第十章 多元一次回归分析

= − 351 .7425
所以每亩穗数、 所以每亩穗数、每穗粒数对亩产量的二元一次 回归方程为： 回归方程为：
∧
y = − 351 .7425 + 24 .8001 x1 + 9 .3594 x 2
2. 对 y = −351.7425 + 24.8001x1 + 9.3594x2 的解释 表示 x1 = 0 ， x2 = 0 a = −351.7425 ： 时的 y 值，由于在 值 0 ，所以
79 .6077 b1 − 110 .1046 b 2 = 943 .7692 − 110 .1046 b1 + 295 .9108 b 2 = 38 .9385
解方程组得： b1 = 24.8001
b2 = 9.3594
所以 :
a = y − b1 x 1 − b2 x 2 =−
= 1024 . 9231 − 24 . 8001 × 31 . 5692 − 9 . 3594 × 63 . 4385
b = C 22
U P2
2 2
，
F2 =
1 Q n − k −1
，
， KK
（2） ）
t 测验
bi t= Sbi
式中： 式中：
S b i 叫偏回归系数标准误， 且 叫偏回归系数标准误，
Sbi = S y ,12Lk Cii
S y ,12L k
并且
叫多元回归方程估计标准误， 叫多元回归方程估计标准误，
X 12 + C 12 ∑ X 1 X 2 = 1 X 1 X 2 + C 12 ∑ X X
2 1 2 2
=0
+ C 22 ∑ X 1 X 2 = 0
X 1 X 2 + C 22 ∑ X 22 = 1
所以， 所以，
b U P1 = ， C11
U P1 F1 = 1 Q n − k −1
2 1
U P2
解方程组得： 解方程组得：
C 11 = 0 .0258805
C 12 = C 21 = 0 .0096298
C22 = 0.0069625
所以： 所以：
U P1
b 24 .8001 = = = 23764 .8021 C 11 0 .0258805
2 1
2
U P2
b 9 .3594 = = = 12581 .453 C 22 0 .0069625
（1）F测验法 ） 测验法
b Upi Cii F= 1 = 1 Q Q n − k −1 n −k −1
2 i
式中： 称为逆矩阵元素，也叫高斯乘数。 式中： ii 称为逆矩阵元素，也叫高斯乘数。其 C 计算方法如下： 计算方法如下：
C 11 ∑ C 11 ∑ C 21 ∑ C 21 ∑
∧
b2 = 9.3594 ： 表示当每亩穗数保持在平均水
平时， 万穗/亩时 平时，即31.57万穗 亩时，在穗粒数的变化范围 万穗 亩时， [56.0，73.4]内，穗粒数每增加 个，亩产量将 ， 内 穗粒数每增加1 平均增加9.3594斤。 平均增加 斤
3.对 y = −351.7425 + 24.8001x1 + 9.3594x2 对 的显著性测验
第十一章
多元一次回归分析
一、多元一次回归方程 1. 概念 我们把
y = a + b1 x1 + b2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + bk x k
这样的回归方程称为多元一次回归方程， 也叫K元一次回归方程 。
∧
2. 多元一次回归方程的建立 （1）.求偏回归系数 bi （i =1,2 ,3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅k ） ） 求偏回归系数
2 1
其中： X = ∑ (x1 − x1 ) ∑
2 1
2
∑X
1
X 2 = ∑ x1 − x1 x2 − x 2
(
………..
)(
)
………..
（2）.求 a ）求 值
a = y −b1 x1 −b2 x2 −⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ −bk xk
3. 多元一次回归方程的含义
二、回归方程的显著性测验（综合测验） 回归方程的显著性测验（综合测验） 1. 测验的目的：检验该方程能否成立。 测验的目的： 2. 测验的方法
2
∑ (x
2
− x2
2
)
= 295 .9108
∑ (y − y )
= 28244 .924
∑(x − x )(x
1 1wk.baidu.com
2
− x 2 = −110.1046
)
∑ ∑ (x
1
− x1 y − y = 943.7692
2
)(
)
∑ (x
− x 2 y − y = 38 .9385
)(
)
将这些数据代入方程组中， 将这些数据代入方程组中，则
∧
U = b1 ∑ X 1Y + b2 ∑ X 2Y = 23770 .01 15
SS y =28244 .924
Q = SS y - U
=23770.0115-28244.924=4474.9125
所以： 所以：
U 23770 .0115 回归方差 k 2 F = = = Q 4474 .9125 离回归方差 n − k −1 13 − 2 − 1 ,10 = 26 .56 ∗∗ 〉 F0201 = 7.56 .
2 2
2
U F1 =
P1
1 Q n − k −1
23764 .8021 ∗∗ 1,10 1 = = 53.1 〉 F0.01 = 10.04 4474 .9125 13 − 2 − 1
F测验结果，偏回归系数 b 1 达极显著水平，表明每 测验结果， 达极显著水平， 测验结果 亩穗数与亩产量的回归关系是极可的。 亩穗数与亩产量的回归关系是极可的。
Q S y ,12L k = n − k −1
四、实例分析
[例] 测定 块中灿稻南京 号高产田的每亩穗 例 测定13块中灿稻南京 块中灿稻南京11号高产田的每亩穗 单位：万穗），每穗实粒数（ ），每穗实粒数 单位： 数（x1 ， 单位：万穗），每穗实粒数（x2 ，单位： 和每亩稻谷产量（ 单位： 个）和每亩稻谷产量（ y ，单位：斤/亩），得结 亩），得结 果如下表。试建立每亩穗数、 果如下表。试建立每亩穗数、每穗粒数对亩产量的 二元一次回归方程。 二元一次回归方程。
b1∑X + b2 ∑X1 X2 +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +bk ∑X1 XK = ∑X1Y 2 b1∑X1 X2 + b2 ∑X2 +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + bk ∑X2 XK = ∑X2Y K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K b X X + b X X +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +b X 2 = X Y ∑K k∑ K 1∑ 1 K 2 ∑ 2 K
12581.453 10 1 1 F2 = = = 28.1∗∗ 〉 F01.,01 = 10.04 Q 4474.9125 n − k − 1 13 − 2 − 1
F测验结果，偏回归系数 b 2 达极显著水平，表明每 测验结果， 达极显著水平， 测验结果 穗粒数与亩产量的回归关系是极可靠的。 穗粒数与亩产量的回归关系是极可靠的。所以
因为F测验结果极显著，说明该方程成立。 因为 测验结果极显著，说明该方程成立。 测验结果极显著
4 .偏回归（净回归）显著性测验 偏回归（净回归） 偏回归 解联立方程组求 Cii
79 .6077 C11 − 110 .1046 C12 = 1 − 110 .1046 C11 + 295 .9108 C12 = 0 79 .6077 C 21 − 110 .1046 C 22 = 0 − 110 .1046 C + 295 .9108 C = 1 21 22
U P2
y = − 351 .7425 + 24 .8001 x1 + 9 .3594
∧
∗∗
∗∗
x2
作业： 作业：
1. 什么是多元回归分析？ 什么是多元回归分析？ 2. 多元一次回归方程有何含义？ 多元一次回归方程有何含义？ 3. 为什么要对多元回归方程进行显著性测验 ？ 为什么要对多元回归方程进行显著性测验？ 测验方法及公式有哪些？ 测验方法及公式有哪些？ 4. 为什么要进行偏回归显著性测验 ？测验方 为什么要进行偏回归显著性测验？ 法及公式有哪些？ 法及公式有哪些？
（1）.F测验法 ） 测验法
U k F= Q n − k −1
式中： 式中：
U =∑ y−y
(
) = ∑ (b ∑ X Y )
2 i i
Q = ∑ y − y = SS y − U
∧ 2
（2）.复相关系数法 ） 复相关系数法
U SSY
R=
三、偏回归系数的显著性测验 1. 测验目的： 测验目的： 2. 测验方法
∧
∧
x1，x2 的变化范围内不包括
a
不具有专业意义。 不具有专业意义。
y 值 表示当穗粒数保持在平均水平 b = 24.8001： 1
穗时， 即63.44个/穗时，在每亩穗数的变化范 个 穗时 在每亩穗数的变化范[26.7， ， 34.6]内 每亩穗数每增加1万穗 34.6]内，每亩穗数每增加1万穗，亩产量将平均 万穗， 增加24.8001斤。 增加 斤
x1
26.7 31.3 30.4 33.9 34.6 33.8 30.4 27.0 33.3 30.4 31.5 33.1 34.0
x2 ：
73.4 59.0 65.9 58.2 64.6 64.6 62.1 71.4 64.5 64.1 61.1 56.0 59.8
y
1008 959 1051 1022 1097 1103 992 945 1074 1029 1004 995 1045
1. 建立回归方程式： 建立回归方程式： 由表中数据算得： 由表中数据算得：
y = a + b1x1 + b2 x2
∧
∑x
1
= 410 .4
x 1 = 31 .57
∑x
2
= 824.7
x 2 = 63.4385
y = 1024 .9231
∑ y = 13324
∑ (x
1
− x1
)
2
= 79.6077