2021高考数学考点精讲精练《13 三角函数定义》(讲解)(解析版)

考点13 三角函数定义

【思维导图】

【常见考法】

考点一：终边相同的角

1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为 。 【答案】180135,k k Z ⋅︒+︒∈

【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈， 角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：

2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：

180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．

2．下列各组角中，终边相同的角是 。 A ．

2k π与()2

k k Z π

π+∈ B ．3

±

k π

π与

()3

k k Z π

∈ C ．()21+k π与 ()()41k k Z π±∈ D ．6

k ππ+与()6k k Z π

π±∈

【答案】C

【解析】对于A 选项，

()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122

k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π

与()2

k k Z π

π+

∈的终边不一定相同；

对于B 选项，

()()313

3

k k k Z π

π

π±±

=

∈，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，

()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3

k k Z π∈表示3π

的整数倍， 所以，,,33k x x k k Z x x k Z ππ

π⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬

⎨⎬⎩⎭

⎩⎭

，

则3

±

k π

π与

()3

k k Z π

∈的终边不一定相同； 对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得

()()22121k k ππ+=+，

()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=-，

()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，

则()21+k π与 ()()41k k Z π±∈的终边相同； 对于D 选项，显然,,66x x k k Z x x k k Z π

π

ππ⎧⎫⎧⎫=+

∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩

⎭⎩⎭

，

则6

k π

π+

与()6

k k Z π

π±

∈的终边不一定相同.故选：C.

3．已知集合|22,4

2k k k Z π

π

απαπ⎧⎫

+

≤≤+

∈⎨⎬⎩

⎭

则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是 。 A ． B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】令0k =，则ππ

42α≤≤，故B 选项符合.故选：B 4．集合M={|,24k x x k ππ=+∈Z}，N={|,4

k x x k π

=∈Z}，则 。

A ．M ⊆N

B ．N ⊆M

C ．M N=ϕ

D ．M

N=R

【答案】A

【解析】∵k ∈Z ；∴k ＝2n 或2n+1，n ∈Z ； ∴{|}224n n N x x x n Z πππ==

=+∈或，；又{|}24

k M x x k Z ππ==+∈，； ∴M ⊆N ．故选A ．

考点二：三角函数定义

1．角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为 。

【解析】由角α的终边经过点(2,-1),可得

sin 5α=

=-

,

cos 5α==,

所以2323sin cos αα⎛+=⨯+= ⎝⎭

2．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=3

5

，则m 等于 。 【答案】3 【解析】

3

sin 5

θ=

=

，解得3m =. 3．若点(),P x y 是330角终边上异于原点的任意一点，则

y

x

的值是 。

【答案】【解析】由三角函数的定义可得

()3

tan 330tan 36030tan 303

y x ==-=-=-

. 4．在平面直角坐标系中,点()1,2A 是角α终边上的一点,点()1,1B -是角β终边上的一点,则()cos αβ-的值是 。

【答案】

10

【解析】因为r OA ===，所以sin

y x r r αα=

=== sin

ββ=

=，所以

()cos cos cos sin sin

10

αβαβαβ⎛-=+=

= ⎝． 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点11(,)A x y 和第二象限内的点22(,)B x y 都在单位圆O 上，AOx α∠=，3

AOB π

∠=

.若212

13

y =

，则1x 的值为 。