第九讲 平面向量的极化恒等式、等和线

第九讲 平面向量的內积、极化恒等式、等和线
一、分拆求內积
1、（17年联赛真题）
在ABC ∆中，M 为边BC 的中点，N 是线段BM 的中点，若3
π
=
∠A ，ABC ∆的面积
为3，则⋅的最小值为 ◆答案： 13+ ★解析：由条件知()
AC AB AM +=
21，AC AB AN 4
1
43+=，则
⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅++=⋅AC AB AN AM 481，
由A S ABC ⨯=⨯=
=∆4
3
sin 34=
所以2=⋅AC AB ，所以38≥+44
323
2
⨯==
时取
等。

则⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅++=⋅AM 48113+≥。

2、（18年联赛真题）
3、（07年联赛真题）
二、建系求內积
1、（15年联赛真题）
在矩形ABCD 中，2=AB ,1=AD ,边DC 上（包含D ,C ）的动点P 与线段CB 延长线
上（包含B ）的动点Q =,则向量与向量的数量积⋅的最小值为 ◆答案：
34
★解析：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故
(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，
22133
()(2)(1)(1)1()244
PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．
当12t =
时，min 3
()4
PA PQ ⋅=．
2、（15年联赛真题）
3、（19年联赛真题）
三、极化恒等式
极化恒等式：()
(
)[]
.4
122
b a b a b a --+=
•
1、 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的
最小值是
2、如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦
的
对称点，则
的取值范围为____．
3 、在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →
的取值范围为________．
4、已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o
,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是
练习：
1、在ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，BC =，D 在线段AC 上运动，⋅的
最小值为
2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()
PA PB PC +⋅的最小值为____________
3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且
2AP =，则PB PC ⋅的最大值为
4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(0)x y a a
-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线
右支上任意一点则OP FP ⋅的取值范围是 .
5．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则(PB +⋅的最小 值是 .
6. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21
四、等和线
1、在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为
2、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →
，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心
的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →
，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．
3、在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52
，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______．
4 .如图,在扇形OAB 中,60AOB ︒
∠=,C 为弧AB 上的一个动点．若OC -→xOA y OB -→-→
=+,则
y x 4+的取值范围是 ．
5.如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于
OABC 3=OD P BCD ∆(,)OP OC OD R αβαβ=+∈αβ+
练习：
1.如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线
于点，若，，则的最小值
是
.
2.已知向量OB OA ,满足1=+OB OA ，OB OA ⊥，OB OA OC μλ+=）、（R ∈μλ，
若M 为线段AB 的中点，并且1M =C ，则μλ+的最大值是 。

3.如图正六边形ABCDEF 中，P 点三角形CDE 内（包括边界）的动点，设
AF AB AP y x +=，则y x +的取值范围是________.
4.在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤
∈所表示的区域的面积是
5.在矩形ABCD 中，AB=5，3BC =
，P 为矩形内一点，且2
5
AP =
，若）
（R AD AB AP ∈+=λμμλ，则μλ35+的最大值为________。

ABC ∆D BC 4BC BD =D ,AB AC ,M N AM AB λ=(0,0)AN AC μλμ=>>3λμ+。