-1多元函数概念预备知识

RS
y
z
②
R
y
xS
z
S
④
o
y
x
13
⑶ 二次曲面
三元二次方程 a1x2a2y2a3z2b1xzb2xz b3yzc1xc2yc3zd
二次曲面
常见的二次曲面：
z
球面：
S
x2y2z2 R2
o
y
(R 0)
x
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椭球面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
z
(a,b,c,0)
S
o
y
x
15
单叶双曲面：a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c0)
x y0
(E 1)
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8．闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域
如：(x,y)xy0 及 (x,y)1x2y24
9．有界点集：设定点A，点集E，若 PE使 M 0， 有 PA M 成立，则称E为有界点集。
（否则无界点集）
如：有界闭区域 (x,y)1x2y24
无界开区域 (x,y)xy0
O 12 x E1
20
5. 边界：点集E的边界点的全体称为E的边界。
如：E1的边界是
x2 y2 1
x2 和 y2 4
6. 连通区域：对于开集D，若 P1,P2D，都可用折线
（属于D）连结，则称D是连通集。
7. 开区域（区域）：连通的开集称为区域或开区域。
如：(x,y)xy0 及 (x,y)1x2y24
D是有
界闭域
．
D
y D
D是无 界开域
o
x
22
10．聚点：对于点P和点集E，若 D(P),D(P)内有 无 限多个点属于E， 则称P为E的聚 点。
显然：① E的内点是E的聚点；
② E的边界点可能是E的聚点，例如 ，
设 E 2(x,y)0x2y2 1 ， 则（0，0）
是E2的边界点又是聚点，但( 0，0 ) E2 ；
o
y
x
6
则称 F(x, y, z)=0是S的方程；
S是F(x, y, z)=0的图形
(2) 关于曲面研究的两个基本问题 :
①已知曲面 → 建立方程 ②已知方程 → 讨论曲面的形状 （截痕法或称截口法；化为形状
已知的曲面方程）
7
例如：⑴建立球面的方程 ⑵设点A(1, 2, 3)、B(2, -1, 4) 求线段AB的垂直平分面的方程 ⑶方程 x2y2z22x4y0 表示怎样的曲面？
n 维 (x1,x2, ,xn) n 维空间 R n
24
Thanks End
⑴ 平面
方程 ax+by+cz=d (a、b、c不全为0）
坐标平面的方程：z = 0 —— x0y面
z
y = 0 —— x0z面
x = 0 —— y0z面
o
y
x
10
例如：方程 2x + 3y=6 x=A y=B z=C
分别表示什么平面？
z
z
z
2
o
y
oy
A
3 2x+3y=6 x
x
(三元一次方程
平面)
2. 内点：设E是一点集，P是一点，若 D(P)E ， 则称P为E的内点。
.P
E
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3. 边界点： D (P),P 1D (P)且 P1 E ； P2 D(P) 且 P2 E ，则称
P 为E的边界点。
E
P.
4. 开集：点集E的点都是内点，
y
则称点集E为开集。
如:
E 1(x,y)1x2y24
F（x，y，z）= 0 的大致形状
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a , b , c 0 )
x
—— 单叶双曲面
o
y
S
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例2
z y2 x2
z
o
y
x
S
—— 双曲抛物面（马鞍面）
18
三.平面区域的概念
1. 邻域： D (P 0 )P P P 0 (D (P 0 ) )
D (P 0 )(x ,y )(x x 0 )2 (y y 0 )2
-1多元函数概念预备知识
二．空间曲面与方程
1．曲面方程的概念
（1）曲面S和方程 F（x, y, z)=0
对于曲面方程曲面S和方程 F（x, y, z)=0
若：点M（x, y, z) ∈ S
F(x, y, z)=0
点M（x, y, z) S
z
S
. M(x,y,z)
F(x, y, z) ≠0
8
解：⑴设球心为 (x0, y0, z0) , 半径为R
则
S :(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z 0 )2 R 2
⑵设垂直平分面上的点M(x,y,z) 。
则 M AM B 2x6y2z7
M
A
B
⑶ (x1)2(y2)2z25
球心在(1,-2,0)，半径为 5 的球面
9
2．常见的空间曲面
o
x
B y
z C
o
y
x
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⑵ 柱面
平行于定直线并沿曲线C（准线）移动的直 线L（母线）形成的轨迹，称为柱面。 平面是柱面的特例（当准线为直线）
z
已知 直线
S
L
o
y
x
C
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例如：方程① x2 y2 R2 ② y2 z2 R2
③ x2z2 R2 ④ y 2 2 x
都是柱面的方程
z
①S R
y
x z
③
。 E2
而点 (x0,y0)(x,y)x2y2 1是E2的边
界点又是聚点，但( x0 , y0 ) E2
从而，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E 。
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11．空间：点的集合。
空间 一维 二维 三维
...
点
x
(x, y) (x, y, z)
...
集合 直线 平面 空间
...
记号
R
R2 R3 ...
双叶双曲面：
Fra Baidu bibliotek
x2 y2 z2 a2b2c21
(a,b,c0)
x2 y2 z2 二次锥面： a2b2c20 (a,b,c0)
椭圆抛物面：
x2 p
y2 q
2z
(p,q0)
双曲抛物面（马鞍面）：
x2 y2 2z (p,q0) pq
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3．截痕法
已知 F（x，y，z）=0 研究所表示的曲面的形 状常采用截痕法：用坐标平面和平行于坐标平面 的平面去截曲面，考察相截而得到的交线的形状； 综合各种情况，描绘出曲面