抛物线几何性质2

2
AMN 为 锐
所以3 p
角
p
三角形，xA
得p 3；即p
xN
4
22
曲线段C的方程为：y2 8x(1 x 4, y 0)
例题2.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。
解：设A(x , y ), B(x y ), AB中点M (x, y)
11
22
y
M
AF
o
D
N
B
即直线与抛物线没有公共点。
综上所述，当k 1，或k 1，或k 0时， 2
即直线与抛物线只有一个公共点。
当1 k 1 ,且k 0时， 2
即直线与抛物线有两个公共点。
当k 1或k 1 时， 2
即直线与抛物线没有公共点。
直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形： 一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切．
例题1.如图所示，直线
与l1
相l2 交于M点
l 1
，l2
N以Al2 ,B为端点的曲
线段C上的任一点到 的l1距离与到点N的距离相等， AM为N锐角
三角形， AM 17, AN建立3,适BN当坐6 标系,求曲线C的方程。
l1 l2 M
A N
B
分析：1.如何选择适当的坐标系。 2.能否判断曲线段是何种类型曲线。 3.如何用方程表示曲线的一部分。
即直线与抛物线只有一个公共点。
20由 0，即2k 2 k 1 0
解得1 k 1 . 2
即当1 k 1 ,且k 0时，方程组有两个解， 2
即直线与抛物线有两个公共点。
30由 0，即2k 2 k 1 0
解得k 1，或k 1 . 2
即当k 1或k 1 时，方程组没有实数解， 2
N以Al2,B为端点的曲
线段C上的任一点到 的l1距离与到点N的距离相等， A为MN锐角
三角形， AM 17, AN建立3,适BN当坐6标系,求曲线C的方程。
l1
y
D
A
l2 M C N
B 解法二：
设抛物线方程：y2 2 px( p 0)
A(3 p ,2 2) 8 2 p(3 p )
x
2得, p 2或4
解：由题意，设直线 l的方程为y 1 k(x 2).
由方程组
y
1 y2
k
(x 4x
2)
Y
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0 (1)当k 0时，由方程得 y 1.
P·
把y 1代入y2 4x,得x 1 .
O
X
4
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(1 ,1) 4
例1 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k 为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点？
例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p
且 AM 17，则AC 2 2 x
RtACN中，NC 1
MN 4,则N为(2,0)
p 2得2 p 8
2 即抛物线方程：
y2
8x
由图得，A为（1，2 2） B为（4，4 2）
曲线段C的方程为：y2 8x(1 x 4, y 0)
例题1.如图所示，直线
与l1 相l2 交于M点
l 1
，l2
x
C
2 MN AD BC , MN p y 1 y,
2
4
AD BC 2( 1 y)
8
4
2
9.AB 是抛物线 x=y2 的一条焦点弦，且｜AB｜=4，则 AB 的中点到
直线 x+1=0 的距离为( )
5
A.
B.2
C.3
2
11
D.
4
6．抛物线 y 2 2 px( p 0) 上有 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), C(x3, y3 ) 三点，
F 是它的焦点，若 AF , BF , CF 成等差数列，则
它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（ B ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
5．方程 y2=ax+b 与 y=ax+b(a≠0)表示的图形可能是（ ）
2. (浙江)函数 y＝ax2＋1 的图象与直线 y＝x 相切，则 a＝( B )
(A) 1 (B) 1
(C) 1
(D)1
123
例题1.如图所示，直线
与l1
相l2 交于M点
l 1
，l2
N以Al2 ,B为端点的曲
线段C上的任一点到 的l1距离与到点N的距离相等， AM为N锐角
三角形， AM 17, AN建立3,适BN当坐6 标系,求曲线C的方程。
l1
y
D
A
l2 M C N
B 解法一： RtACM , MC AD AN 3
()
A． x1, x2 , x3 成等差数列 C． y1, y2 , y3 成等差数列
B． x1, x3 , x2 成等差数列 D． y1, y3 , y2 成等差数列
例1 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k 为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点？
x a
2 2
y2 b2
1
B．抛物线 y 1 x 2 的准线方程是 x 1
2
2
C．等轴双wk.baidu.com线的离心率是 2
D．椭圆
x2 m2
y2 n2
1m 0, n 0 的焦点坐标是 F1
m2 n2 ,0 , F2
m2 n2 ,0
5. （上海）过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，
2p y0
x,
y
A
2 联立可得点D的纵坐标为y
p2
.
因为点F的坐标是(
p
,0)
y0
,所以直线A
F的
2
OF
x
方程为 y y0
x p
y02
2 p
.
2p 2
DB
联立可得点B的纵坐标为y p2 . y0
所以DB // x轴。
12．给出下列结论,其中正确的是
（）
A．渐近线方程为 y
b a
xa
0,
b
0
的双曲线的标准方程一定是
解：由题意，设直线 l的方程为y 1 k(x 2).
由方程组
y
1 y2
k
(x 4x
2)
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0
(2)当k 0时，方程的判别式为 ＝16(2k 2 k 1).
10由＝0，即2k 2 k 1 0
解得k 1,或k 1 . 2
即当k 1，或k 1 时，方程组只有一个解， 2