6讲分布函数及概率密度

注意：概率密度函数 f (x)在点a处取值，不 是事件 {X=a} 的概率。但是，该值越大，X 在 a 点附近取值的概率越大。
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f (x)x .
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率 近似等于 f (x ) × △x 。
◎ 对连续型 随机变量 X, 有
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
P(a X b).
◎ 由P(X=a)=0， 可推出
P( X R a) f (x)dx P( X a) 1.
而 {X=a} 并非不可能事件,
f
(
x)

b
1
a
,
a x b,
0, 其他 .
则称X服从区间[ a, b]上的均匀分布，记作： X ～ U[a, b] (注: 也记作 X ～ U(a, b) )。
若X ～ U[a, b]，则对于满足 a≤c≤d≤b 的 c 和 d，总有
P{ c

X

d}
d
c
f
(x)
性质：
(1).a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性)； (2).F(x)是一个右连续函数； (3).xR，总有0≤F(x)≤1(有界性)，且
lim F(x) 0， lim F(x) 1。
x
x
常记 lim F(x)为F(), lim F(x)为F() .
x
x

P{X

x}
x

f
(t)
d
t.
对x < -1，有 F(x) = 0；
对 1 x 1，有
F(x)
1
0 dt
x2
1 t2 dt

1
x 1 x2 1 arcsin x 1 ；


2
对 x >1， 有 F (x) = 1.
即
0,
F
(x)
若 X ~ N (， 2 )， 服从N(0,1)
P{a X b}

P
a




x




b






b



Leabharlann Baidu



a




.
例1：公共汽车车门的高度是按成年男性与车 门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设某地 区成年男性身高 (单位: cm) X～N(170, 7.692), 问车门高度应如何确定?
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量X 的概率分布为 pk = P{ X=xk } , k=1,2,…,
X 的分布函数为
F (x) P{X x} P X xk
xk x

PX xk
xk x
pk .
xk x
例X
P
1
2
3
4
正态分布是应用最广泛 的一种连续型分布。
正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss) 给出并推广的一种分布（高斯分布）。
红色曲线近似于正态分布的概率密度曲线。
I. 正态分布的定义
定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
其中μ和σ都是常数，μ任意，σ>0，则称X服 从参数为μ和σ的正态分布。



h 170 7.69


0.99，
查表，得 (2.33） 0.9901 0.99，
所以， h 170 2.33，即 h 1.88. 7.69
故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与 车门碰头机会不超过0.01。
2. 均匀分布 (Uniform)
若随机变量X 的概率密度为：
若x是 f(x)的连续点，则
x x
lim P(x X x x) lim x
f (t)dt
x0
x
x0
x
=f(x)，
X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰好是 X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长度△x 之比的极限。 如果把概率理解为质量，f (x)相当于物理学中 的线密度。
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布。
依据？
定理1：设 x ~ N (， 2 )，则 Y x ~ N (0,1) .
根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数 制成表，就可以解决一般正态分布的概率计 算问题。
V. 正态分布表
概率论与数理统计 第六讲
主讲教师：张冬梅 博士 副教授 浙江工业大学理学院
2.3 随机变量及其分布
随机变量的分布函数； 概率密度； 几种常见连续型随机变量分布
2.3.1 随机变量的分布函数
定义1: 设X()是一个随机变量，称函数
F(x) = P{X≤x}, -∞< x <∞
为随机变量 X 的分布函数。

x


1 x2 1 arcsin x 1 ,

2
1,
x 1, 1 x 1,
x 1.
思考：均匀分布的分布函数是什么？
小结
随机变量的分布函数； 三种常用的连续型随机变量： 正态分布，均匀分布和指数分布； 离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系， 连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系 等。
0.4 0.3 0.2 0.1
X 的分布函数为
0 F (x) 00..74
0.9 1
x 1 1 x 2 2 x3 3 x4 4 x
故离散型随机变量的分布函数F(x)，在 X=xk (k=1, 2, …) 处有跳跃值 pk=P{X=xk}，如下图 所示：
{X R {a}} 并非必然事件。
可见： 由P(A)=0, 不能推出 A=Ø； 由 P(B)=1, 不能推出 B=Ω。
分布函数与概率密度函数之间的关系
x
F (x) f (t)dt
f (x) F (x)
2.3.3 常见的连续型随机变量
正态分布、均匀分布、指数分布
1. 正态分布
的陡峭程度。
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
当 x→ ∞时，f(x) → 0。
这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴 近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。 求导的方法可以证明：
x=μσ 为f (x)的两个拐点的横坐标。
III. 正态分布 N (, 2 ) 的分布函数
解： P{X 3000}
f (x) dx 3000
0.0002 e0.0002xdx 3000
e0.6
0.5488 .
2.3.4 连续型随机变量的分布函数
回忆：若X 是连续型随机变量，f (x)是X 的密
度函数，F(x)是分布函数，则对任意x∈R，总
有
F ( x)
F(x) 1
e dt, x

(t )2 2 2
x.
2
IV. 标准正态分布 称N(0, 1)为标准正态分布，其密度函数
和分布函数常用 (x) 和 (x) 来表示。(附录)
(x) 1 ex2 / 2 ， x ， 2
(x) x 1 et2 / 2d t .
,
(1)
则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
概率密度函数的性质
(1). f (x) 0；
(2).


f
(
x)
dx

1；
这两条性质是判定函数 f(x) 是否为概率密度函数的充 要条件。
f(x)与 x 轴所围 面积等于1。
(3). 对 f(x)的进一步理解：

x

f
(t)
dt
.
即分布函数是密度函数的变上限积分。
由上式，得：在 f (x)的连续点，有 dF(x) f (x) . dx
求连续型随机变量的分布函数
例4： 设随机变量 X 的密度函数
f
(
x)

2

1 x2 ,
1 x 1,
0, 其他.
求 F(x) .
解：
F ( x)
记作 X ~ N (, 2)
(Normal)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线。
II. 正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
关达于到X最=大μ对值称f的(钟) 形曲1线,并. 在 x=μ处 2
特点“两头低，中间高，左右对称”。
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
μ决定了图形的中心位置, σ决定了图形峰
§2.3.2 连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量所有可能取值充满若干个区间。 可用“概率分布函数” 和“概率密度函数”表 示随机变量的概率分布。
概率密度函数
定义1：若存在非负可积函数 f(x), 使随机 变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成
P( a

X

b)

b
a
f
(x)dx
d
x

d b
c a
.
3. 指数分布
定义：若随机变量 X 具有概率
密度
ex , x 0 ,
f (x)
( 0)
0, x0.
则称 X 服从参数为λ的指数分布，记成 X ~
E(λ)。
指数分布常用于可靠性统计研究中，如 元件的寿命服从指数分布。
例2：设某电子管的使用寿命X(单位：小时) 服从参数λ=0.0002的指数分布，求电子管使 用寿命超过3000小时的概率。
f (x ) △x 在连续型随机变量中所起的作用与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作用 类似。
(4). 约定：连续型随机变量取任意指定值的概
率为 0. 即： P(X a) 0,
因为：
P(X a) lim P(a x X a) x0
由此得，
ax
lim f (x)dx 0. x0 a
附录（P289）附有标准正 态分布函数数值表，可以 解决一般正态分布的概率 计算问题。
x
x
(x) 1 x et2 / 2d t.
2
表中给出的是 x >0时，Φ(x)的取值;
当 x 0 时，(x) 1 (x) .
若 X～N(0, 1),
P{a X b} P{a X b} (b) (a)；
证明：仅证 (1)。 因 {a<X≤b} = {X≤b} -{X≤a}，
P{a<X≤b} = P{X≤b} - P{X≤a} = F(b) - F(a) .
又，因 P{a<X≤b}≥0， 故 F(a)≤F(b) .
注意：一个重要公式: P{a<X≤b}=F(b)-F(a).
即随机变量落在区间(a,b]上的概率可以通 过分布函数来计算。
解: 设车门高度为h，按设计要求
P(X≥ h)≤0.01，或 P(X< h)≥ 0.99，
求满足上式的最小的 h。
求满足 P(X< h)≥ 0.99 的最小h。
因为X～N(170,7.692), X 170 ~ N (0，1)，
故
7.69
P{ X
h}
P
X 170 7.69

h 170 7.69