研讨课数形结合思想教案

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数形结合思想的应用

教学目标:

1.理解数形结合的本质:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图像的性质;

2.了解数形结合在解决数学问题中的作用:化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决.

重点:

1.理解数形结合的本质;

2.能够用数形结合思想解决问题.

难点: 在代数与几何的结合点上找出解题思路,从而以简捷途径解决问题.

教学过程:

一、复习引入

本学期所学习的二次函数相关知识,由函数表达式与图像性质两部分组成。从图像角度分析,二次函数图像是一条抛物线,具有对称性、最高(低)点等特征;但若要精确获得抛物线上某一点的具体位置,则需要借助解析式求出坐标。

二、例题选讲

例1. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论中:

①2a +b =0;

②abc >0; ③042

a b c -+<; ④方程20ax bx c ++=的两根之和大于0;

⑤方程2ax bx c x ++=有两个实数根,

正确的是.

解:①根据图像可知,二次函数对称轴为直线x =1,则

12b a

-= ∴-b =2a ∴2a +b =0 ②观察开口方向、截距、对称轴可知:a >0,c <0; ∵02b a

->,a >0 ∴b <0

③∵当12x =-时,42a b y c =-+且由图像可知:12

x =-时对应的点在x 轴下方 ∴042

a b c -+< ④代数法:由韦达定理120b x x a +=-

> 几何法:二次函数的零点即为对应的二次方程的两根.根据图像对称轴与图像的一个零点,可知另一个零点为3. 所以1220x x +=>

⑤代数法:将原式变形为2(1)0ax b x c +-+=

∵222(1)4124412b ac b b ac b ac b --=+--=-+-

其中,240,20b ac b ->->

∴2(1)40b ac -->

∴方程2ax bx c x ++=有两个实数根

几何法:令212,y ax bx c y x =++=,方程2ax bx c x ++=的根即为y 1与y 2图像交点的x 值。由图像可知y 1与y 2图像有两个交点,所以方程2ax bx c x ++=有两个实数根。 例1小结:(1)注意观察二次函数图像的开口方向,对称轴,特殊点坐标

(2)函数图像公共点的横坐标,即为两解析式联立后所得方程的解

例2. 如图,已知在点A (0,4)是y 轴上一点,过点C (4,6)作x 轴的垂线,垂足为点D ,点B (t ,0)为OD 上一动点(不与O ,D 重合),联结AB ,AC ,E 为DC 上一动点,且90ABE ∠=

,过点E 作EF ∥AB ,交AC 于点F .

(1)设点E 的纵坐标为y E ,求y E 关于t 的函数关系式,并写出

t 的取值范围;

(2)若存在一点B ,使四边形ABEF 为矩形,求t 的值.

解:(1)法一:根据题意:AB

AE ,BE

22290,ABE AE AB BE ∠=∴=+ 代入化简得:()2

4044

E t t y t -=<< 法二:90,90ABE ABO EBD ︒∠=∴∠+∠= ,

90,90AOB OAB ABO ︒︒∠=∴∠+∠= ,OAB EBD ∴∠=∠

又90AOB EDO ︒∠=∠= ,

AOB ∴∆∽BDE ∆

AO OB BD DE

∴= 4,,4,E AO OB t BD t DE y ===-=

()2

4044

E t t y t -∴=<< (2)法一:若四边形ABE

F 是矩形,则22290,BAC BC AC AB ∠=∴=+

其中,AC

=BC

代入解得:t =2

法二:过点A 作AH ⊥CD ,垂足为点H

若四边形ABEF 是矩形,则AC ∥BE ,ACH BED ∴∠=∠

∴tan tan ACH BED ∠=∠

AH BD CH ED

∴= 444,2,2E

t AH OD CH y -===∴= 又2

44

E t t y -=,解得14t =(舍),22t =2t ∴= 法三:直线AC 的解析式为:142

y x =+ 若四边形ABEF 是矩形,则AC ⊥AB

∴k AB =-2, ∴直线AB 的解析式为:y =-2x +4

令y =0,得x =2 ∴t =2

例2小结:处理垂直(直角)问题的几种方法:

1. 勾股定理

2. 锐角三角比

3. 三直角型相似

例3. 在直角坐标平面内,函数(0,m y x m x

=>为常数)的图像经过A (1,4),B (a ,b )

(点B 在点A 右侧),过点A 作x 轴垂线,垂足为C ,过点B 作y 轴垂线,

垂足为D ,联结AD ,DC ,CB .

(1)求证:DC ∥AB ;

(2)若AD =BC ,求直线AB 的函数解析式.

解:(1)由C (1,0),设D (0,b ),则直线DC 的斜率为k DC =

001

b b -=-- 同理,根据A (1,4),(a ,b ),可得直线AB 的斜率为k AB =41

b a -- ∵点B 在反比例函数图象上,有ab =4,∴kAB =411DC b b ab b k a a --==-=-- ∴DC ∥AB

(2)∵DC ∥AB ∴当AD =BC 时,有两种情况:

①当AD ∥BC ,四边形ADCB 为平行四边形. 则1BE AE a DE CE

==-,∴a -1=1,得a =2 ∴点B 的坐标为(2,2),∴直线AB 的解析式为y =-2x +6

②当AD 与BC 所在直线不平行时,四边形ADCB 为等腰梯形

则BD =AC ,∴a =4

∴点B 的坐标为(4,1),∴直线AB 的解析式为y =-x +5

三、课堂总结:

“数形结合”作为一种重要的思想方法,其应用大致可以分为两种情形:一是借助数的精确性来阐明形的某些属性,二是借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。

几何图形的形象直观,便于理解;代数方法的一般性,解题过程的操作性强,便于把握。对于例1与例2,我们可以选取两种角度中较为简便的方法解答;但在解决综合问题时,往往需要两种方法的结合。

作业:配套专题作业

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