组合数学第二章第八节

例9 若有1、2、4、8、16克的砝码各一枚，问能称 出那几种质量？有几种可能方案？
G( x) (1 x)(1 x 2 )(1 x 4 )(1 x 8 )(1 x16 )
1 x 2 1 x 4 1 x 8 1 x16 1 x 32 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x 8 1 x16 1 x 32 1 x x 2 x 31 . 1 x 这说明用这些砝码可以称出从1克到31克的质量，而 且方案都是唯一的。
例3 求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方 案数。 注意邮票允许重复，因此母函数为：
(1 x x 2 )(1 x 2 x4 )(1 x 3 x 6 )
以x4为例，其系数为4，即4拆分成1，2，3之和的允 许重复的拆分数为4：
4 = 1+1+1+1 = 1+1+2 = 1+3 = 2+2。
定理3 N被剖分成一些重复次数不超过k次的整数的 和，其剖分数等于被剖分成不被k+1除尽的数的和 的剖分数。 定理4 对任意整数N，它被无序剖分成2的幂次的和 的剖分方式一定唯一。
Gt ( x) (1 x)(1 x )(1 x )(1 x )
2 4 2n
1 x2 1 x4 1 x8 2 4 1 x 1 x 1 x 1 2 3 1 x x x 1 x
G ( x ) (1 x a1 x 2 a1 ....)(1 x a2 x 2 a2 ...) ... (1 x x
an 2 an
....)

1 (1 - x )(1 x ) ... (1 x )
a1 a2 an
.
特殊的，当ai=i时，对应的母函数为：
这个等式的组合意义很明显：整数n拆分成1到m的 和的拆分数减去拆分成1到m-1的和的拆分数，即为 至少出现一个m的拆分数。
定理1 整数剖分成不同整数的和的剖分数(不允许重 复)等于剖分成奇数的剖分数(允许重复)。 设bN表示N剖分成不同正整数和的剖分数，则其对 应的母函数为：
G( x) (1 x)(1 x 2 )(1 x n )
G( x) (1 x x 2 )(1 x 2 x4 )(1 x 3 x6 )
1 x 1 x 1 x 1 x 2 3 4 1 x 1 x 1 x 1 x
3 6 9 12
1 1 1 1 1 . 2 4 5 k 1 x 1 x 1 x 1 x 3不整除k 1 x
1 x 1 x 1 x 1 x 2 3 4 1 x 1 x 1 x 1 x 1 . 3 2 n 1 (1 x)(1 x )1 x
2 4 6 8
定理2 N剖分成其他数之和但重复数不超过2，其剖 分数等于它剖分成不被3整除的数的和的剖分数。 设bN表示N剖分成重复数不超过2的正整数之和的剖 分数，则其对应的母函数为：
2.8 整数的拆分
1. 拆分的定义 所谓整数的拆分，是指把一个正整数拆分成若干 正整数的和。不同的拆分法的数目称为拆分数
例如：考虑正整数4的拆分数： 4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1
通常用p(n)表示整数n拆分成若干正整数的和的 拆分数，也可说成方案数.例如p(4)=5。 拆分可以分为无序拆分和有序拆分；不允许重 复的拆分和允许重复的拆分
(1+x+x2+x3+x4…)(1+x2+x4…)(1+x3…)(1+x4…) 4=1+1+1+1,4=2+1+1，4=2+2，4=3+1,4=4
例2 若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能 称出那几种重量？有几种可能方案？
(1 x )(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 )
1 G( x) . 2 n (1 x )(1 x )...(1 x )
例6 把整数N无序拆分成奇整数的和，允许重复，求 不同的拆分数。 这相当于在上例中把ai取成奇数，因此拆分数对应 的母函数为： 1 G0 ( x ) . 3 2 n 1 (1 x )(1 x ) (1 x ) 例7 把整数N无序拆分成2的幂次的和，求不同的拆 分数。 这相当于把N拆分成1,2,4,8,…的和，但不允许重复。 因此拆分数对应的母函数为：
实际上这说明整数的二进制表示是唯一的。
1 x x2 2 x3 2 x4 2 x5 2 x6 2 x 7 x 8 x 9 x10 . 从右端的母函数知可称出从1克到10克，系数便是 方案数。
例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2种： 5=2+3=1+4。
类似的，称出6克的方案也有2种：6=2+4=1+2+3。
的不同解的个数。 令bN表示不同的拆分数，则其对应的母函数为： G ( x ) (1 x a1 )(1 x a2 )...(1 x an ). 特殊的，当ai=i时，对应的母函数为： G ( x ) (1 x )(1 x 2 )...(1 x n ).
例5 把整数N无序拆分成整数a1,a2,…,an的和，允许 重复，求不同的拆分数。 这个问题对应于求不定方程
m
( x m x 2 m ) xm . 2 m (1 x )(1 x )(1 x )
显然有
1 Gm ( x ) (1 x )(1 x 2 ) (1 x m ) 1 (1 x )(1 x 2 ) (1 x m 1 )
Gm ( x) Gm1 ( x).
a1 x1 a2 x2 ... an xn N , xi 0, 1, i 1, 2,...n, 的不同解的个数。
令bN表示不同的拆分数，则其对应的母函数为：
G ( x ) (1 x a1 x 2 a1 ....)(1 x a2 x 2 a2 ...) ... (1 x an x 2 an ....)
例4 若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚， 问能称出那几种质量？各有几种方案？ 母函数为：
G( x ) (1 x x 2 x 3 )(1 x 2 x 4 x 6 x 8 )(1 x 4 x 8 )
1 x 2 x2 2 x3 3 x4 3 x5 4 x6 4 x7 5 x 8 5 x 9 5 x 10 5 x 11 4 x 12 4 x 13 3x 3x 2x 2x x x .
Gt ( x) (1 x)(1 x )(1 x )(1 x )
2 4 2n
例8 把整数N无序拆分1,2,…,m的和，允许重复，求 不同的拆分数。若要求m至少出现一次呢？ 若无要求，由例13可知其母函数为： 1 Gm ( x ) . 2 m (1 x )(1 x ) (1 x ) 若要求m至少出现一次，则拆分数对应的母函数为 ： G ( x ) (1 x x 2 )(1 x 2 x 4 )
2. 拆分的模型
正整数n的拆分，相当于把n个无区别的球放进n 个无区别的盒子，盒子中允许放一个以上的球， 也允许空着
以正整数4为例，球的放法如下： 4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1
○○ ○○
○ ○ ○○
***
3、用母函数讨论拆分数
例1 求4的拆分数。
解：分析下面的多项式x4项的系数与4的拆分 数的关系.
14 15 16 17 18 19
即可称出1至19克的质量，不同的方案数即为对应项 前面的系数。
例12 把整数N无序拆分成整数a1,a2,…,an的和，且不 允许重复，求不同的拆分数。 这个问题对应于求不定方程 a1 x1 a2 x2 来自百度文库.. an xn N ,
xi 0, 1, i 1, 2,...n,