高一数学教案：弧度制

弧度制

教学目标： 1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式||l r

α=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。 4．扇形面积公式及其应用，求扇形面积的最值。

教学重、难点：1.弧度与角度之间的换算。

2.弧长公式、扇形面积公式的应用。

教学过程：

一．复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？

二．新课讲解：

1．弧度角的定义：

规定：

练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2

r 的弧所对的圆心角分别为多少？

说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？

2．弧度的推广及角的弧度数的计算：

规定：

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度

量。

3．角度与弧度的换算

3602π=rad 180π=rad

1801π

=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180

(π5718'≈

例题分析：

例1 把'3067︒化成弧度．

例2 把35

πrad 化成度。

例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。

（1）193π； （2）315-； （3）1485-．

5．一些特殊角的度数与弧度数的对应表：

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° （练习）写出阴影部分的角的集合：

4．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？

圆的半径为r ，圆心角为n 所对弧长为：

扇形面积为 ：

5．弧长公式：

在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？

6．扇形面积公式：扇形面积公式为：

说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；

②以上公式中的α必须为弧度单位．

例5 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。

（2）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积

是多少？

O A B

例6 如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。

五、课堂练习：

1．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

的关系是（ ） （A ）A B = （B ）A B ⊆ （C ）A B ⊇ （D ）以上都不对。

2．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B ＝（ ） （A ）φ

（B ）{}|44αα-≤≤ （C ）{}|0ααπ≤≤

（D ）{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤ 3．圆的半径变为原来的12

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。

4．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．

5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦AB

AB 所对的圆心角α的弧度数为 ．

六、小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

2．由||l r α=将12

S lr =转化成21||2S r α=，利用这个S 与r 的二次函数关系求出扇形面积的最值。

七、作业： 课课练第2课时

补充：1．一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为r ，求扇形的面积。

2．2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇形面积（要求作图）。

3．已知扇形的周长为30，当它的半径r和圆心角 各取多少值时，扇形面积S最大，

最大值为多少？