研讨课数形结合思想教案

数形结合思想的应用

教学目标:

1.理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质；

2.了解数形结合在解决数学问题中的作用:化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.

重点:

1.理解数形结合的本质；

2.能够用数形结合思想解决问题.

难点: 在代数与几何的结合点上找出解题思路，从而以简捷途径解决问题.

教学过程：

一、复习引入

本学期所学习的二次函数相关知识，由函数表达式与图像性质两部分组成。从图像角度分析，二次函数图像是一条抛物线，具有对称性、最高（低）点等特征；但若要精确获得抛物线上某一点的具体位置，则需要借助解析式求出坐标。

二、例题选讲

例1. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中：

①2a +b =0；

②abc >0； ③042

a b c -+<； ④方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；

⑤方程2ax bx c x ++=有两个实数根，

正确的是.

解：①根据图像可知，二次函数对称轴为直线x =1，则

12b a

-= ∴-b =2a ∴2a +b =0 ②观察开口方向、截距、对称轴可知：a >0，c <0； ∵02b a

->，a >0 ∴b <0

③∵当12x =-时，42a b y c =-+且由图像可知：12

x =-时对应的点在x 轴下方 ∴042

a b c -+< ④代数法：由韦达定理120b x x a +=-

> 几何法：二次函数的零点即为对应的二次方程的两根.根据图像对称轴与图像的一个零点，可知另一个零点为3. 所以1220x x +=>

⑤代数法：将原式变形为2(1)0ax b x c +-+=

∵222(1)4124412b ac b b ac b ac b --=+--=-+-

其中，240,20b ac b ->->

∴2(1)40b ac -->

∴方程2ax bx c x ++=有两个实数根

几何法：令212,y ax bx c y x =++=，方程2ax bx c x ++=的根即为y 1与y 2图像交点的x 值。由图像可知y 1与y 2图像有两个交点，所以方程2ax bx c x ++=有两个实数根。 例1小结：（1）注意观察二次函数图像的开口方向，对称轴，特殊点坐标

（2）函数图像公共点的横坐标，即为两解析式联立后所得方程的解

例2. 如图，已知在点A （0，4）是y 轴上一点，过点C （4，6）作x 轴的垂线，垂足为点D ，点B （t ，0）为OD 上一动点（不与O ，D 重合），联结AB ，AC ，E 为DC 上一动点，且90ABE ∠=

，过点E 作EF ∥AB ，交AC 于点F .

（1）设点E 的纵坐标为y E ，求y E 关于t 的函数关系式，并写出

t 的取值范围；

（2）若存在一点B ，使四边形ABEF 为矩形，求t 的值.

解：（1）法一：根据题意：AB

AE ，BE

22290,ABE AE AB BE ∠=∴=+ 代入化简得：()2

4044

E t t y t -=<< 法二：90,90ABE ABO EBD ︒∠=∴∠+∠= ，

90,90AOB OAB ABO ︒︒∠=∴∠+∠= ，OAB EBD ∴∠=∠

又90AOB EDO ︒∠=∠= ，

AOB ∴∆∽BDE ∆

AO OB BD DE

∴= 4,,4,E AO OB t BD t DE y ===-=

()2

4044

E t t y t -∴=<< （2）法一：若四边形ABE

F 是矩形，则22290,BAC BC AC AB ∠=∴=+

其中，AC

=BC

代入解得：t =2

法二：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H

若四边形ABEF 是矩形，则AC ∥BE ，ACH BED ∴∠=∠

∴tan tan ACH BED ∠=∠

AH BD CH ED

∴= 444,2,2E

t AH OD CH y -===∴= 又2

44

E t t y -=，解得14t =（舍），22t =2t ∴= 法三：直线AC 的解析式为：142

y x =+ 若四边形ABEF 是矩形，则AC ⊥AB

∴k AB =-2， ∴直线AB 的解析式为：y =-2x +4

令y =0，得x =2 ∴t =2

例2小结：处理垂直（直角）问题的几种方法：

1. 勾股定理

2. 锐角三角比

3. 三直角型相似

例3. 在直角坐标平面内，函数(0,m y x m x

=>为常数）的图像经过A （1，4），B （a ，b ）

（点B 在点A 右侧），过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，

垂足为D ，联结AD ，DC ，CB .

（1）求证：DC ∥AB ；

（2）若AD =BC ，求直线AB 的函数解析式.

解：（1）由C （1，0），设D （0，b ），则直线DC 的斜率为k DC =

001

b b -=-- 同理，根据A （1，4），（a ，b ），可得直线AB 的斜率为k AB =41

b a -- ∵点B 在反比例函数图象上，有ab =4，∴kAB =411DC b b ab b k a a --==-=-- ∴DC ∥AB

（2）∵DC ∥AB ∴当AD =BC 时，有两种情况：

①当AD ∥BC ，四边形ADCB 为平行四边形. 则1BE AE a DE CE

==-，∴a -1=1，得a =2 ∴点B 的坐标为（2，2），∴直线AB 的解析式为y =-2x +6

②当AD 与BC 所在直线不平行时，四边形ADCB 为等腰梯形

则BD =AC ，∴a =4

∴点B 的坐标为（4，1），∴直线AB 的解析式为y =-x +5

三、课堂总结：

“数形结合”作为一种重要的思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助数的精确性来阐明形的某些属性，二是借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。

几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。对于例1与例2，我们可以选取两种角度中较为简便的方法解答；但在解决综合问题时，往往需要两种方法的结合。

作业：配套专题作业