三角形三边关系的应用

三角形三边关系的应用

“三角形中任意两边之和大于第三边”及“三角形任意两边之差小于第三边”这两个结论在某些问题中是必备知识，同学们一定要力求熟练掌握，现举例说明．

1．判定三角形是否存在

当线段a、b、c同时满足：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b时，可以构成三角形．也可简化为：如果三条线段a≤b≤c，只要满足a+b＞c便可构成三角形．

例1等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形底边的长．

解：如图1所示，设这个三角形腰长2xcm，底边长ycm，则

∵8+8＜17，故不能构成三角形，

∴这个三角形的底边长5cm．

注：在求三角形边长时，一定要注意构成三角形的条件．

例2ABCD的边长 AB=5cm，那么它的两条对角线AC、BD的长可能是 [ ]

A． 4cm和6cm B．3cm和7cm．

C．4cm和8cm D．2cm和12cm．

(第九届“希望杯”初二培训)

解：如图2，ABCD中，对角线AC 、

对于选择A、B 都有OA+OB=AB，故不正确，对于 D有 AO+ AB= OB故也不正确，所以只能选C．

2．确定某条边的取值范围

三角形中一边的长小于其它两边之和而大于它们的差．

例3一个三角形的周长为偶数，其中两条边的长分别是4和1997，则满足条件的三角形的个数是_______．

解：∵4+1997+c是偶数，

∴ c为奇数．

又∵ 1993＜c＜2001，

∴ c只能取1995、1997、1999．故满足条件的三角形有3个．

3．化简

例4 若a、 b、 c为三角形的三条边长，则-(a+b+c)+｜a-b-c｜-｜b-c-a｜

+｜c-b-a｜= [ ]．

(A)2(a-b-c) (B)2(b-a-c)．

(C)2(c-a-b) (D)2(a+ b+ c)．

(第六届“希望杯”初二试题)

解：由三角形三边关系，有

a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，即a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-b-a＜0，

∴原式=- a- b- c+ b+ c- a-(a+ c- b)+ a+b- c= 2(b- a- c)．

∴选(B)．

4．证明不等式

例5 设三角形两条高线的长分别是12和20，证明第三条高线的长小于30．

证明：设△ABC的边长为a，b，c，对应高为h1=12，h2=20，h3，三角形面积为S，则

∵a-b＜c．

5．其它

例6用长度相等的100根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．

(97太原市初中数竞)

解设三角形各边需火柴杆的根数为x、y、3x．则

由①得y=100-4x，分别代入②、③、④．

解得

∵ x为正整数，

∴ x=15，16，

∴满足条件的三角形有两组，需用火柴的根数分别是15，40，45或16，36，48．

例7△ABC的一边为5．另外两边的长是方程2x2-12x+m=0的两根，那么，m的取值范围是______．(97年四川初中数竞)

解设△ABC中．三边为a、b、c．a≤b．c=5．