第二章_控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
基本要求-控制系统数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
2控制系统的数学模型
chpt2
2
4. 建立控制系统的数学模型的工具
（1）微分方程 （2）差分方程 （3）传递函数 （4）结构图和信号流图 （5）实验所得的频率特性 （6）其它数学工具
chpt2
3
§2-1控制系统的时域数学模型
一、线性元件的微分方程
L
R
例2-3（图2-3）
Ur(t)
C
U0(t)
步骤： （1）确定输入量和输出量； （2）列写相应的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。
chpt2
4
二、控制系统微分方程的建立
步骤： （1）由系统原理图画出系统方块图； （2）分别列写各元件（方块）的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。 注意： （1）信号传送的单向性； （2）后级对前级的负载效应。
chpt2
5
图2-5速度控制系统
chpt2
6
lim lim lim u0 (0)
t 0
u0 (t)
s U0 (s)
s
s
s[ s(s 2
1 s
1)
0.1s s2 s
0.2 ] 1
0.1V
u0 (t)的终值为：
lim lim lim u0 ()
u0 (t)
t
s0
s U0 (s)
s0
s s5
c(t) 1[C(s)] 1[ 6(s 3) ( r1 r2 )] (s 1)(s 2) s s 5 9r1 r2e5t (3r1 12r2 )e1t (3r1 2r2 )e2t
输入产生的强迫运动分量 其函数形式与输入相同
被输入激发产生的Mode 分别对应系统极点－1和－2 chp他t2 们构成自由运动分量 30
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
第二章控制系统数学模型
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章 控制系统的数学模型
= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第2章连续控制系统的数学模型
第2章连续控制系统的数学模型2.1 控制系统数学模型的概念控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。
所谓数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。
一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。
对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。
对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
2.1.1 数学模型的类型数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，从而具有不同的类型。
下面介绍几种主要类型。
1. 静态模型与动态模型根据数学模型的功能不同，数学模型具有不同的类型。
描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。
静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。
动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。
静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
2. 输入输出描述模型与内部描述模型描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
3. 连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。
连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。
离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。
第二章 控制系统的数学模型
⇒
QQQr00(((sss)))−−=QQH0c1(((sss)))R=−=1Hcc122s(sHsH)12(s()s)
qc (t)
=
h2 (t) R2
Qc
(s)
=
H2 (s) R2
G(s)
=
Qc (s) Qr (s)
=
R1R 2C1C 2s 2
1 + (R1C1 + R2C2
机理分析法：
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法：
通过整理基于系统输入－输出的实验数据来 得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析 法。
建模特点：相似性、简化性、准确性。
数学模型类型： 经典控制理论: 微分方程（连续系统）、
差分方程（离散系统） 、传递函数、系 统方框图和信号流图； 现代控制理论：状态方程
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则 无须第(4)步。
线性定常系统微分方程的一般形式
an
d nc(t) dt n
+
an−1
d n−1c(t ) dt n−1
+
...
+
a1
dc(t ) dt
+
a0c(t )
=
bm
d mr(t) dt m
+
bm −1
d m−1r(t ) dt m−1
d x(t ) + dt
Kx(t ) = f (t )
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性
第二章 控制系统的数学模型
两个输人一个输出的线性系统，可以应用叠加原理进行分析。
如果忽略电枢电阻R 和电动机转动惯量J ，则Tm = 0 。
上式可变为 ω = cd ua 此时，电动机转速与电枢电压成正比。
2．1 控制系统微分方程的建立
三、系统的稳态数学模型
由直流电机例分析 如果电机处于平衡状态，则方程中各阶导数均为零。 此时微分方程变成代数方程，即
3.积分定理
若f(t) n重积分，各重积分在t=0 的值为0时，
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
4．位移定理 ⑴实位移定理（时间坐标中有一个位移）
该定理又称延迟定理。 ⑵复位移定理（在复数s坐标中有一位移）
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
5．终值定理 6．初值定理 Nhomakorabea2．1 控制系统微分方程的建立——例3
解 ua为给定输人，ML为干扰输人，ω 为输出。
据KVL 电枢回路方程：
据牛顿转动定律，电机转子的运动方程（动力学方程）：
当激磁磁通不变时，M与ia 成正比:
2．1 控制系统微分方程的建立——例3
将各式联立，消去中间变量M、ed、ia可得：
Ta ：电磁时间常数 Tm ：机电时间常数
4．整理微分方程，使其规范化，
将输出项放到方程左侧， 输人项放到方程右侧， 各阶导数项按阶次从高到低的顺序排列。
2．1 控制系统微分方程的建立
二、举例
例1：已知RLC 电路系
统如图所示，试列写其 输入—输出之间的微分 方程。
2．1 控制系统微分方程的建立
例2：带阻尼的弹簧系统( k-m-f )， 输入力x,输出位移y ， 试列写系统的微分方程。
自动控制原理与应用第2章自动控制系统的数学模型
自动控制原理与应用第2章自动控制系统的数学模型自动控制是现代工业和科学技术的重要组成部分，它在各种自动化系统中起着关键作用。
通过对自动控制系统的数学建模，我们可以对系统的行为进行分析和预测，并设计合适的控制策略来实现系统的稳定性和性能要求。
本章主要介绍自动控制系统的数学模型及其应用。
自动控制系统的数学模型主要包括线性时不变系统和非线性时变系统两类。
1.线性时不变系统线性时不变系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系，并且系统的性质不随时间的推移而变化。
线性时不变系统的数学模型可以用常微分方程或差分方程来表示，其中常微分方程适用于连续系统，差分方程适用于离散系统。
常见的线性时不变系统包括电路、机械系统等。
2.非线性时变系统非线性时变系统是指系统的输出与输入之间存在非线性关系，并且系统的性质随时间的推移而变化。
非线性时变系统的数学模型可以用偏微分方程、泛函方程等形式来表示。
非线性时变系统由于具有更复杂的动力学特性，通常需要借助数值方法来求解。
二、数学模型的建立方法建立自动控制系统的数学模型有多种方法，常用的方法包括物理模型法、数据模型法和状态空间法。
1.物理模型法物理模型法主要通过物理规律来建立系统的数学模型。
它基于系统的物理特性及其输入输出关系，通过建立微分方程或差分方程来描述系统的动态行为。
物理模型法适用于那些具有明确的物理意义和物理规律的系统。
例如，对机械系统可以利用牛顿定律建立系统的动力学方程。
2.数据模型法数据模型法是通过分析实验数据来建立系统的数学模型。
它基于系统的输入输出数据，借助统计方法和系统辨识技术来进行模型识别和参数估计。
数据模型法适用于那些难以建立明确物理模型的系统。
例如，对于生物系统或经验性系统，可以通过数据模型法来建立系统的数学模型。
3.状态空间法状态空间法是一种以状态变量和输出变量为基础的建模方法。
它将系统的动态行为表示为一组一阶微分方程或差分方程的形式。
状态空间法对于较复杂的系统具有较好的描述能力，能够反映系统的内部结构和动态特性。
第二章：控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型本章目录2.1 传递函数2.2 传递函数的说明2.3 非线性数学模型的线性化2.4 典型环节的传递函数数学模型2.5 用方块图表示的模型2.6 信号流程图与梅逊公式2.7* 数学模型的MATLAB描述小结本章简介系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等等，都可以用微分方程加以描述。
如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。
系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。
为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。
有三种比较常用的描述方法：一种是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或外部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。
第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。
另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。
同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。
本章所讨论的数学模型以传递函数和方块图为主。
2.1 传递函数在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入-输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。
传递函数的概念只适用于线性定常系统，在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。
线性定常系统的传递函数，定义初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。
设有一线性定常系统，它的微分方程是(2-1)式中y是系统的输出量，x是系统的输入量。
初始条件为零时，对方程（2-1）两端进行拉普拉斯变换，就可以得到该系统的传递函数为：(2-2)传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统的输入量与输出量之间的关系式，它表达了系统本身的特性，而与输入量无关。
自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
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确定系统及各元件(环节)的输入量和输出量；
（2）从系统的输入端开始，依据物理定律，依次列
写系统及各元件(环节)的动力学方程；
（3）将各方程式中的中间变量消去，求出描述输入
量和输出量之间关系的微分方程；
（4）对非线性项进行线性化处理。
湖 北 工 业 大 学
控
制 工
2.1.3 非线性微分方程的线性化
程
控
制
工
第二章 控制系统的数字模型
程
基
础
主要内容：
❖控制系统的数学模型
❖传递函数
❖传递函数方块图及简化
湖
北
❖典型环节的传递函数
工
业
大
学
控
制 第二章 控制系统的数字模型
工
程
基
一个自动控制系统，一般都可以依据其所遵循的
础
物理定律，用微分方程这一数学模型来描述其动态特
性。
在经典控制理论中，通常将微分方程转化为传递 函数的形式来对系统进行分析和综合；
础
(mp2 cp k) y(t) f (t)
y y
1. 微分方程的增量形式
若以坐标的增量为变量：
y0
令 y y y0， f f f0 即 y y0 y， f f0 f
f f0 f
当⊿f单独作用时有 (mp2 cp k) y(t) f (t)
湖 北
特别地，当y0 =0， f0 =0 ，y y ，f f
q(x, p
p)
x x0 p p0
(p
p0 )
q=q(x, p)-q(x0, p0)
q(x, p)
x q(x,
p)
p
x xx0 p p0
工
程
基
础
R
i1(t) 输入:电枢电压ua (t);输出:轴转角 (t)
ia (t) ua (t)
F L
Lf
Rf
if uf
电压平衡方程:ua
(t)
E(t)
Lia
(t)
Ria
(t)
ML
电磁转矩: M (t) Cmia (t) Kmia (t)
Mq
力矩平衡方程: M (t) J(t) c(t) M L
消去中间变量M1、M 2 、1
Jˆ2e2 (t) cˆ2e2 (t) M fz M i
[J2
J1
(
z2 z1
)
2
]
2
(t
)
[c
2
c1
(
z2 z1
)
2
]
2
(t
)
M fz
z2 z1
M
湖 北 工
M (t)
M
fz
(t)
-
i+
1
2 (t)
p(J 2e p c2e )
业
大
学
控
制 例 2.4 电枢控制式直流电动机
uo (t) [i(t) i1 (t)]R2
湖 北 工
uo业 大 学
uo
(t)
1 C
i1
(t) p
控
制
工
程 基 础
整理
uo
(t)
LCR2
p2
(L
R2 R1R2C) p
(R1
R2
)
ui
(t)
输出=算符×输入 ui (t)
R2
uo (t)
LCR2 p2 (L R1R2C) p (R1 R2 )
湖 北 工 业 大
例 2.3 机械转动系统
齿轮1 轴
输入：力矩 M；输出：转角2
M
主动轴1： J11 c11 M1 M
从动轴2： J 22 c22 M fz M 2
J1
c1 1 M2
z1
M1 2 J2 齿轮 2轴
z2
Mfz c2
学
控
制
工
程 基 础
传动比：
i 1 2
z2 z1
M2 M1
构成内反馈，是对外推力的反作用。
湖
北
工
输出=算符×输入
业
大
学
控
制
工
程 基
例 2.2 L,R,C电路
i(t) i1(t)
础
输入：ui (t)，输出：uo (t)。
电压平衡方程
i(t) L ui (t)
R 1 i1 (t)
C
uo (t)
R2
ui (t) Li(t) R1i(t) uo (t) ui (t) (Lp R1 )i(t) uo (t)
基
例：阀控油缸伺服系统：
础
原理：
高压油
油池
油池
x
阀芯
湖 北 工 业 大 学
油缸
y
负载
p1
A p2 c m F
控
制 工
问题：求 y f (x)
程 基
物理量：
础
（1）系统动力学方程：
q Ay
my cy ky pA F （不显含x）
（2）液压缸工作腔流体连续性方程：
（3）负载流量q与阀芯位移x,压差p的关系：
湖
反电动势: E(t) Ce(t) Ke(t)
北
消去M (t)、ia (t)、E(t)
工 业
LJ(t) (RJ Lc)(t) (Rc KeKm )(t)
大 学
Kmua (t) RM L (t) LM L (t)
控
制 3.建立系统微分方程的一般步骤
工
程
基
础
（1）分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，
工
2. 微分算子方块图
业
大
y(t)
1
f (t)
学
mp 2 cp k
f (t)
1
y(t)
mp 2 cp k
控
制
工
程
基 础
f (t)
1 y(t)
+ - mp2 b(t) cp+k
f (t) (cp k) y(t) y(t)
mp 2
阻尼力和弹簧恢复力
b(t) (cp k) y(t)
湖
北 工
n
m
a j xo( j) (t) bi xi(i) (t)
业
j0
i0
大
学
控
制 工
2.非线性系统
程
基 础
定义：用非线性方程描述的系统。
如：非线性微分方程
x (x)2 x Asin(t)
x x x x3 0
输出
输出
输出
湖
北
工
输入
输入
输入
业
大
学 各种非线性因素特性曲线
控
制 2.1.2.线性系统微分方程的列写
工
程
基
例 2.1 机械移动系统
础
组合机床动力滑台铣平面时所受轴向分力模型
y (t )
铣刀 工件
动力
湖
滑台
北
工
业
大
学
f (t) 工作台
y(t)
k
m f (t)
c
y
ky m
f
cy
控
制
工
程 基
方程： f (t) ky(t) cy(t) my(t). my(t) cy(t) ky(t) f (t).
在现代控制理论中，通常是采用状态空间表达式 来对系统进行描述。
湖
北
工
系统—微分方程—传递函数
业
大
学
控
制 工
2.1 控制系统的微分方程
程 基
2.1.1 线性系统与非线性系统
础
1、线性定常系统：各系数都是常数；
an
xo(n)
(t
)
an1
x ( n 1) o
(t
)
a1
xo
(t
)
a0
xo
(t
)
bm xi(m) (t) bm1xi(m1) (t) b1xi (t) b0xi (t)
湖
q q(x, p)（非线性函数）
北
工
(4)将q q(x, p)线性化
业
大
设平衡位置(状态)为x0，p0。当x在x0附近作微小变化时,引起的
学
微小负载流量变化⊿q将与x，p成线性关系。
控
制
工
程 台劳级数
基 础
q(x, p)
q( x0 ,
p0 )
q( x, x
p)
x x0 p p0
(x
x0 )