高一数学教案：向量的加法与减法(2)

课题：向量的加法与减法（2）

教学目的：

⑴了解相反向量的概念；

⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.

教学难点：对向量减法定义的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；

④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

3.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0的方向是任意的

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

4.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

8．向量加法的交换律：a+b=b+a

9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

二、讲解新课：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法：

1︒“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a

2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0

3︒向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差

即：a-b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法

2．用加法的逆运算定义向量的减法：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a

减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，

作OA= a, OB= b, 则BA= a-b

即a-b可以表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量

注意：1︒AB表示a-b强调：差向量“箭头”指向

被减数

2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a + (-b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a∥b∥c a- b = a+ (-b)

a-b

三、讲解范例：

例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d

解：在平面上取一点O，作OA= a, OB= b, OC= c, OD= d,

作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d

例2平行四边形ABCD中，a

AB=，b

AD=，用a，b表示向量AC、DB

解：由平行四边形法则得：

AC= a + b,DB= AD

AB-= a-b

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）

变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a, b互相垂直）

变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）

四、课堂练习：

1.下列等式:①a+0=a②b+a=a+b ③-(-a)=a ④a+(-a)=0 ⑤a+(-b)=a-b正确的个数是( )

a-b

A

A

B

B

B’

O

a-b

a

a

b

b

O A O B

a-b

a-b

B

A

O-b

A.2

B.3

C.4

D.5

2.下列等式中一定能成立的是( )

A. AB+AC=BC

B. AB-AC=BC

C.AB+AC=CB

D. AB-AC=CB

3.化简OP-QP+PS+SP的结果等于( )

A. QP

B. OQ

C. SP

D. SQ

4.已知OA=a, OB=b,若|OA|=12,|OB|=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .

5.在正六边形ABCDEF中, AE=m, AD=n,则BA= .

6.已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件.

参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 13 5.m-n 6.a与b反向

五、小结向量减法的定义、作图法

六、课后作业：

1.在△ABC中, BC=a, CA=b,则AB等于( )

A.a+b

B.-a+(-b)

C.a-b

D.b-a

2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设OA=a, OB=b, OC=c, OD =d,则

A.a+b+c+d=0

B.a-b+c-d=0

C.a+b-c-d=0

D.a-b-c+d=0

3.在下列各题中,正确的命题个数为( )

(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向相同

(2)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a-b与a+b方向相同

(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a方向相反

(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向相反

A.1

B.2

C.3

D.4

4.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:

a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .

5.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向

行驶,而船实际行驶速度的大小为 4 km/h,则河水的流速的大小为 .

6.若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为 .

7.在五边形ABCDE中,设AB=a, AE=b, BC=c, ED=d,用a、b、c、d表示CD.

8.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向

量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示）,使a+b=AB,c-d=

DC,并画出b-c和a+d.