4446椭球面双曲面抛物面

z
c
o a
x
by
椭球面的两种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
(2) a b c,
x2 a2

y2 a2

z2 a2

1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2 .
例 已知椭球面的轴与三坐标轴重合,且通过椭圆
练习： 习题4.4 3, 4, 5 作业： 习题4.4 2
4.5 双曲面
1. 单叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
(1) 范 围: x2 y2 1 a2 b2
故曲面在椭圆柱面
x2 y2 1
的外部；
a2 b2
(2) 对称性: 图形关于坐标原点、三个坐标轴以 及三个坐标面都对称.
3. 截 痕
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
(a 0, b 0, c 0)
椭球面与三个坐标面的交线（称为主截线或主椭圆）：

x2 a2

y2 b2

1,
z 0

x2 a2

z2 c2

1 ,

y

0

y2 b2

z2 c2

1,
x 0
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
(a 0, b 0, c 0)
椭球面与平面 z z1 （ | z1 | c）的交线为椭圆

a2

c
2
x2 (c2
z12 )

b2 c2
y2 (c2
z12 )

1
z z1
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
得一族椭圆, 求这族椭圆焦点的轨迹.
解 这族椭圆的方程为
x2 y2
h2

a
2

b2
1 c2
z h
x2
y2

a
2
(1
wenku.baidu.com

h2 c2
)

b2 (1

h2 c2
)

1 .
z h
ab
椭圆 的长半 轴为a 1 h2 ， c2
短 半 轴 为b 1 h2 ， c2
4.4 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
（直角坐标系下）
(a 0, b 0, c 0)
1. 范围: |x |≤a, |y |≤b, |z |≤c .
图形在 x = ± a, y = ± b, z = ± c 所围成的长 方体内.
2. 对称性: 图形关于坐标原点、三个坐标轴以 及三个坐标面都是对称.
故曲面在两平行平面 z c 的外部；
(2) 对称性: 图形关于坐标原点、三个坐标轴以 及三个坐标面都对称.
(3) 截 痕
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
o
y
x
例 用一组平行平面 z=h (h为任意参数) 截割 单叶双曲面
x2 y2 z2 1 (a b)
a2 b2 c2
椭圆焦点的坐标为：
(
(a2

b2
)(1
h2 c2
)
,
0,
h)
x2

a
2

b2

z2 c2
1
y 0
练习： 习题4.5 3
作业： 习题4.5 2,4,5
练习 已知 a > b > c > 0，讨论 k 的不同取值时方程
的图像.
(a - k)x2 (b k) y2 (c k)z2 1
(2) 对称性: 图形关于z 轴、yOz 平面、xOz 平面 对称.
(3) 截 痕
x2 y2 z
设 p 0, q 0
2 p 2q
用坐标面 xOy (z = 0) 与曲面相截
(3) 截 痕
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
用平面 z = z0 截曲面所得截痕为椭圆：
x2 a2

y2 b2

1
z0 2 c2

z z0
z 用平面 y = y0 截曲面所得截痕为：
x2 a2

z2 c2

1
y0 2 b2

y y0
o
y
这是一条双曲线（或两条直线）. x
x2 y2 z2 a2

,
z ky
x2

a
2
1 k2
a2
y2
1
(2)
z ky
比较(1)与(2), 得
1 k2 c2 b2k2

a2
b2c2
因此,所求平面为
k 2 c2 (b2 a2 ) b2 (a2 c2 )
c b2 a2 y b a2 c2 z 0
a 2 9, b2 16.
又因椭球面通过点 M (1,2, 23) ,故
1 4 23 1 c 2 36. 9 16 c 2
例 已知椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
(c a b)
求过x轴且与椭球面的交线是圆的平面.
解 设所求平面方程为 z ky,
它与椭球面的交线是
x2 y2 1 9 16 z 0
与点M, 求椭球面方程.
M (1,2, 23)
解 由椭球面的轴与三坐标轴重合，可设其方程为
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
它与xOy面的交线是椭圆：
x2 y2

a
2

b2
1
z 0
x2 y2 1 与已知椭圆 9 16 重合，比较得 z 0
x2

a
2
c2 b2k2
b2c2
y2
1 ,
(1)
z ky
它与椭球面的交线是
x2

a
2

c2 b2k2 b2c2
y2
1,
(1)
z ky
如果交线是圆，则圆心是椭球面的对称中心(0,0,0)， 且圆通过椭球面的顶点(a,0,0)，(-a,0,0)， 故其方程为
答案 k < c ： 椭球面 c < k < b ： 单叶双曲面 b < k < a ： 双叶双曲面
k = c ： 椭圆柱面 k = b ： 双曲柱面 k >= a ： 空集
4.6 抛物面
1. 椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
（ p 与 q 同号）
(1) 范围: 若 p > 0 且 q > 0 , 则 图形在 xOy 平面上方，否则在 xO y 平面下方.
截痕
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
用平面 x = x 0 截曲面所得截痕为：
y2 b2

z2 c2

1
x0 2 a2
x x0
z
这是一条双曲线（或两条直 线）
o
y
x
2. 双叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
(1)
范
围:
z2 c2

x2 a2

y2 b2
11