精选布里渊区.ppt

§2.3布里渊区（Brillouin zone）
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价 二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouin zone）
1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
2、布里渊区（Brillouin zone） 3、布里渊区的性质（properties of Brillouin zone）
aa
2 j 2 k
aa
2 k 2 i
aa
这十二个倒格矢的中垂面围成的 区域就是第一布里渊区，
可能包含一个公因数m ，在用 hkl 作为晶面的密勒指数时，公因数
已经消除。因此，我们可以用
mG 来替代 G
即可以得到布拉格的结果： 2d sin m
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二、布里渊散射条件和布里渊区（Brillouin zone） 1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
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（3）简单立方格子的布里渊区
简单立方格子的倒格子仍然是简立方，离原点最近的 有六个倒格点，第一布里渊区就是原点和这六个近邻的 格点连线的垂直平分面围成的立方体。
对于三维简立方结构晶格点阵来说，其正格子基矢为
a1 ai
原胞体积为
a2 aj
a3
a3 ak
对应的倒格子基矢为
b1
2
(a2
a3 )
2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。
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（4）体心立方结构晶体点阵的布里渊区 对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：
a1
a 2
(i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a a3 2 (i j k )
原胞体积为 a1 (a2 a3 ) a3 / 2
由倒格子的性质我们已知，以密勒指数（hkl）为系数构成倒格矢
G hb1 kb2 lb3
垂直于密勒指数（hkl）的晶面族，而且这个晶面族的面间距为
d 2
G
因此 2k G G2 可以写为 2(2 / )sin 2 / d
或者 2d sin
其中θ是入射光与晶面之间的夹角。
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其实，定义倒格矢的整数 hkl 未必就代表实际的晶面，因为hkl
a
倒格矢表示为
Gh
h1b1
h2b2
2
a
(h1i
h2
j)
h1, h2为整数。离原点最近的四个倒格点的倒格矢分别为
b1(h1 1, h2 0), b2(h1 0, h2 1)
通过这四个矢量的中点
1
2 b1 a i ,
1 2
b2
a
j
分别作四个垂直平分面，就形成了第一布里渊区的边界。 再作离原点次近邻的倒格点的倒格矢分别为
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
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可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
下面举例说明一维、二维、三维晶格点阵的布里渊区。
（1）一维晶格的布里渊区
一维晶格点阵的基矢为 a ai
对应的倒格子基矢为 b 2 i
a
离原点最近的倒格矢为 b
这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为
a
和 b
如图2.5所示。
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(2)二维正方格子的布里渊区
设方格子的原胞基矢为 a1 ai a2 aj
由 k G
有 k '2 (G k )2 0 G2 2k G （2.3.1）
因为 G 是一个倒格矢， G 也应是一个倒格矢，
用 G 替代 G ， 有 2k G G2
（2.3.2）
（2.3.2）式就是散射条件，它是布拉格定律的另一种表示 形式。
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下面我们来说明它与布拉格定律是等价的：
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
i
a
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
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照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
如图2.4所示是倒空间的二维格子。
k G
1G 2
图2.4 倒空间的二维格子
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O 点是倒空间的原点，考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格 矢。作垂直平分线（三维情形将是垂直平分面），如果入射波 矢满足（2.3.2）式，将（2.3.2）式两边同除以4，散射条件 则可写成
k (1 G) (1 G)2
2
2
（2.3.3）
这就是布里渊的散射条件。
容易看出，任何连接原点和垂直平分面的波矢都满 足散射条件。
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2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
则三个倒格子基矢为：
b1
2
(a2
a3 )
2
a
(
j
k
)
b2
2
(a3
a1)
2
a
(k
i
)
倒格子原胞体积为
2
2
b3 (a1 a2 ) a (i j )
* b1 (b2 b3) 2(2 / a)3
。
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可见，体心立方结构的倒格子是面心立方结构.
离原点最近的倒格点有12个，它们是：
2 i 2 j
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一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价
我们再来看劳厄衍射条件 k R 2 m
或者 G R 2 m
提供相长干涉的散射波矢实际上就是一个倒格矢。
在实际应用中，用另外一种散射条件表示劳厄衍射条件会更
方便一些。在弹性散射中，光子的能量是守恒的， k 和 k’ 的大
小相等，且有，
k 2 k '2
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面体作为倒格子的周期性结构单元。
倒格子的W-S 原胞被称为第一布里渊区，它的价值和意义在
于它为方程（2.3.2）的衍射条件
2k G G2
提供了一个生动而清晰的几何诠释，它包括了所有能在晶体上 发生布拉格反射的波的波矢 。
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k
G 1G 2
第一布里渊区
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根据上面的分析，对布里渊区的每个界面，当入射波矢的端点 落在这些面上时，也必然产生反射。