2020年浙江省高考数学试卷附答案
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【解析】解: (1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
则 a4=
=80.
a1+a2+a3=
=130.
故答案为:80;130. 直接利用二项式定理的通项公式,求解即可. 本题考查二项式定理的应用,只有二项式定理系数以及项的系数的区别,是基本知识的 考查.
13.【答案】
【解析】解:tanθ=2,
=.
故选:A. 画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的体积即可. 本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.
6.【答案】B
【解析】【分析】 本题借助空间的位置关系,考查了充分条件和必要条件,属于基础题. 由 m,n,l 在同一平面,则 m,n,l 相交或 m,n,l 有两个平行,另一直线与之相交, 或三条直线两两平行,根据充分条件,必要条件的定义即可判断.
除 C. S={2,4,8},则 T={8,16,32},S∪T={2,4,8,16,32},5 个元素,排除 D; S={2,4,8,16}则 T={8,16,32,64,128},S∪T={2,4,8,16,32,64,128},7
个元素,排除 B; 故选:A. 利用特殊集合排除选项,推出结果即可. 本题考查命题的真假的判断与应用,集合的基本运算,利用特殊集合排除选项是选择题 常用方法,难度比较大.
21. 如图,已知椭圆 C1: +y2=1,抛物线 C2:y2=2px(p>0),点 A 是椭圆 C1 与抛物 线 C2 的交点.过点 A 的直线 l 交椭圆 C1 于点 B,交抛物线 C2 于点 M(B,M 不同 于 A). (1)若 p= ,求抛物线 C2 的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点,求 p 的最大值.
16. 盒中有 4 个球,其中 1 个红球,1 个绿球,2 个黄球,从盒中随机取球,每次取 1 个不放回,直到取出红球为止,设此过程中取到黄球的个数为 ξ,则 P(ξ=0) =______,E(ξ)=______.
17. 已知平面向量 , 满足|2 - |≤ ,设 = + , =3 + ,向量 , 的夹角为 θ,则
,
,
,下列等式不可能成立的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知点 O(0,0),A(-2,0),B(2,0),设点 P 满足|PA|-|PB|=2,且 P 为函
数
图象上的点,则|OP|=( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知 a,b∈R 且 a,b≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0 在 x≥0 上恒成立,则( )
2020 年浙江省高考数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题(本大题共 10 小题,共 40.0 分)
1. 已知集合 P={x|1<x<4},Q={x|2<x<3},则 P∩Q=( )
A. {x|1<x≤2}
B. {x|2<x<3}
C. {x|3≤x<4}
D. {x|1<x<4}
2. 已知 a∈R,若 a-1+(a-2)i(i 为虚数单位)是实数,则 a=( )
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1.【答案】B
答案和解析
【解析】解:集合 P={x|1<x<4},Q={x|2<x<3}, 则 P∩Q={x|2<x<3}. 故选:B. 直接利用交集的运算法则求解即可. 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.【答案】C
【解析】解:a∈R,若 a-1+(a-2)i(i 为虚数单位)是实数, 可得 a-2=0,解得 a=2. 故选:C. 利用复数的虚部为 0,求解即可. 本题考查复数的基本概念,是基础题.
4.【答案】A
【解析】解:y=f(x)=xcosx+sinx, 则 f(-x)=-xcosx-sinx=-f(x), ∴f(x)为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除 B,D,
当 x=π 时,y=f(π)=πcosπ+sinπ=-π<0,故排除 B, 故选:A. 先判断函数的奇偶性,再判断函数值的特点.
本题考查了函数图象的识别,掌握函数的奇偶性额函数值得特
点是关键,属于基础题.
5.【答案】A
【解析】解:由题意可知几何体的直观图如图,下部是直三棱柱 ,底面是斜边长为 2 的等腰直角三角形,棱锥的高为 2,上部是
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一个三棱锥,一个侧面与底面等腰直角三角形垂直,棱锥的高为 1,
所以几何体的体积为:
的右支上的点,
P 为函数
图象上的点,即
在第一象限的点,
联立两个方程,解得 P( , ),
所以|OP|=
=.
故选:D. 求出 P 满足的轨迹方程,求出 P 的坐标,即可求解|OP|. 本题考查圆锥曲线的综合应用,曲线的交点坐标以及距离公式的应用,是中档题.
9.【答案】C
【解析】解:由题意知, 时,不等式
20. 已知数列{an},{bn},{cn}满足 a1=b1=c1=1,cn+1=an+1-an,cn+1= •cn(n∈N*). (1)若{bn}为等比数列,公比 q>0,且 b1+b2=6b3,求 q 的值及数列{an}的通项公 式; (2)若{bn}为等差数列,公差 d>0,证明:c1+c2+c3+…+cn<1+ ,n∈N*.
设圆锥的母线长为 a,则 a2π=2π,∴a=2, ∴侧面展开扇形的弧长为 2π, 设圆锥的底面半径 OC=r,则 2πr=2π,解得 r=1. 故答案为:1. 利用圆锥的侧面积,求出母线长,求解底面圆的周长,然后求解底面半径.
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本题考查圆锥的母线长的求法,注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点.
A.
B. C. 3 D. 6
6. 已知空间中不过同一点的三条直线 m,n,l,则“m,n,l 在同一平面”是“m,n
,l 两两相交”的( )
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
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7. 已知等差数列 的前 项和 ,公差 , .记
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
3. 若实数 x,y 满足约束条件
,则 z=x+2y 的取值范围是( )
A. (-∞,4]
B. [4,+∞)
C. [5,+∞)
4. 函数 y=xcosx+sinx 在区间[-π,π]的图象大致为( )
D. (-∞,+∞)
A.
B.
C.
D.
5. 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体 的体积(单位:cm3)是( )
恒成立,即
,
∵
,∴可得
,则 至少有一个是小于 0 的,
(1)若
,
在 时恒成立,符合题意;
(2)若
,则
,当
时,
,不符合
题意;
(3)若
,则
,当
时,
在时
恒成立,符合题意.
综合, 成立.
故选:C.
本题考查不等式恒成立问题,注意三次函数的图象,考查分类讨论思想和转化思想,属
于中档题.
10.【答案】A
【解析】解:取:S={1,2,4},则 T={2,4,8},S∪T={1,2,4,8},4 个元素,排
,分析 B
,D 成立时是否满足公差 d≠0, 判断 B 与 D.
本题考查数列递推式,等差数列的通项公式与前 项和,考查转化思想和计算能力,是
中档题.
8.【答案】D
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【解析】解:点 O (0,0),A(-2,0),B (2,0).设点 P 满足|PA|-|PB|=2,
可知 P 的轨迹是双曲线
, ,
,
∴
,
,
A.
,
B.
,
若
,则
C.若
,则
.
, ,即
. ,故 A 正确;
, 不合题意,故 B 错误;
,
即
,得
,
∵ ,∴
,符ห้องสมุดไป่ตู้ ,故 C 正确;
D.若
,则
,
即
,则 有两不等负根,满足 ,故 D 正确.
∴等式不可能成立的是 B. 故选:B. 由已知利用等差数列的通项公式判断 A 与 C;由数列递推式分别求得
3.【答案】B
【解析】解:画出实数 x,y 满足约束条件 所示的平面区域,如图:
将目标函数变形为- x+ =y,
则 z 表示直线在 y 轴上截距,截距越大,z 越 大, 当目标函数过点 A(2,1)时,截距最小为 z=2+2=4,随着目标函数向上移动截距越来越大 , 故目标函数 z=2x+y 的取值范围是[4,+∞). 故选:B. 作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象判断目标函数 z=x+2y 的取值范围. 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.
11.【答案】10
【解析】【分析】 本题考查数列求和,数列通项公式的应用,是基本知识的考查. 求出数列的前 3 项,然后求解即可. 【解答】
解:数列{an}满足 an=
,
可得 a1=1,a2=3,a3=6, 所以 S3=1+3+6=10. 故答案为:10.
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12.【答案】80 130
15.【答案】 -
【解析】解:由条件得 C1(0,0),r1=1,C2(4,0),r2=1, 因为直线 l 与 C1,C2 都相切,
故有 d1=
=1,d2=
=1,
则有 = ,故可得 b2=(4k+b)2,整理得 k(2k+b)=0, 因为 k>0,所以 2k+b=0,即 b=-2k, 代入 d1= =1,解得 k= ,则 b=- ,
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22. 已知 1<a≤2,函数 f(x)=ex-x-a.其中 e=2.718281828459…为自然对数的底数.
(1)证明:函数 y=f(x)在( 0,+∞)上有唯一零点;
(2)记 x0 为函数 y=f(x)在( 0,+∞)上的零点,证明:
(ⅰ)
≤x0≤
;
(ⅱ)x0f( )≥(e-1)(a-1)a.
则 cos2θ=
=
= =- .
tan(θ- )=
=
=.
故答案为:- ; .
利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问,利用两角和与差的三角函数 转化求解第二问. 本题考查二倍角公式的应用,两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应 用,是基本知识的考查.
14.【答案】1
【解析】解:∵圆锥侧面展开图是半圆,面积为 2π,
二、填空题(本大题共 7 小题,共 36.0 分)
11. 我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题,如数列{
}就
是二阶等差数列,数列{
},(n∈N*)的前 3 项和______.
12. 二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a4=______;a1+a2+a3=______ .
【解答】 解:空间中不过同一点的三条直线 m,n,l,若 m,n,l 在同一平面,则 m,n,l 相交 或 m,n,l 有两个平行,另一直线与之相交,或三条直线两两平行. 故 m,n,l 在同一平面”是“m,n,l 两两相交”的必要不充分条件, 故选:B.
7.【答案】B
【解析】解:在等差数列
中, ,
cos2θ 的最小值为______.
三、解答题(本大题共 5 小题,共 74.0 分)
18. 在锐角
中,角 的对边分别为 .已知
.
(1)求角 ;
(2)求
的取值范围.
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19. 如图,三棱台 ABC-DEF 中,面 ADFC⊥面 ABC, ∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC. (1)证明:EF⊥DB; (2)求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值.
A. a<0
B. a>0
C. b<0
D. b>0
10. 设集合 S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T 中至少有两个元素,且 S,T 满足:
①对于任意 x,y∈S,若 x≠y,都有 xy∈T;
②对于任意 x,y∈T,若 x<y,则 ∈S;下列命题正确的是( )
A. 若 S 有 4 个元素,则 S∪T 有 7 个元素 B. 若 S 有 4 个元素,则 S∪T 有 6 个元素 C. 若 S 有 3 个元素,则 S∪T 有 5 个元素 D. 若 S 有 3 个元素,则 S∪T 有 4 个元素
13. 已知 tanθ=2,则 cos2θ=______;tan(θ- )=______.
14. 已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为 2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆 锥的底面半径(单位:cm)是______.
15. 已知直线 y=kx+b(k>0)与圆 x2+y2=1 和圆(x-4)2+y2=1 均相切,则 k=______, b=______.
故答案为: ;- .
根据直线 l 与两圆都相切,分别列出方程 d1=
=1,d2=
=1,解得即可.
本题考查直线与圆相切的性质,考查方程思想,属于中档题.
16.【答案】 1