第6章 限界剪枝法

各行的约数分别为r(1)＝10，r(2)＝2，r(3)=2， r(4)=3，r(5)=4。 各列的约数分别为r‘(1)＝l，r’(2)=0， r‘(3)＝3 ，r’(4)= 0，r＇(5)＝0。该矩阵的约数为 r＝25。 第 从归约矩阵的定义可以推知，对于G中的任意 07 章 一条周游路线有：
ij 限 ( i . j ) p ( i , j ) p 界 由此可以得出结论：求带耗费矩阵C的有向图G 剪 枝 的最小耗费周游路线，等价于求带有耗费矩阵C＇ 法 的有向图G的最小耗费周游路线，而且，前者的周
4 8 12
2
7 8 6 9
5
11 10
12
14 13
最小耗费搜索法

最小耗费搜索法

第 07 章 限 界 剪 枝 法
15迷问题

布局结构描述

布局结点不仅包括数字位的分布情况，还包括已经推演的步 数和与目标布局的差异，以及指向父结点的指针。 初始化集合S={}，记录曾经出现过的布局； 初始化优先队列Q，以布局的~C(x)作为权值； 起始布局入队，并记入S； 循环，直至队列空 布局T出队； 若T为目标布局，则从T倒推出移动步骤，求解结束； 将T的所有未处理的可推演布局入队，并记入S；
二 最小耗费搜索法
第 07 章 限 界 剪 枝 法
C(x) = ∞
x
y2
x
C(x) = min{D(y)|y∈Tx∩A}
D(y2)
y1
D(y1)
最小耗费搜索法
第 07 章 限 界 剪 枝 法
10 5
17
7
14
9
12
最小耗费搜索法
5
第 07 章 限 界 剪 枝 法
∞
5
∞
14
9
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∞
5
14
9
17
10
在找到 一个回答结点或当整个状态 空间树被搜索完，算法LC(T，C)才终止
第 07 章 限 界 剪 枝 法
。
对算法LC作适当修改，可以使算法
在找到一个最小C(x)回答结点时结束。
下面的算法LCl(T，C)是经过修改后的算
法，它的终止 条件改为当前扩展结点是
一个回答结点。
procedure LC1 (T ,C’) begin MAKENULL (Q)； 计算C(T)’； INSERT(T,Q)； while not EMPTY(Q) do begin e:=DELETEMIN (Q)； 第 if e 是回答结点 then 07 begin 输出从T到e的逆路径；return ； end ； 章 for e 的每一个儿子结点 do if x 满足约束条件then 限 begin 界 计算C(x) ‘ ； INSERT (x ,Q)； x ↑ . parent : =e ； 剪 end； 枝 end； 法 print “没有回答结点” ； end；
限界剪枝法
第 07 章 限 界 剪 枝 法

限界与剪枝

为了进一步避免无效搜索，若能找到最优解的耗费上界U，即 对于最优解结点x*，有C(x*)≤U，则： 在进行最小耗费搜索时，对于待展开的状态结点y，若 ~C(y)>U，则由C(x)的单调性和~C(x)是C(x)的下界可知： U<~C(y)≤C(y)≤C(x) x为解结点 即，在y的子树中不会包含所要求的最优解结点x*，因而可以 放弃对该子树的搜索。
三 限界剪枝法
第 07 章 限 界 剪 枝 法

限界与剪枝



在解结点集合上定义目标函数F(x)，求解解结点 集上的离散最优化问题； 类似最小耗费搜索法，定义耗费函数C(x)： C(x) = min{D(y)|y∈Tx∩A} Tx∩A≠{} C(x) = ∞ Tx∩A={} C(x)为单调非减函数； 同样地，由于C(x)无法做即时计算，引入估值函 数~C(x)，满足条件： ~C(x)≤C(x)； 对解结点x，~C(x) = C(x)；


由归约矩阵的定义可知，在有向连通网上的一条极大简单回 路的路径权值之和等于权值矩阵的归约矩阵的约数r+归约矩 阵上的对应权值之和；因此r是路径权值的一个下界，可作 为C(x)的下界函数； 定义~C(T)=r；
∞ 15 3 19
20 ∞ 5 6 4
30 16 ∞ 18 7
10 4 2 ∞ 16
11 2 4 3 ∞
限界剪枝法
第 07 章 限 界 剪 枝 法

限界与剪枝




基于以上思想，引入耗费函数的上界函数u(x)， 满足：~C(x)≤C(x)≤u(x)；和当前最小上界值U； 初始时令U=u(T)，T为起始结点； 在符合约束条件的结点x入队前，检查，若 ~C(x)>U，则该结点不入队（不激活）； 在结点x入队时，检查，若u(x)<U，则用u(x)更新 U（使U动态单调下降）； 在活动结点x出队后，检查，若~C(x)>U，则不须 对x进行扩展，避免无效搜索；
第 07 章 限 界 剪 枝 法
பைடு நூலகம்
旅行售货员问题
从状态空间树的根出发，定义非根 结点x的估值函数如下：
若x不是解结点，则：

设x的父结点y的归约矩阵Ay，

第 07 章 限 界 剪 枝 法
设x是由加入边(i,j)得到的，则将Ay的 第i行和第j列均置为∞，以避免选入 其他以i为起点和以j为终点的边； 将Aj1置为∞，以避免选入(j,1)； 如此得到的矩阵就是x的归约矩阵Ax， 归约于Ax的归约数为rx，则定义： ~C(x) = ~C(y)+rx
限界剪枝法

旅行售货员问题

问题：某售货员要到若干城市去推销，已知各城市之间的路程 （或旅费），求一条从驻地出发，经过每个城市仅一次，最后回 到驻地的路线，使总的路程（或总旅费）最小。 问题可以描述成一个有向网G上的最小权值极大简单回路问题；不 失一般性，设起点为顶点1，则解的形式为{1,p1,p2…pn-1,1}，取中 间部分p1,p2…pn-1作为解结点的形式， p1,p2…pn-1可以看作2到n的 一个排列，若G是一个完全图，则显然状态空间中的结点数为(n1)!； 定义耗费函数C(x)： 当x为解结点时，C(x)取x的路线耗费； 当x不是解结点时，C(x)取x的子树中最小耗费解结点的耗费； 定义上界函数u(x)： 当x为解结点时，u(x) = C(x)； 当x不是解结点时，u(x) = ∞；
2. 限界剪枝法基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方 式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。 活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这 些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃， 其余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上 述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表 为空时为止。
限界剪枝法

限界与剪枝

第 07 章 限 界 剪 枝 法
限界剪枝法的算法描述



设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数； 初始化优先队列Q ，初始化U=u(T)； 计算~C(T)，并将T入队； 循环，直到队列Q空（无解）： 结点e出队； 若e是回答结点，则 输出解或求解路径，求解结束； 否则，若~C(e)≤U，则 检查e的所有子结点x，若x满足约束条件，则 计算~C(x)，若~C(x)≤U，则 将x入队，并计算u(x)； 若u(x)<U，则令U=u(x)； 记录搜索路径；
第 07 章 限 界 剪 枝 法



限界剪枝法

旅行售货员问题

第 07 章 限 界 剪 枝 法
为了定义C(x)的下界~C(x)，引入权值矩阵的归约矩阵：

从权值矩阵的每一行（列）中减去该行（列）的最小值，称为 对行（列）的归约，被减去的最小值称为该行（列）的约数； 对一个矩阵的行和列都做归约，称为原矩阵的归约矩阵，行列 约数之和称为原矩阵的约数，记为r ；
2
一 限界剪枝法的基本思想
1. 限界剪枝法与回溯法的不同
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空 间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法 的求解目标则是找出满足约束条件的一个解， 或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下 的最优解。
（2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方 式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先 或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

Cij r
C'
游路线的耗费以r为下界。
第 07 章 限 界 剪 枝 法

因此，约数r可用来作为状态空 间树根结点的估值函数值。即令 C＇(T)＝r，而C＇是根结点对应 的归约矩阵。

第 07 章 限 界 剪 枝 法
对于状态空间树中的其他任 意结点x，我们也可建立与之相 应的C＇(x)和相应的归约矩阵。 设y是任一非叶结点，Ay是与结 点y相对应的归约矩阵，x是y的 儿子结点，状态空间树中的边(y ，x)对应于选择图G的边(y,x)加 入周游路线。
∞
∞
5
7
14
∞
9
10
∞
5
∞
12
最小耗费搜索法
第 07 章 限 界 剪 枝 法

下界估值函数~C(x)

~C(x)是C(x)的下界估值

~C(x)可即时计算
当x为解结点时，~C(x)=C(x)=D(x)

下界估值越小，分枝含有最优解的可能越大。 优先搜索下界估值最小的结点，则第一个待扩展的解结点为最优解。
3. 常见的两种分支限界法
（1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩 展节点。 （2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点 成为当前扩展节点。
基本思想
第 07 章 限 界 剪 枝 法
1、以回溯为基础，求最优解 2、启发式搜索 3、提前剪去不含最优解的分枝
最小耗费搜索法

最小耗费搜索法

第 07 章 限 界 剪 枝 法
15迷问题

用布局作为问题状态，用空格的移动来表述状态的演化； 用根结点到解结点的路径长度作为耗费函数； 而用根到当前结点的路径长度加上当前结点与目标解的差异量作 为耗费估计函数；
1
3
4
15
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
《算法设计与分析》
第6章 限界剪枝法
第六章
本章主要知识点
• • •
分支限界法
6.1 分支限界法的基本思想 6.2 单源最短路径问题 6.3 装载问题
•
• • • • •
6.4 布线问题
6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 0－1背包问题 最大团问题 旅行售货员问题 电路板排列问题 批处理作业调度
最小耗费搜索法

第 07 章 限 界 剪 枝 法
最小耗费搜索法 最小耗费搜索法的算法描述 设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数；初 始化优先队列Q； 计算~C(T)，并将T入队； 对活结点表中的任一结点x，有 循环，直到队列Q空（无解）： ~C(e)≤~C(x)， 结点e出队； 对x分枝中的任一解结点y，有 若e是回答结点，则 ~C(x)≤C(y)=D(y)， 输出解或求解路径，求解结束； 又知：~C(e)=C(e)=D(e)，则 否则 D(e)≤D(y)。 检查e的所有子结点x： 若x满足约束条件，则 计算~C(x)，并将x入队； 记录搜索路径； 当~C(x)满足：~C(x)≤C(x)，C(x)单调，解结点的 ~C(x)=C(x)时，上述算法可以正确找到C(x)的最小耗费解；

算法描述

procedure LC (T,C) ( EMPTY(Q)在Q为空时返回true，否则返回false。) begin if T 的根是一个回答结点 then 输出T的根 else begin MAKENULL (Q); 计算C（T）’; INSERT(T,Q); while not EMPTY(Q) do 第 begin e: = DELETEMIN (Q)； 07 for e 的每个儿子结点 x do 章 if x满足约束条件then begin if x 是回答结点 then 限 begin 输出从T到x的逆路径; return; end ； 界 计算C(x)＇；INSERT(x,Q); x ↑. parent =e; 剪 end ; end； 枝 print“没有回答结点” 法 end; end；
∞
10 ∞ 3 3 0
20 14 ∞ 15 3
0 2 0 ∞ 12
1 0 2 0 ∞
行归约
13 1 16 12
第 07 章 限 界 剪 枝 法
16
列归约
∞ 12 0 15 11 10 ∞ 3 3 0 17 11 ∞ 12 0 0 2 0 ∞ 12 1 0 2 0 ∞
归约数为：10+2+2+3+4+1+3 = 25