弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解

第四章 平面问题的极坐标解答

典型例题讲解

例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。

例4-1图

【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角α0

max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭其中0,,x y x q σστ===得

max min ,q q σσ==-。

最大正应力σmax 所在截面的方位角为α0

max 0max 0tan 10

4

y

q

q τασσπ

α=-

=-

=-→--=-

q

q

x

若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成π

4

方向截取矩形ABCD ，则在其边界

上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。

（2）取极坐标系如图。由

2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫

=--⎪

⎪

⎪⎪

=-+⎬

⎪⎪

=--+⎪

⎪⎭

得矩形薄板ABCD 内的应力分量为

()()()

22

224

422

22cos 2(1)(13)

cos 2(13)

sin 2(1)(13)

ρφρφ

a a σq φa ρρa σq φ

b ρa a τq φ

c ρρ

=--=-+=--+ 其中α为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在ρ=α处得到

4

4cos 2(13)4cos 2,φa σq φa

ϕ=-+=-

当φ=0，π时，孔边最小正应力为(σφ)

min

=−4q ，

当φ=±π

2时，孔边最大正应力为(σφ)max

=4q 。

分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。

习题全解

4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。

【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程

10210f f ρρϕρϕ

ρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρ

ρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪

⎨

∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00

yx

x x y xy y

f x

y f y x τσστ∂⎧∂++=⎪

∂∂⎪⎨

∂⎪++=⎪∂∂⎩

将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而σρ

ρ项是由于正ρ面上的面积大于负ρ面上的面积而产生

的，−

σφρ

是由于正负φ面上的正应力σφ在通过微分体中心的ρ方向有投影而引起的。

第二式中，前两项也与直角坐标相似；而τρφρ

是由于正ρ面面积大于负ρ面上的面

记而产生的；

τφρρ

是由于正负φ面上的切应力τφρ在通过微分体中心的φ方向有投

影而引起的。由于τρφ=τφρ，仍可将这两个切应力只作为一个未知函数处理。

（2）极坐标，直角坐标中的几何方程

11u u u u u u ρρρϕϕ

ρϕϕ

ρϕερερρϕγρϕρρ∂⎧

=⎪∂⎪⎪∂⎪=+⎨∂⎪⎪∂∂=+-⎪∂∂⎪⎩

x y

xy

u x v

y v u x y εεγ⎧∂=

⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂∂=+⎪∂∂⎩

将极坐标中的几何方程与直角坐标的几何方程相比较，第二式中的第一项

u ρρ

是在极坐标中才有的，表示由于径向位移而引起的环形线段的伸长应变；第三式

中的−

u φρ

是由于环向位移而引起的环向钱段的转角，这项也是在极坐标中才有的。

（3）极坐标，直角坐标中的物理方程

1()1()

12(1)E E G E ρρϕϕϕρρϕρϕ

ρϕεσνσεσνσνγττ⎧

=-⎪⎪

⎪

=-⎨⎪

+⎪==⎪⎩

()()()1121x x y y y x xy xy E E E

εσμσεσμσμγτ⎧

=-⎪⎪

⎪

=-⎨⎪⎪+=⎪⎩ 极坐标中的物理方程与直角坐标的物理方程是相似的。 4-2试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。 【解】 参看图，位移矢量是服从几何加减 运算法则的。

位移矢量为d ，它在(x,y )和(ρ,φ)坐标系中的分量分别表示为(u,v )和(u ρ,u φ)，所以

cos sin sin cos u u u u ρϕ

ϕυϕ

ϕυϕ=+⎧⎪⎨

=-+⎪⎩ 写成矩阵形式

cos sin sin cos u u u ρϕϕϕϕ

ϕυ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 解4-2图

所以