双因素方差分析方法

(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.
Fα ( ( a 1 ) ,
df E
df T
SS E MSE = df E
SS T
注意
df E = dfT df A f B , SS E = SST SS A SS B
各因素离差平方和的自由度为水平数减一, 各因素离差平方和的自由度为水平数减一,总平方 和的自由度为试验总次数减一. 和的自由度为试验总次数减一.
双因素(无交互作用) 双因素(无交互作用)试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 因素A 因素 因素B 因素 误差 总和 均方和
SS A MSA = df A
MSB = SS B df B
F值
MSA FA = MSE
F 值临介值
SS A
df A df B
SS B
SS E
FB =
MSB MSE
( a 1 )( b 1 )) Fα ( ( b 1 ) , ( a 1 )( b 1 ))
SS A df A MS A FA = = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) SS E df E MS E SS B df B MS B FB = = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) SS E df E MS E
对给定的检验水平 α , 当 FA > Fα ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) 时, 拒绝H 因素的影响有统计意义. 拒绝 01,即A 因素的影响有统计意义. 当 FB > Fα ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) 时, 拒绝H 因素的影响有统计意义. 拒绝 02,即B 因素的影响有统计意义. F 右侧检验
双因素(无交互作用) 双因素(无交互作用)试验的方差分析表 简便计算式: 简便计算式:
SSA = DA p, SSB = DB p
SSE = R DA DB + p, SST = R p
2 其中: 其中: DA = ∑Ti. b , i =1 b 2 DB = ∑T. j a , j =1
(
)
观测值
X ijk = + α i + β j + (αβ )ij + ε ijk
因素A 因素 的效应 交互作用 的效应
总平均
的效应
试验误差
有交互作用的双因素试验的方差分析 线性统计模型
X ijk = + α i + β j + (αβ )ij + ε ijk
1 a b 所有期望值的总平均 其中 = ij ∑∑ ab i =1 j =1 1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平B β j = ∑ ij = i j 水平 j对试验结果的效应 b i =1
(
)
2
SS E = ∑∑ X ij X i. X . j + X
i =1 j =1
(
)
2
称为误差平方和,反映试验误差对试验指标的影响. 称为误差平方和,反映试验误差对试验指标的影响.
成立, 若假设 H 01 , H 02 成立,则: X ij ~ N , σ 2 SST SS A 2 可推得: 可推得: 2 ~ χ ( ab 1) ~ χ 2 ( a 1) σ σ2 SS B SS E 2 ~ χ ( b 1) ~ χ 2 ( ( a 1)( b 1) ) σ2 σ2 SST SS A SS B SS E , 2 , 2 , 2 的自由度分别记作 将 2 σ σ σ σ
无交互作用的双因素试验的方差分析 数学模型 假设某个试验中,有两个可控因素在变化,因素 假设某个试验中,有两个可控因素在变化,因素A 个水平, 因素B有 个水平 个水平, 有a个水平,记作 1,A2,…,Aa;因素 有b个水平, 个水平 记作A , 记作B A与B的不同水平组合 的不同水平组合A i=1, 记作B1,B2,….Bb;则A与B的不同水平组合AiBj(i=1, 2,…,a;j=1,2,…,b)共有 个,每个水平组合 , , ; , , , )共有ab个 称为一个处理,每个处理只作一次试验, 称为一个处理,每个处理只作一次试验,得ab个观测 个观测 值Xij,得双因素无重复实验表
dfT = n 1 = 11 df A = a 1 = 3 df B = b 1 = 2
SSE = SST SSA SSB = 32.83 df E = df A dfb = 6
MSA = SSA df A = 38.223
F0.01 ( 3,6) = 9.78 F0.05 ( 3,6) = 4.76
a
p = T ab ,
2
R = ∑∑ X
i =1 j =1
a
bபைடு நூலகம்
2 ij
设甲, 丁四个工人操作机器Ⅰ 各一天, 例1 设甲,乙,丙,丁四个工人操作机器Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ各一天, 其产品产量如下表, 其产品产量如下表,问工人和机器对产品产量是否有显著 影响? 影响? 机器 B 工人 A 甲 乙 丙 丁 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
X. j = T. j a
解 基本计算如原表
1 a 2 2 R = ∑∑ Xij = 31678 DA = ∑Ti. = 23495 b i=1 i =1 j =1 2 b T 1 2 DB = ∑T. j = 42040.67 p = = 31212 ab a j =1
a b
SST = R p = 466 SSA = DA p = 114.67 SSB = DB p = 318.5
双因素无重复(无交互作用)试验资料表 双因素无重复(无交互作用)
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... B b
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. = ∑ X ij
j =1
b
X i. = Ti. b
X 1. ...
X a.
A1 ... Aa
Ti. = ∑ X ij
j =1
b
X i. = Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
50 63 52 47 54 42
165 143 145 159
47 57 41 53 58 48
T. j = ∑ X ij
i =1
a
197 232 183
49.3 58.0 45.8
T = 612
X = 51
b
j =1
要分析因素A, 的差异对试验结果是否有显著 要分析因素 ,B的差异对试验结果是否有显著 影响,即为检验如下假设是否成立: 影响,即为检验如下假设是否成立:
H 01 : α1 = α 2 = = α a = 0 H 02 : β1 = β 2 = = βb = 0
总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法, 仿单因素方差分析的方法,考察总离差平方和
MSB = SSB dfB = 159.25
MSE = SSE df E = 5.47 FA = MSA MSE = 6.98
F0.01 ( 2,6) = 10.92 FB > F0.01 ( 2,6)
FB = MSB MSE = 29.10 F0.05 ( 3,6) < FA < F0.01 ( 3,6)
(A) ) (B) )
* **
下接受, 0.01 < 0.022 < 0.05 在 α = 0.01 下接受,在 α = 0.05 下否决 在 α = 0.01 下否决 0.001 < 0.01
有交互作用的双因素试验的方差分析 有检验交互作用的效应,则两因素 , 的不同水 有检验交互作用的效应,则两因素A,B的不同水 平的搭配必须作重复试验. 平的搭配必须作重复试验. 处理方法:把交互作用当成一个新因素来处理, 处理方法:把交互作用当成一个新因素来处理, 即把每种搭配A 看作一个总体X 即把每种搭配 iBj看作一个总体 ij. 基本假设(1)X ij 相互独立; 基本假设( ) 相互独立; ,(方差齐性 方差齐性). (2) ij ~ N ij , σ 2 ,(方差齐性). ) X 线性统计模型 因素B 因素
双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中,一个试验结果(试验指标) 在实际应用中,一个试验结果(试验指标)往往 受多个因素的影响.不仅这些因素会影响试验结果, 受多个因素的影响.不仅这些因素会影响试验结果, 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果. 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果. 例如:某些合金,当单独加入元素 或元素 或元素B时 例如:某些合金,当单独加入元素A或元素 时, 性能变化不大,但当同时加入元素A和 时 性能变化不大,但当同时加入元素 和B时,合金性 能的变化就特别显著. 能的变化就特别显著. 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用. 影响称为交互作用.交互作用在多因素的方差分析 把它当成一个新因素来处理. 中,把它当成一个新因素来处理. 我们只学习两个因素的方差分析, 我们只学习两个因素的方差分析,更多因素的 问题,用正交试验法比较方便. 问题,用正交试验法比较方便.
a i =1
T1. ... Ta.
a b i =1 j =1
T. j = ∑ X ij T.1
T.2
...
T.b T = ∑∑ X ij
X . j = T. j a X .1
X .2
...
X .b
1 X= T ab
无交互作用的双因素试验的方差分析 基本假设( ) 相互独立; 基本假设(1)X ij 相互独立; ,(方差齐性 方差齐性). (2) ij ~ N ij , σ 2 ,(方差齐性). ) X
(
)
线性统计模型 X ij = + α i + β j + ε ij
1 a b 所有期望值的总平均 所有期望值的总平均 其中 = ij ∑∑ ab i =1 j =1 1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平B β j = ∑ ij = i j 水平 j对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
(αβ )ij = ij α i β j
交互效应
ε ijk = X ijk ij 试验误差
特性: 特性:
a
∑α
i =1 ij
a
i
= 0;
b
∑β
j =1
b
j
= 0; = 0; ε ijk ~ N ( 0, σ
2
∑ (αβ )
i =1
= 0;
∑ (αβ )
j =1
ij
)
要判断因素A,B及交互作用 ×B对试验结果是否 及交互作用A× 对试验结果是否 要判断因素 , 及交互作用 有显著影响,即为检验如下假设是否成立: 有显著影响,即为检验如下假设是否成立: