 市运1台，B 市往D 市运5台，A 市往C 市运9台，A 市往D 市运3台； ③B 市往C 市运2台，B 市往D 市运4台，A 市往C 市运8台，A 市往D 市运4台． 【总结】考查不等式的应用，注意对方案的选择．【例11】 解不等式：34312xx->-． 【难度】★★★【答案】102x <<．【解析】移项得：343012x x -->-，通分得：343(12)012x x x --->-，即2012xx>-． 1． 当0120x x >->，且时，解得：102x <<； 2．当0120x x <-<且时，不等式无解． 综上原不等式的解集为：102x <<． 【总结】本题综合性较强，注意分类讨论，切忌直接去分母．1、 解一元一次不等式组的一般步骤（1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．【例12】 不等式3941x -<-<的解集是__________． 【难度】★ 【答案】23x <<．【解析】移项：39419x --<-<-，两边同时除以-4：1248x -<-<-，解得：23x <<． 【总结】考查不等式组的解法．【例13】 同时满足不等式23104x-+≥和()225x -≥-的整数解是______________． 【难度】★★ 【答案】0、1、2．【解析】由第一个不等式可得：2340x -+≥，解得：2x ≤，由第二个不等式可得：245x -≥-，解得：12x ≥-，所以：122x -≤≤，故满足不等式组的整数解是：0、1、2．【总结】考查不等式组的解法及应用，注意对整数解的确定．模块二：一元一次不等式组的解法与应用知识精讲例题解析【例14】 x 的2倍与5的和的一半大于3-且不大于7，列出不等式（组）为____________，x 的取值范围为__________________． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】根据题意得：25372x +-<≤，解得：11922x -<≤． 【总结】考查不等式组的应用及解法．【例15】 不等式组()12143x ax x +<⎧⎪⎨->-⎪⎩的解集为一切负数，求a 的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由①得：1x a <-，由②得：112x <，因为不等式组的解集为一切负数， 所以1x a <-，且101a a -==，解得：． 【总结】考查对不等式组的解集的理解及简单应用．【例16】 解下列不等式组： （1）1032752532x x x x x --⎧+-<-⎪⎪⎨⎪+>+⎪⎩；（2）()()22132237223x x x x x x ⎧+≤+⎪->+⎨⎪-≥+⎩．【难度】★★． 【答案】见解析【解析】（1）由①得：10(2)2(10)705(3)x x x +--<--，化简得：1345x <，解得：4513x <，由②得：4x >-， 所以原不等式组的解集为：45413x -<<； （2）由①得：1x ≥，由②得：5x >，由③得：4x ≥，所以原不等式组的解为：5x >．【总结】考查不等式组的解法：同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小是空集．【例17】 一件商品售价为120元，若按售价九折出售，获利不超过20%；若按售价七折出售，则出现亏本．求商品成本价的范围．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】设商品成本价为x 元，由题意可得：12090%120%12070%x x ⨯≤+⎧⎨⨯<⎩，解得：9084x x ≥⎧⎨>⎩， 所以原不等式组的解集为：90x ≥．【总结】考查不等式组在实际问题中的简单应用．【例18】 一种灭虫药粉40千克，含药率是15%，现在要用含药率较高的同样的灭虫药粉50千克与它混合，使混合后的含药率在25%与30%之间（不包括25%和30%），求所用药粉的含药率的范围． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】设所用药粉的含药率为x ，由题意可得：4015%5025%30%4050x ⨯+<<+，解得：33%42%x <<， 即所用药粉的含药率在33%到42%之间．【总结】考查不等式组的简单应用，注意对含药率的准确理解．【例19】 某初三毕业班若干名同学合影留念，需交照相费40元（含两张照片），若另外加洗一张照片收费5元，预定平均每人交钱大于6元而少于8元，问：至少有多少学生参加照相，才能保证一人一张照片？ 【难度】★★ 【答案】11．【解析】设有x 名学生参加照相，由题意可得：6405(2)8x x x <+-<，解得：1030x <<，因为学生数为整数，所以至少有11名同学．【总结】考查不等式组在实际问题中的简单应用，注意学生数只能取整数．【例20】 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知生产一件A 种产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，出售后可获利700元；生产一件B 种产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，出售后可获利1200元．按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设生产A 种产品x 件，则有：94(50)360310(50)290x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩，解得：3032x ≤≤，所以有三种方案：①生产A 种产品30件，B 种产品20件；此时获利：7003012002045000⨯+⨯=元； ②生产A 种产品31件，B 种产品19件；此时获利：7003112001944500⨯+⨯=元； ③生产A 种产品32件，B 种产品18件；此时获利：7003212001844000⨯+⨯=元， 所以采用方案①所获利润最大，为45000元．【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例21】 某厂2016年12月在制定2017年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息： 生产该化肥的工人数不能超过200人；每个工人全年工时数不得多于2100个；预计2017 年该化肥至少可销售80000袋；每生产一袋该化肥需要4个工时；每袋该化肥需要原料 20千克；现库存原料800吨，本月还需要200吨，2017年可补充1200吨． 请你根据以上数据确定2017年该种化肥的生产袋数的范围． 【难度】★★★【答案】8000090000x ≤≤．【解析】设2017年该种化肥的生产袋数为x ，则根据题意，可得：4210020020(8002001200)10008000x x x ≤⨯⎧⎪≤-+⨯⎨⎪≥⎩由①得：105000x ≤， 由②得：90000x ≤所以8000090000x ≤≤，即2017年生产袋数范围是8000090000x ≤≤． 【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例22】甲、乙两人到某折扣店买商品，商店的商品只剩两种，单价为32元和36，已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了688元，求两人共购买两种商品各多少件？【难度】★★★【答案】8、12．【解析】设单价为32元的购买x件，36元的y件，则3236688x y+=，化简得：8()172x y y++=，因为x、y均为整数，所以解得812xy=⎧⎨=⎩，即两人共购买甲商品8件，乙商品12件．【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例23】已知a、b、c为三个非负数，且满足325a b c++=，231a b c+-=，若39S a b c=+-，则S的最大值与最小值为多少？【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由325231a b ca b c++=⎧⎨+-=⎩①②，得73711a cb c=-⎧⎨=-⎩③④，所以393(73)71192 s a b c c c c c=+-=-+--=-．因为a、b、c为三个非负数，故由③得：730a c=-≥，37c≥，由④得：7110b c=-≥，711c≤，所以37711c≤≤，则当711c=时，s值最大，为1511-；当37c=时，s值最小，为137-．【总结】本题较复杂，主要考查不等式组的应用，注意用一个未知量去表示另一个未知量．1、 含字母系数的不等式根据不等式的性质3可知：对于不等式1ax >，若0a >，则1x a >；若0a <，则1x a<．【例24】 解关于x 的不等式()120a x a --+>（其中a > 1）． 【难度】★ 【答案】21a x a ->-． 【解析】由题意可得：(1)2a x a ->-，因为a > 1，所以10a ->，所以21a x a ->-． 【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．【例25】 讨论关于x 的不等式ax < b （0a ≠）的解的情况． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】当0a >时，b x a <； 当0a <时，bx a>． 【总结】考查解含字母系数的不等式，注意分类讨论．【例26】 设a < 1，解不等式1ax a x +-<． 【难度】★★ 【答案】1x >-．【解析】由题意可得：(1)1a x a -<-，因为a < 1，所以10a -<， 所以原不等式的解为1x >-．【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．模块三：含字母系数的不等式（组）知识精讲例题解析【例27】 解关于x 的不等式2m x n x ->+． 【难度】★★ 【答案】21nx m <-+． 【解析】由题意可得：2m x x n -->，即2(1)m x n -+>， 因为2(1)0m x -+<，所以原不等式的解为21nx m <-+． 【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．【例28】 已知关于x 的不等式()3223a x a -<-的解集是1x >-，求a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】23a <．【解析】由题意可得：320a -<，解得：23a <． 【总结】考查对不等式的解集的理解及应用．【例29】 设不等式()()230a b x a b ++-<的解集是13x <-，解关于x 的不等式()32a b x a b ->-．【难度】★★★ 【答案】3x <-．【解析】由题意可得：不等式的解集为：32b ax a b-<+， 3213b a a b -∴=-+，解得2a b =，代入()32a b x a b ->-，得：3bx b ->． 0320200a b b a a b a b +>-<=∴>>，且，，，()323x a b x a b x ∴->-<-的解集的式为：关于不等．【总结】本题综合性较强，要先根据第一个不等式的解集，求出a 、b 之间的关系，从而再求出第二个不等式的解集，注意要根据已知条件判断系数的符号．1、 ax b c +>（0c >）的解法是：先化为不等式组ax b c +>或ax b c +<-，再由不等式的性质求出原不等式的解集． 2、 ax b c +<（0c >）的解法是：先化为不等式c ax b c -<+<，再由不等式的性质求出原不等式的解集．【例30】 下列不等式中，解集为一切实数的是（ ）A ．21x +>B ．211x ++>C ．()2781x ->-D ．()27810x -->【难度】★ 【答案】C【解析】A 、B 选项当x 取-2时不成立； C 选项()2780x -≥所以不论取何值时都是成立的； D 选项当x 取78时不成立． 【总结】考查绝对值的非负性的运用．【例31】 解绝对值不等式． （1）23x -≤；（2）23x ->．【难度】★★【答案】（1）15x -≤≤；（2）51x x ><-或． 【解析】（1）323x -≤-≤，解得：15x -≤≤； （2）23x ->或23x -<-，解得：51x x ><-或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．模块四：含绝对值符号的不等式知识精讲例题解析【例32】 解不等式125x -<． 【难度】★★ 【答案】23x -<<．【解析】由题意得：5125x -<-<，即：624x -<-<，解得：23x -<<． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．【例33】 不等式组1122210x x ⎧-≥⎪⎨⎪-<⎩的解集为____________．【难度】★★ 【答案】82x -<≤-．【解析】由题意：由①得：2x ≤-；由②得：812x -<<，所以不等式组的解集为：82x -<≤-． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．【例34】 解不等式组：431013x ≤-<． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意可得：1331013x -<-<、31043104x x -≥-≤-或，解得：2313x -<<；1423x x ≤≥或，所以原不等式组的解为：14231233x x -<≤≤<或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意解集取公共部分．【例35】 解不等式：211x x +>+． 【难度】★★★【答案】23x <-或0x >．【解析】①若210x +≥，即12x ≥-时，有211x x +>+，解得：0x >，②若210x +<，即12x <-时，有211x x -->+，解得：23x <-，综上，不等式的解集为：23x <-或0x >．【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意分类讨论．【例36】 解不等式：211x x -+>． 【难度】★★★ 【答案】203x x ><-或． 【解析】由题意，不等式可化为：211211x x x x -+>-+<-或， 整理得：211211x x x x +<-+>+或，由①可得：210210211211x x x x x x +>+<⎧⎧⎨⎨+<---<+⎩⎩或，此时无解，由②得：210210211211x x x x x x +>+<⎧⎧⎨⎨+>+-->+⎩⎩或，解得：203x x ><-或，综上原不等式的解集为：203x x ><-或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意分类讨论．【习题1】 解下列不等式．（1）14153328x x ++≥--； （2）0.30.20.050.010.70.120.40.020.3x x x ++--≤-． 【难度】★★ 【答案】（1）394x ≥-；（2）4x ≤． 【解析】（1）由题意，去分母得：120884123x x -≥--，整理得：439x ≥-，解得：394x ≥-； （2）由题意化简得：3251712423x x x ++--≤-， 去分母得：9630624-284x x x +--≤+，整理得：728x ≤， 解得：4x ≤．【总结】考查不等式的解法，注意去分母时每一项都要乘以最简公分母．随堂检测【习题2】 解不等式组：（1）()()11373113365221038127x x x xx x x ⎧----<-⎪⎪⎨--⎪-<-⎪⎩；（2）342534127232310.54x xx x x x x x +<+⎧⎪-<-⎪⎪+⎨+<--⎪⎪-->⎪⎩．【难度】★★ 【答案】（1）613x >；（2）11x -<<． 【解析】（1）由①得：7055(3)18615(13)x x x x --<---， 整理得：18366x >，解得：613x >； 由②得：147(38)4(10)14x x x --<--，整理得：756264x x -+<-，解得：10x >， 所以原不等式组的解集是：613x >； （2）由①得：1x >-；由②得：2x <；由③得：1x <；由④得：2x >-， 所以原不等式组的解集是：11x -<<． 【总结】考查解不等式组的简单应用．【习题3】 若代数式32353x x -+-的值是非负数，则x 的取值范围是_______． 【难度】★★【答案】214x ≥．【解析】由题意可得：323053x x -+-≥，化简得：965150x x ---≥，解得：214x ≥． 【总结】考查不等式的简单应用，注意对非负数的准确理解．【习题4】 三个连续的正偶数的和不超过30，求这三个数． 【难度】★★． 【答案】见解析．【解析】由题意得：2222230n n n -+++≤，即6305n n ≤≤，，所以2345n =、、、， 所以这三个数为2、4、6或4、6、8或6、8、10或8、10、12． 【总结】考查不等式在实际问题中的简单应用．【习题5】公园门票，普通票每位10元，如买20人以上（含20人）的团体票则可8折优惠．现有18位游客买了20人的团体票，问比买普通票省了多少钱？如果不足20人，至少多少人买20人的团体票比买普通票省钱？【难度】★★【答案】省了20元；至少17人．【解析】（1）18位游客买20人的团体票所需费用为：20×10×80%=160元，这18为游客若买普通票则需要费用为18×10=180元，所以便宜180-160=20元；（2）设至少有x人，则：20 1020100.8xx<⎧⎨>⨯⨯⎩解得：1620x<<，所以至少17人．【总结】考查不等式的简单应用，解题时注意认真分析题意．【习题6】在爆破时，如果导火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人跑开的速度是5米每秒，那么点燃导火线的人要在爆破时能跑到100米以外的安全区域，导火线的长度应不小于多少米？【难度】★★【答案】0.16米．【解析】设导火线应该是x厘米．由题意得：0.81005x÷≥÷，解得：16x≥经检验符合题意，所以导火线的长度至少16厘米，即0.16米．【总结】考查不等式的简单应用，注意单位的统一．【习题7】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【难度】★★【答案】见解析．【解析】设购买甲种机器x 台（0x ≥），则购买乙种机器(6)x -台，由题意得：75(6)34x x +-≤，解得：2x ≤，即可以取0、1、2三个值．所以有以下方案：方案①：不买甲，买乙6台，需资金6×5=30万元，日生产能力为6×60-360个， 方案②：买甲1台，买乙5台，需资金1×7+5×5=32万元， 生产能力为100+5×60=400个，方案③：买甲2台，买乙4台，需资金2×7+4×5=34万元，生产能力为2×100+4×60=440， 因此，选择方案②，既能达到生产能力又比方案③节约． 【总结】考查不等式的简单应用，注意对最优方案的选择．【习题8】 今有浓度5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制7%的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？【难度】★★★【答案】甲种盐水最多取49克，最少取35克．【解析】设甲乙丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克，配成浓度为7%的盐水100克， 则有1005897%100x y z x y z ++=⎧⎨++=⨯⎩①②，其中060060047x y z ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩③④⑤由①②得：20043100y x z x =-=-，，于是由④有：0200460x ≤-≤，解得：3550x ≤≤， 由⑤得：0310047x ≤-≤，解得：100493x ≤≤， 综上：3549x ≤≤，所以甲种盐水最多取49克，最少取35克． 【总结】考查不等式在实际问题中的应用，综合性较强，注意进行分析．【习题9】 解不等式：3315x -≥． 【难度】★★【答案】64x x ≥≤-或．【解析】由题意得：33153315x x -≥-≤-或，解得：64x x ≥≤-或． 【总结】考查含绝对值的不等式的解法．【习题10】 解关于x 的不等式ax b cx d +>+． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意得：()a c x d b ->-，分类讨论如下：①当0a c ->时，原不等式的解为：d bx a c ->-； ②当0a c -<时，原不等式的解为：d bx a c-<-； ③当0a c -=，0d b -<时，原不等式有无数解； ④当0a c -=，0d b -≥时，原不等式无解．【总结】考查含字母系数的不等式的解法，注意分类讨论．【习题11】 如果不等式()312x a --≤的正整数解是1、2，求a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】14a ≤<．【解析】由题意整理得：31x a ≤-，解得：13ax -≤， 因为原不等式的正整数解是1、2，则1233a-≤<，解得：14a ≤<． 【总结】考查不等式的应用，注意对解得取值范围的准确判定．【习题12】 已知关于x 的不等式()432a b x b a ->-的解集是49x <，求ax b >的解集． 【难度】★★★【答案】56x <．【解析】由题意得：430a b -<，24439b a x a b -<=-，得56b a =，即56ab =， 代入430a b -<，得0a <， 所以不等式ax b >的解集为：b x a<，即56x <．【总结】考查不等式的简单应用，注意对字母的正负进行判定．【作业1】 解下列不等式（组）．（1）31362232x x xx +--+≤-； （2）()()3116.5 5.52184y y y +--<-++； （3）427336452335x x x x x x +≥+⎧⎪+>+⎨⎪-≤-⎩．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）化简得：31226(2x x x x ++-≤--，整理得31452x x x +-≤+， 解得原不等式的解集为：2513x ≥； （2）去分母得：523(1)442(1)16(1)y y y -+<--++，整理得：1713y >-， 解得原不等式的解集为：1317y >-； （3）由①得：15x ≤；由②得：592x >-；由③得：2x ≥， 可画图发现原不等式组无解． 【总结】考查解不等式的简单应用．【作业2】 下面四个结论中，正确的个数有（ ）（1）ax b =，当0a ≠时，解为b x a =； （2）ax b <，当0a ≠时，解集为bx a<；（3）ax b ->，当0a <，解集为b x a >-； （4）()21a x b +>-的解集为21bx a <-+．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）正确；（2）错误，本题需分类讨论；（3）正确；（4）错误，21bx a >-+，综上可得只有（1）、（3）正确，故选B ．【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负进行判定．课后作业【作业3】 已知不等式组212x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a ≥-D ．3a >-【难度】★★【答案】C 【解析】由题意可得212a a +≥-，即3a ≥-，故选C ．【总结】考查不等式组的解法：大大小小是空集．【作业4】 a 的3倍与5的和不大于16与a 的差，求正整数a ．【难度】★★【答案】1或2．【解析】根据题意可得：3516a a +≤-，解得：114a ≤，所以正整数a 可能是1或2． 【总结】考查不等式的应用及解法．【作业5】 求使代数式23375x x ---的值不大于1的最大整数x ． 【难度】★★【答案】9．【解析】由题意可得：233175x x ---≤，去分母得5(23)7(3)35x x ---≤， 化简得：329x ≤，解得：293x ≤，所以x 的最大整数解为9． 【总结】考查不等式的简单应用．【作业6】 如果方程组42533x y k y x +=-⎧⎨-=⎩的解同号，求k 的取值范围． 【难度】★★【答案】732k k <->或． 【解析】由题意可得方程组的解为：618132713k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为方程组的解同号， 得：6182701313k k -+⋅>，即(3)(27)0k k -+>，解得732k k <->或 【总结】本题主要考查不等式组与方程组的综合应用，注意“同号得正”的运用．【作业7】 把一箱苹果分给若干个小孩，如果每人分2个，还剩37个；如果每人分6个，那么最后一个小孩少于6个，求共有多少个小孩？【难度】★★【答案】10个．【解析】设有x 个小孩，由题意可得：662376x x x -<+<，解得：374344x <<，因为人数为整数，所以有10个小孩． 【总结】考查不等式在实际生活中的的简单应用．【作业8】 工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前2天超额完成，问后几天每天平均至少完成多少土方？【难度】★★【答案】80．【解析】设后几天平均每天完成x 土方．具根据题意有：60(612)30x +--≥，解得：80x ≥，即后几天平均每天至少完成80土方．【总结】考查不等式在实际生活中的的简单应用．【作业9】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装300套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资900元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于1260元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于2000元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【难度】★★★【答案】（1）2元；（2）220套．【解析】（1）设企业每套奖励x 元，则90060%3001260x +⋅≥，解得：2x ≥；（2）设小张在六月份加工y 套，则90052000y +≥，解得：220y ≥，故工人每加工1套童装企业至少应奖励2元；小张在六月份应至少加工220套童装．【总结】考查不等式在实际问题中的简单应用，注意认真分析题目中的条件．【作业10】 解关于x 的不等式()()11ax x a a >++-．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意可得：(1)(1)(1)a x a a ->+-当10a ->时，解得：1x a >+；当10a -<时，解得：1x a <+．【总结】考查解含字母系数的不等式，注意分类讨论．【作业11】 解不等式组：2539x ≤-<． 【难度】★★★【答案】413x -<≤或71433x ≤<． 【解析】由题意：539532x x ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩①②，由①得：9539x -<-<，解得：41433x -<<； 由②得：532532x x -≥-≤-或，解得：713x x ≤≥或； 综上，原不等式组的解为413x -<≤或71433x ≤<． 【总结】本题综合性较强，主要考查含绝对值的不等式组的解法，最后注意引导学生用画图的方法帮助确定不等式组的取值范围．。
微专题六 一元一次不等式(组)的解法及其应用
B品牌运动服/件
30
累计采购款/元
10 200
(1)A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
解:(1)设 A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 x 元和 y 元.
根据题意,得
+ = ,
= ,
解得
= ,
+ = ,
∴A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 240 元和 180 元.
①有哪几种购买方案?
②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
解:(2)①设购买儿童口罩 m 包,则购买成人口罩(5-m)包.
+ (-) ≥ ,
根据题意,得
解得 2≤m≤3.
+ (-) ≤ ,
∵m 为整数,∴m=2 或 m=3.∴共有两种购买方案:
-
解不等式 x-4<
,得 x<2,
则不等式组的解集为-3≤x<2,
∴不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.
一元一次不等式的应用
6.某商城的运动服装专柜,对A,B两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行
销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如表所示:
进货批次
第一次
A品牌运动服/件
故此商场至少需购进6件A种商品.
一元一次不等式组的应用
8.小明网购了一本课外书,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少25元”.乙说:“至多
22元,”丙说:“至多20元,”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为(
)
B
A.20<x<22
B.22<x<25
10一元一次不等式组(基础) 知识讲解及其练习 含答案
一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20， 所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三： 【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x xx +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．一元一次不等式组（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为 （ ）．3．（•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ＞1 4．不等式32015x -<≤的整数解有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．现用甲、乙两种运输车将46t 抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t ，乙种运输车载重4t ，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆6．如果|x+1|＝1+x ，|3x+2|＝-3x-2，那么x 的取值范围是（ ）．A ．213x -≤≤-B ．1x ≥-C ．23x ≤-D ．213x -≤≤- 二、填空题7.如果a ＜2，那么不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解集为_______，2x a x <⎧⎨>⎩的解集为_______． 8．（•广东）不等式组x x x x --⎧⎪⎨-⎪⎩1222132≤＞的解集是 ． 9．不等式组34125x +-≤<的所有整数解的和是______． 10. 如图所示，在天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围为 ．11．从彬彬家步行到学校的路程是2400米，如果彬彬7时离家，要在7时30分至40分间到达学校，那么步行的速度x （米/分）的范围是________．12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,如果a 3x =，b 4x =，c 28=，那么x 的取值范围是 ．三、解答题13.解下列不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．（1）2(1)31134x x x x +≤-⎧⎪+⎨<⎪⎩；（2）1＜3x-2＜4；14.若关于x 、y 的二元一次方程组中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围．15.郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元?(2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；【解析】解：A 、含有两个未知数，错误；B 、未知数的次数是2，错误；C 、含有两个未知数，错误；D 、符合一元一次不等式组的定义，正确；故选D.2. 【答案】A ；【解析】解不等式组可得：1,2x x >≥且．3. 【答案】A ；4. 【答案】B ；【解析】32053215x x -⎧<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：312x -≤<，所以整数解：-1，0，1. 5. 【答案】C ；【解析】设甲种运输车安排x 辆，5x+4（10-x ）≥46，x≥6，故至少要甲种运输车6辆．6. 【答案】A ；【解析】由10320x x +≥⎧⎨--≥⎩，解得213x -≤≤-． 二、填空题7. 【答案】x ＞2，无解；8. 【答案】﹣3＜x≤1；【解析】解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞-3，所以不等式组的解集是：﹣3＜x≤1.9. 【答案】-5；【解析】所有整数解：-3，-2，-1,0,1，所以和为-5.10．【答案】1＜m ＜2；【解析】由第一幅图得m ＞1，由第二幅图得m ＜2，故1＜m ＜211.【答案】60＜x ＜80； 【解析】设步行速度为x 米/分，依题意可得：3240042400x x <⎧⎨>⎩，得60＜x ＜80 12.【答案】4＜x ＜28；【解析】4x-3x ＜28＜4x+3x ，即4＜x ＜28．三、解答题13.【解析】解：(1)由①得解集为x ≥3，由②得解集为x ＜3，在数轴上表示①、②的解集，如图， 所以不等式组无解．（2）不等式组的解集为1＜x ＜2，表示在数轴上如图：14.【解析】 解：，①+②得2x=4m ﹣2，解得x=2m ﹣1，②﹣①得2y=2m+8，解得y=m+4，∵x 的值为负数，y 的值为正数， ∴，∴﹣4＜m ＜．15.【解析】解：(1)设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x-8)元．根据题意得：3x+2(x-8)＝124解得：x ＝28．∴ x-8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．(2)解：设购买书包y 个，则购买词典(40-y)本．根据题意得：1000[2820(40)]1001000[2820(40)]120y y y y -+-≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得：10≤y ≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12．所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．。
一元一次不等式组应用题的步骤
如果每个学生分3个桃子,那么多8个；如果前面 每人分5个,那么最后一个人得到桃子但少于3个.试 问有几个学生,几个桃子? 解： 设有x个学生， 则有（3x+8）个桃子. (3x+ - 5(x-1) ＞0 8) (3x+8)-5(x-1) ＜3 整理得： 解得： 2x＜13 x＜6.5
2x＞10
2：某班有若干名学生住宿，若每间住4人，则有20人没宿舍 住；若每间住8人则有一间没有住满人，试求该班宿舍间数及 住宿人数？
一本英语书共98页，张 力读了一周（7天）还没读 完，而李永不到一周就已读 完。李永平均每天比张力多 读3页，张力平均每天读多 少页（答案取整数）？
解：设张力平均每天读x页 7（ x +3）>98 ① 7 x <98 ② 解不等式①得 x >11 解不等式②得 x <14 因此，不等式组的解集为 11 < x<14 根据题意得，x的值应是整数，所以 x=12或13 答：张力平均每天读12或13页
分析：“不能完成任务”的意思是：
“提前完成任务”的意思 是: 大于 提高生产速度后 ,10天的产品数量____500
小于 按原先的生产速度,10天的产品数量＿ 500
解:设每个小组原先每天生产x件产品. 根据题中前后两个条件,得 3×10x<500 ① 3×10(x+1)>500 ②
｛
由不等式①得 由不等式②得
X套A型时装需要70米布料 +（80－x）套 B型时装需要的70米布料 ≤ 70 X套A型时装需要52 米布料+（80－x）套 B型时装需要的52米布料 ≤ 52
0.6x 0.9x
解得：36
+
用一元一次不等式解决应用问题的一般步骤
用一元一次不等式解决应用问题的一般步骤一元一次不等式是形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解决应用问题的一般步骤如下：步骤一：理解问题首先，我们需要仔细阅读问题，确保完全理解题意。
这包括确定问题的条件以及需要求解的未知数。
然后，我们可以用一个字母（通常是x）表示未知数，并对问题中给出的条件归纳整理。
步骤二：建立不等式在理解了问题之后，我们需要根据问题的条件建立不等式。
根据问题的描述，我们可以使用不等号（大于或小于）来表示条件。
常见的建立不等式的方法有：-将问题中的"大于"转化为大于原点的坐标（例如x>0）-将问题中的"小于"转化为小于原点的坐标（例如x<0）-使用问题中的关键词来建立不等式（例如"大于等于"用">="表示，"小于等于"用"<="表示等）。
步骤三：解不等式一元一次不等式可以通过一系列的代数运算求解。
我们可以使用相同的方法来解不等式，就像解方程那样。
常见的解不等式的方法有：-通过加减法消去未知数的系数，然后通过乘除法消去未知数的系数-注意在对不等式两边进行运算时需要保持不等号的方向性步骤四：检查解的合法性在解完不等式之后，我们需要检查所得的解是否满足原始问题的条件。
如果有多个解，我们需要根据问题的特殊要求选择合适的解。
步骤五：解释结果最后，我们需要根据问题的要求将解释结果。
这可能需要将解转化为实际的值或者用具体的语言描述解所代表的意义。
以一个具体的应用问题为例来演示以上步骤：例题：商场举行特价促销活动，购买其中一种商品每件打3折，且购买5件以上打4折。
设原价为x元，若购买10件，则商品总价不超过400元，求原价x的范围。
解答步骤：步骤一：理解问题问题描述了商场的促销活动，以及购买商品的折扣情况以及总价不超过400元的条件。
列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
/pengxiang/
不等式组的应用3：出பைடு நூலகம்车的收费问题
精品资料，祝您成功
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解:设小强家离学校x千米，依题意得： 10+1.2(X-5）﹥17.2-1.2
{
10+1.2(X-5）≦17.2
解得10﹤x≦11 即小强家离学校的距离大于10千米不大于11千米。 点评：本题考查了一元一次不等式组的在实际生 活中的应用，关键点是要正确理解不到一千米按 一千米计费的含义。
练习
• 某种出租车的收费标准是：起步价7元（即 行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超 过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不 足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到 乙地共支付车费19元，则从甲地到乙地的 最大距离是（ ） • A、11㎞ B、8㎞ C、7㎞ D、5㎞
本题中支付车费172元已超过了起步价10元说明出租车行驶的路程超了5千米若设小强家离学校x千米则此时x应满足1012x5172又根据不超过1千米按1千米收费所以当收费为172时也可能是资费超过了17212即16元所以x又要满足1012x517212解
列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 （2）设：设适当的未知数 （3）找：找出题目中的所有不等关系 （4）列：列不等式组
（5）解：求出不等式组的解集
（6）答：写出符合题意的答案
例：滨海市一种出租车起步价为10元 （即行驶路程在5千 米以内都需10元）,达到或超过5千米后,每增加1千米，加 价1.2元 (不足一千米, 按1千米计算 ）。现在小强乘这种 出租车从家到学校，支付了车费17.2元，请你计算小强家 离学校有多远？ 分析：本题中支付车费17,2元，已超过了起步价10元， 说明出租车行驶的路程超了5千米，若设小强家离学校 x千米，则此时X应满足10+1.2(X-5）≦17.2，又根据 不超过1千米按1千米收费，所以当收费为17.2时也可 能是资费超过了（17.2-1.2)即16元，所以x又要满足 10+1.2(X-5）﹥17.2-1.2
专题10一元一次不等式(组)及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题10 一元一次不等式(组)及其应用（知识点总结+例题讲解）一、不等式及其性质：1.不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式；2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；3.不等式的解集：（1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解；（2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集；4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式；5.不等式基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c；（2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或a b＞)；c c（3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或a b＜)；c c【例题1】下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】主要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．【变式练习1】据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33【答案】D【解析】已知某日武侯区的最高气温和最低气温，可知某日武侯区的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温．解：由题意知：武侯区的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天武侯区的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．故选：D．【例题2】（2020•贵港）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac+1＞bc+1 D．ac2＞bc2【答案】D【解析】根据不等式的性质解答即可．解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．【变式练习2】（2019•济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【答案】C【解析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．【例题3】已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝．【答案】-35【解析】解答此题首先根据已知得出理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．解：因为x≥5的最小值是a，a＝5；x≤﹣7的最大值是b，则b＝﹣7；则ab＝5×（﹣7）＝﹣35．故答案为：﹣35．【变式练习3】关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【答案】D【解析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得不等式的解集，再根据x≥4，求得m的值．解：m−2x3≤−2；所以：m﹣2x≤﹣6；则：﹣2x≤﹣m﹣6；即：x≥12m+3；∵关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4；∴12m+3＝4，解得m＝2．故选：D．二、一元一次不等式及其解法：1.一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的2.一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将未知项的系数化为1。
一元一次不等式（组）知识总结及经典例题分析
二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a x a ³£或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以或除以))同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321£---x x 解不等式： 解：去分母，得解：去分母，得 6)13(2)13£---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得去括号，得去括号，得 62633£+--x x （注意符号，不要漏乘!）移移 项，得项，得项，得 23663-+£-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得合并同类项，得合并同类项，得 73£-x （计算要正确）系数化为系数化为1， 得 37-³x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）三、一元一次不等式组含有同一个未知数的含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、个、33个、个、44个或更多．个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) a a a a x <ax >a x ≤a x ≥a 一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式组的解法及应用
家庭作业
解答题 1．解不等式组
⑴⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x ⑵⎪⎩⎪
⎨⎧-≥-->+35663
4)1(513x x x x
2．某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。
问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？
3．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？
附加题：
1．如果不等式03<-a x 的正整数是1，2，3，那么a 的取值范围是多少？
2．已知不等式42213x a x +>-的解集为2>x ，求a x a ->-2)(3
1
的解集。
3．解不等式0412<--x
4．某宾馆底层客房比二楼少5间，一旅游团有48人，若全安排住底层，每间住4人，则房间不够，若每间安排住5人，则有房间没有住满5人。
又若全安排住在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人，问该宾馆共有多少间客房？。
一元一次不等式组的三种求解方法
圈， 表示 。的点 的左 边 部 分来 表示 ， 表示 口 不
三、 利用 口诀解 一元一次不等式组
＋ｍ ＞ ０
，则根 据 图 象可 得 不 等 式组 ｋ ｌ ｘ ＋ ６ ｌ ＜ ＋ ６ ２ （ 其中ｋ 、 ｂ为 常 数 ， 且 ｋ ≠０ ） 可 如 图 ２交 于点 Ｐ
．
以转化为 ： 求当 取何值 时 ， 一次 函数 ｙ ｌ ＝ ． 。 Ｉ 的解集为 ａ ｘ ＋ｂ＞ ｋ ｘ ＋ｍ 的值 大 于 或小 于 一 次 函数 ｙ ２ ＝ ｋ ２ ｘ ＋ ｂ 的值 ； 当
二、 利用数轴解 一元一次不等式组
数轴 在解 一 元一 次不 等式 中有 着 重要 作 用， 不等式 的解 集在 数轴 上 的表 示 如下 ：
＿ ＿
、
、
，
，
’
、
，
、
（ １ ｘ ＞ｏ ： 数轴 上 表示 口的点 画 成 空 心 圆 ｍ一２的 点在 ２和 ５之 间 ， 即 ２ ＜ ｍ 一 ２ ＜ ５ ， ４ ＜ ｍ＜ ７ 圈， 表示 口的点 的右 边部 分来 表 示 ， 表示 ａ 不 时， 原不等式组的解集 为 ２ ＜ｘ ＜ｍ一 ２ ； 当表示数
例 ３ 已知 ｍ 为任 意 实数 ，求 不 等 式 组
不等 式组
（ 其中
ｎ＞ ６ ）
ｆ 一 ＜ ３ 的 解 集 ． Ｉ ｘ＜ ｍ－２
解析 ： 由不等 式 卜 ＜３ 化 简得 ＞２ ， 先 在
在数 轴 上
表 示 ｌ ・ ｂ Ｄ ａ 不等式的
2022学年上海六年级数学下学期同步教材满分攻略第08讲一元一次不等式组(核心考点讲与练)(练习版)
第08讲一元一次不等式组（核心考点讲与练）一．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．二．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．三．由实际问题抽象出一元一次不等式组由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．四．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．一．一元一次不等式组的定义（共2小题）1．（2020春•安庆期中）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2017春•雁塔区校级月考）下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等式组的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．解一元一次不等式组（共4小题）3．（2021春•杨浦区期中）若n＜m，则不等式组的解集是（）A．x＞m B．x＜n C．n＜x＜m D．无解4．（2021春•杨浦区期末）若与2﹣3x＜0的解集是相同的，那么m的值是（）A．B．C．D．5．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．6．（2021春•杨浦区期末）如果不等式组无解，那么a的取值范围是．三．一元一次不等式组的整数解（共8小题）7．（2021春•浦东新区月考）不等式组的整数解为．8．（2021春•浦东新区期末）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．9．（2021•长宁区二模）解不等式组：，并求出它的正整数解．10．（2021•叙州区校级模拟）不等式组有两个整数解，则m的取值范围为（）A．﹣5＜m≤﹣4B．﹣5＜m＜﹣4C．﹣5≤m＜﹣4D．﹣5≤m≤﹣4 11．（2021春•杨浦区期中）已知不等式组，则它的正整数解是．12．（2021春•松江区期末）求不等式组的自然数解．并把它的解集在数轴上表示出来．13．（2021•浦东新区二模）解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．14．（2021春•扶沟县期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解．四．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共3小题）15．（2021春•澄城县期末）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在范围内．16．（2021秋•杭州期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（）A．7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3B．7.2×3＜7.4+7.9+x≤7.8×3C．7.2×3＞7.4+7.9+x＞7.8×3D．7.2×3＜7.4+7.9+x＜7.8×317．（2021春•红谷滩区校级期末）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”（1）最小的“对称数”为；四位数A与2020之和为最大的“对称数”，则A的值为；（2）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．五．一元一次不等式组的应用（共4小题）18．（2019秋•浦东新区期中）小明的外婆从家乡带来一篮苹果，小明数了数，发现每次拿出4个、每次拿出5个或每次拿出6个，都恰好拿完，又知道苹果的总数超过100个，但又不足150个，试问这篮苹果共多少个？19．（2021秋•青浦区校级期中）已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？20．（2019春•奉贤区期中）为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．A、B两种型号设备的月处理污水量如下表：A型B型价格（万元/台）a处理污水量（吨/月）240180（1）设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为万元；（2）求A、B两种型号的设备的价格；（3）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．21．（2020春•虹口区期中）一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润：若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润．设这件商品的标价为x元，则x在范围内．题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．（2018春•普陀区期中）不等式组的非负整数解有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019•金山区二模）不等式组的解集是（ ）A ．x ＞﹣3B ．x ＜﹣3C ．x ＞1D ．x ＜1 3．（2015春•辽阳校级期中）登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶（不为0瓶），登山人数及矿泉水的瓶数是（ ） A ．5、13B ．3、5C ．5、15D ．无法确定4．（2013春•九江期末）把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生能得到的苹果不超过2个，则学生人数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二．填空题（共3小题）5．（2018秋•杨浦区校级期中）若﹣＜x ＜，则x可以取 个整数值． 6．（2020•哈尔滨模拟）不等式组的解集是 ．7．（2021•浦东新区模拟）不等式组的解集是 ．三．解答题（共2小题）分层提分8．（2018春•黄浦区期末）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．9．（2018春•松江区期末）求不等式组：的整数解．题组B 能力提升练一．填空题（共4小题）1．（2021•崇明区二模）不等式组的解集是．2．（2021•普陀区二模）不等式组的解集是．3．（2020•青浦区二模）不等式组的整数解是．4．（2000•上海自主招生）今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千克、60千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克，则丙种盐水最多可用千克．二．解答题（共9小题）5．（2021春•青浦区期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．6．（2021•徐汇区二模）解不等式组：．7．（2021•奉贤区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．8．（2019春•松江区期末）求不等式组：的非负整数解；并把它的解集在数轴上表示出来．9．（2019春•奉贤区期中）解不等式组：，并写出不等式组的非负整数解．10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？11．若2x+|4﹣5x|+|1﹣3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．12．（2015春•闵行区期末）先阅读下列一段文字，然后解答问题：某食品研究部门欲将甲、乙、丙三种食物混合研制成100千克食物，并规定：研制成的混合食品中至少需含44000单位的维生素A和48000单位的维生素B，三种食物的维生素A、B的含量如表1所示：甲种食物乙种食物丙种食物每千克生产成本（元）甲种食物9维生素A（单位/千克）400600400乙种食物12维生素B（单位/千克）800200400丙种食物8（表1）（表2）设所取甲、乙、丙三种食物的质量分别为x千克、y千克、z千克，（1）试根据题意列出等式和不等式，并说明：①y≥20；②2x﹣y≥40；（2）设甲、乙、丙三种食物的生产成本如表2所示：①试用含x、y的代数式表示研制的混合食品的总成本P（元）；②如果限定混合食品中甲种食物的质量为40千克，试求此时总成本P 的取值范围，并确定当P取最小值时，所取乙、丙两种食物的质量．13．（2015春•普陀区期末）（1）解不等式组，并把不等式组的解集在图所示的数轴上表示出来；（2）若（1）中所求得的不等式组的解集中的最大或最小的整数值是关于x的方程2x﹣ax＝3的解，求a的值．。
七年级数学下册第9章不等式与不等式组9.2.2再探实际问题与一元一次不等式的应用(图文详解)
并,系数化为1。
解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并，得
2(2x+1) ≤6+9(x-1)
4x+2 ≤6+9x49x-9x ≤6-9-2
-5x ≤-5
系数化为1，得 x ≥1
七年级数学第9章不等式与不等式组 将不等式的解集在轴上表示为:
01
x
归纳:
解一元一次不等式的一般步骤: 去分母
去括号 移项 合并
当Y1 > Y2 即100+0.9(X-100) > 50+0.95(X-50) 时，X ＜ 150
议一
故宫博议物院门票是每位10元,20人以上(含20人)的
团体票8折优惠.现有18位同学结伴去博物院,当领队小 华准备好了零钱到售票处买18张票时,李明喊住了他: “买20张吧!”小华困惑了:18人买20张不是浪费吗? 你认为呢?为什么? 此外,不足20人时,多少人买20张的团体票比普通票便宜?
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的 90%收费；在乙 店累计购买50元商品后，再购买的商品按 原价的95%收费，顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
(3) 如果累计购物超过100元,那么在甲店花费一定少吗?
解:设累计购物X元(X>100)
在甲店购物花费：Y1 ＝ 100+0.9(X-100) 在乙店购物花费：Y2 ＝ 50+0.95(X-50)
购物花费小;累计购物150元时,在两店购物花费一样; 累计购物超过150元时,在甲店购物花费小.
甲、乙两商店以同样的价格出售同样的商品，并且 又各自推出不同的优惠方案：
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费； 在乙 店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费， 顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
中考数学点对点-一元一次不等式(组)及其应用(解析版)
专题13 一元一次不等式（组）及其应用专题知识点概述1．不等式的定义：用不等号“＜”“＞”“≤”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
3．一元一次不等式的定义：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
4.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
5．不等式的性质：性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
6.一元一次不等式的解法的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.7．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
8．求不等式组解集的规律：不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈。
不等式组的解集有四种情况:若a>b，（1）当x ax b>⎧⎨>⎩时,•则不等式的公共解集为x>a;（2）x ax b<⎧⎨>⎩时,不等式的公共解集为b<x<a;（3）x ax b<⎧⎨<⎩时,不等式的公共解集为x<b;（4）当x ax b>⎧⎨<⎩时,不等式组无解.9.中考出现一元一次不等式（组）试题类型总结：类型一：一元一次不等式的解集问题。
类型二：一元一次不等式组无解的情况。
类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围。
类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围。
类型五：一元一次不等式组有整数解求范围。
一元一次方程与不等式的解法与应用归纳
一元一次方程与不等式的解法与应用归纳一元一次方程与不等式是初中数学必学的重要内容，它们在实际生活中的应用也非常广泛。
本文将对一元一次方程与不等式的解法进行归纳，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、一元一次方程的解法一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过移项和合并同类项，将方程化为形如x = c的简单形式。
1. 直接移项法直接移项法即将已知数移至方程的另一侧。
例如，对于方程2x + 3= 7，我们可以通过将3移至等号右侧得到2x = 7 - 3，进而得到x的值。
2. 合并同类项法合并同类项法即将方程中相同类型的项合并。
例如，对于方程3x -5 + 2x = 4x - 1，我们可以将x的系数合并得到5x - 5 = 4x - 1，然后通过移项可以得到x的值。
3. 代入法代入法即通过将已知数代入方程，求解未知数的值。
例如，对于方程3x - 4 = 2(x - 1)，我们可以将x - 1替换为已知数的值，然后通过解简单的一元一次方程得到x的值。
二、不等式的解法不等式是数学中的一种比较关系，也是实际问题中常见的表达方式。
解不等式可以通过绘制数轴、考虑数的正负等方法来实现。
1. 绘制数轴法绘制数轴法适用于解线性不等式。
通过将不等式转化为数轴上的点的区间来表示，从而确定不等式的解集。
例如，对于不等式3x - 2 > 0，我们可以绘制数轴，找到使不等式成立的数的范围。
2. 考虑数的正负法考虑数的正负法适用于解含有二次项或分式的不等式。
通过考虑方程中各部分的正负情况来确定不等式的解集。
例如，对于不等式(x -1)(x + 2) < 0，我们可以考虑(x - 1)和(x + 2)的正负情况，并确定使不等式成立的数的范围。
三、一元一次方程与不等式的应用一元一次方程与不等式在实际生活中有着广泛的应用，例如在经济学、物理学和生活中的问题求解等方面。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
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学生对自己本次课堂表现，所教知识点是否能接受，满意： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生对教师此次授课是否满意 ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学 请学生填写这次课程的重要知识点： 生
成
长
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□
记 学生的接受程度： 5
4
3
2
1
(1)、强化训练
x 3a 2
1、不等式组
x
a
4
的解集是
x
3a
2，求 a 的取值范围？
2、试确定实数
a
的取值范围．使不等式组
x 2 x
x 1 0 3
5a 4 3
4 3
(
x
1)
a
恰好有两个整数解．
3、已知：关于
x，y
的方程组
x x
y 2a 7 2y 4a 3
的解是正数，且
一、复习引入
对不等式的性质以及解一元一次不等式的步骤进行梳理：
1、不等式的三个基本性质是什么？
2、一元一次不等式的解法是怎样的？
3、解一元一次不等式
（1） x 1 3 2x 4
2
5
（2）1 x 5 x 2
3
2
04.10.2014 13:00 – 14:00 （0.5）课时/（1.0）小时
教师
丁老师
学生姓名
许佳丽
上课日期
学科
数学
年级
七年级
授课时段
类型
知识讲解□： √ 例题讲解□:√
本次课时统计
教学内容（课题） 一元一次不等式组与解法及其应用
1、了解一元一次不等式组及其解集的概念
教学目标
2、会利用数轴求不等式组的解集
3、培养学生分析实际问题，抽象出数学关系的能力
重难点
重点：一元一次不等式组的解法及其步骤 难点：一元一次不等式组在实际问题中的应用
把不等式①和 ②的解集在数轴上表示出来：
0
2
4
6
8
10
在这里引导学生发现，没有公共部分，即无解。 四、课堂练习
1、解下列不等式组，并把他们在数轴上表示出来：、
x 2 3 x 1 3 (1) 1 3(x 1) 6 x
(2) 2x 1 ≤5 3
2、一件商品的成本价是 30 元，若按原价的八八折销售，至少可获得10% 的利润；若按原价
集，如果每个不等式的解集有公共部分，就是该不等式组的解，公共部分就是它的解集；如果每
个不等式的解集没有公共部分，就说该不等式组无解。)
解：（1）解不等式①，得
x2
解不等式②，得
x4
把不等式①和 ②的解集在数轴上表示出来：012来自345
则原不等式的解集为 x 4
（2）解不等式①，得
x8
解不等式②，得
x 4 5
0
10 20 30 40 50
记着 40 x 50 （引导发现，此就是不等式组的解集。） (不等式组解集的概念：不等式组中的几个不等式解集的公共部分。
总结出解一元一次不等式组的一般步骤：分别求出每个不等式的解集；找出它们的公共部 分。) 三、例题讲解
有了上面问题的铺垫，下面我们来完整的解一元一次不等式组。 例 1 解不等式组
的九折销售，可获得不足 20% 的利润，此商品原价在什么范围内？
五、总结升华
设 a、b 是已知实数且 a＞b，那么不等式组
表一：不等式组解集
不等式组
数轴表示
x a
x
b
b
a
解集（即公共部分）
xa
x a
x
b
b
a
xb
x a
x
b
b
a
bxa
x a x b
b
a
无解
这个表格教师应尽量引导学生自主探究完成，教师最后做出总结：同大取大，同小取小，大小小 大取中间，大大小小无解。 六、强化训练与提高
（1）
3x 2x
1 8
2x
1
① ②
2x 3 x 11
（2）
2x 3
5
1
2
x
① ②
(以上两个例题第一个有解，第二个无解，第一个例题教师可以让学生先解完再给出解题过
程，本例是按规范格式完整地解答了一个一元一次不等式组，要求学生做作业时按此格式书写。
第二个不等式组的解法中，学生会先求出两个不等式的解集，再在数轴上表示出每个不等式的解
学
30x 1200
过 程
30x 1500 题中的 x 应同时满足两个不等式，从而引出一元一次不等式组的概念：把两个一元一次不等 式合在一起，就得到一个一元一次不等式组。
30x 1200 30x 1500
解之，得
x
x
40 50
同时满足两个不等式的未知数，既是两个不等式解集的公共部分，要找出公共部分，就要利 用数轴，在此要引导学生重视数轴的作用，并指导学生在数轴如何观察数轴上对应解集的范围。
二、讲授新知
问题 1：用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于
1200 吨且不超过 1500 吨，那么大约多少时间能将污水抽完？
(题中一共有两种数量关系，讲解时应注意引导学生自主探究发现)
教
解：设需要 x 分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为 30x 吨，由题可知
录 学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般积极□ 不积极□
学生此次学习评语：
学生签字：
审核 时间
审核人
教师签字： 蜂巢教育教学部审批
x
的值小于
y
的值．
（1）求 a 的范围； （2）化简|8 a +11|-|10 a +1|
七、课时小结 （一）概念
1、由几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 （二）解简单一元一次不等式组的方法： 1、求不等式组中各个不等式的解集。 2、利用数轴找出两个不等式的公共部分，即求出了不等式的解集。