离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案

第七章作业评分要求：

1. 合计100分

2. 给出每小题得分(注意：写出扣分理由).

3. 总得分在采分点1处正确设置•

1设R={|x,y € N且x+3y=12}.【本题合计10分】

(1) 求R的集合表达式(列元素法)；

(2) 求domR, ranR;

⑶求RR；

⑷求R{2,3,4,6};

(5)求R［{3}］；

解

(1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2 分］

⑵ domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2 分］

(3) RR={<3,3>, <0,4>}【2 分］

(4) R{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2 分］

⑸ R［{3}］={3}【2 分］

2设R,F,G为A上的二元关系.证明：

(1) R(F U G)=RF U RG

(2) R(F A G)RF A RG

(3) R(FG)=(RF)G.

【本题合计18分：每小题6分，证明格式正确得3分，错一步扣1分］证明

(1),

€ R(F U G)

t (xRt A t(F U G)y)复合定义

t(xRt A (tFy V tGy) U 定义

t((xRt A tFy) V (xRt A tGy)) A对V分配律

t(xRt A tFy) V t(xRt A tGy) 对V 分配律

x(RF)y V x(RG)y 复合定义

x(RF U RG)y U 定义

得证

⑵ ,

x(R(F A G))y

t(xRt A t(F n G)y) 复合定义

t(xRt A (tFy A tGy)) n 定义

t((xRt A tFy)A (xRt A tGy)) A幕等律，A交换律,A结合律

t(xRt A tFy) A t(xRt A tGy) 补充的量词推理定律

x(RF)y A x(RG)y 复合定义

x(RF U RG)y U 定义

得证

(3),

€ R(FG)

s (€ R A € (FG))定义

s (€ R A t ( € F A € G))) 定义

st(€ R A € F A € G) 辖域扩张公式

ts((€ R A € F)A € G) 存在量词交换

t(s(€ R A € F)A € G) 辖域收缩公式

t(€ (RF)A € G) 复合定义

€ (RF)G复合定义

得证

3设F={|x —y+2>0 A x- y- 2<0}是实数集R上的二元关系，问F具有什么性质并说明理由.【本题合计10 分：每种性质 2 分---- 答对得 1 分，正确说明理由得1分】

解F={|x- y+2>0A x- y- 2<0}={| - 2€ F 显然.

对称性: ,

€ F- 2€ F.

不具有反自反性: 反例<2,2>€ F

不具有反对称性：反例<2,3>,<3,2>€ F,显然2工3 不具有传递性: 反例<2,>,<,5>€ F, 但<2,5>不属于 F.

4 设A={a,b,c}, R={,},

(1) 给出R 的关系矩阵;

⑵说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)

【本题合计12 分：第( 1)小题 2 分；第( 2)小题10 分 -------- 答对性质得 1 分，说明理由得

1分】

解

(1) R的关系矩阵M(R)为

0 1 1

0 0 0

0 0 0

(2)

不具有自反性：M(R)的主对角线不是全为1

是反自反的：M(R)的主对角线全为0

不具有对称性：M(R)不是对称的

是反对称的：M(R)对称的位置至多有一个1

是传递的 :M(R2)如下

0 0 0

0 0 0

0 0 0

显然满足 :如果M(R2)任意位置为1,则M(R)对应位置也为1

5设A丰,RA X A证明

(1) r(R)=R U I A

(2) s(R)=RJ R-1

【本题合计 1 2分，每小题6分---- 证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】

证明

(1)只要证明r(R)R U I A和R U I A「(R)即可先证r(R)R U I A:

I A R U I A

R U I A 自反(自反性的充要条件)

r(R)R U I A (自反闭包的最小性)

再证R U I A r(R):

Rr(R)A l A r(R)(自反闭包的性质及自反性的充要条件)

R U I A r(R)

得证

⑵只要证明s(R)RU R-1及R U Ps(R)即可先证s(R)R U R-1:

(R U R-1)-1=R U R-1 (理由如下: ,

€ (R U R-1)-1

€ R U R-1 (逆运算定义)

€ R V € R-1 (U定义)

€ R-1V € R 逆运算定义)

€ R U R-1 (U定义,U交换律) 所以(R U R-1)-1=R U R-1 )

R U R-1是对称的(对称性的充要条件)

s(R)R U R-1 (对称闭包的最小性) 再证R U R-1s(R):

Rs(R) (闭包定义) A R-1s(R) (后者理由如下:

,

€ R-1

€ R (逆运算定义)

€ s(R)

€ s(R) (s(R是对称的)所以R-1s(R) )

R U R-1s(R)

得证

6 设A={a,b,c,d}, R={,,,,,}, 用Warshall 算法求t(R). 【本题合计8 分】

解依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2

分】

W0=M(R)= 0 0 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 0 1 0

1 分】

W1= 0 0 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

0 0 1 0

【 1 分】

W2= 0 0 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1