二重积分的概念与性质(精)

因此
2 [ln( x y )] d . ln( x y ) d
D
D
四、小结
二重积分的定义
（积分和式的极限）
（曲顶柱体的体积）
二重积分的几何意义 二重积分的性质
作业：93页 4，5
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及
积分区域有关．
不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函
数为定义在区间上的一元函数;
二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数．
(2) 二重积分值仅与 f ( x , y ) 及 D 有关， 与积分变量符 号无关，即
f ( x , y )d f ( u, v )d
D D
(3) 当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式的极 限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负 值．
1 M ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 4 1 1 m f ( x , y ) 的最小值 5 32 42 ( x 1, y 2) 故1 I 1 0.4 I 0.5. 5 4
例3
比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
e
ab e
D
( x2 y2 )
( x2 y2 )
例2
估计 I
D
d 的值， 2 2 x y 2 xy 16
0 y 2.
其中 D： 0 x 1,
解
f ( x, y)
1 , 2 ( x y ) 16
区域面积 2 ,
0 i 1
n
max{ 1 , 1 ,, n }
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点
( x , y ) 处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连
续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似
D
i 1
面积元素
lim f ( i , i ) i f ( x , y ) d 0
D i 1
积 分 区 域 被 积 函 数 积 分 变 量 积 分 和 ------ 被积表达式
n
f ( x , y ) d
对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中， 对闭区域的划分是任意的.
y
( i ,i )

看作均匀薄片，
所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
n
i
o
x
M lim ( i , i ) i .
0 i 1
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1， 2 , …， n , 其中 i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每 个 i 上任取一点 ( i , i ) ，作乘积 f ( i , i ) i ， ( i 1,2, , n) ，并作和
分割、取近似、
求和、取极限。
z
z f ( x, y)
o x
D

y ( i ,i )
i
步骤如下：
1. 分割
D 任意分成 n 个小闭区域 1，
z
z f ( x, y)
2 , …， n , 其中 i 表示
第 i 个小闭区域，也表示它的面 积。对应的小曲顶柱体体积为 Vi .
D D
性质３
对区域具有可加性
( D D1 D2 )
D2
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d .
D D1
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
D D
性质５ 若在D上
D
f ( x , y ) g( x , y ),
z
z f ( x, y)
z o
x
D
( i ,i )

y
i
o x
D

y ( i ,i )
i
z f ( x, y)
在直角坐标系下用平行于坐
标轴的直线网来划分区域D， 则面积元素为
y
D dx
o
dy
d dxdy
故二重积分可写为
x
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
d 的值，其中
(0 b a ) .
2 y x D 是椭圆闭区域： 2 2 1. a b
解
区域 D 的面积 ab ,
在 D上
因此，
0 x2 y2 a2,
x2 y2 a2
1 e e
D
0
e ,
d e , d abe .
a2
a2
由性质6知 即
x o
D

y ( i ,i )
i
2. 取近似 3. 求和 4. 取极限
V f ( i , i ) i .
i 1 n
在每个 i 上任取一点 ( i , i ) ， Vi f ( i , i ) i .
V lim f ( i , i ) i .
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为 (1, 0), (1, 1), (2, 0).
解
y
1
三角形斜边方程
在 D 内有
x y2
1 x y 2 e,
故
0 ln( x y ) 1.
o
D
1
2
x
于是， ln( x y ) ln( x y )2 ,
D D
Hale Waihona Puke 三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 当 k 为常数时，
kf ( x , y )d k f ( x , y )d .
D D
性质２
[ f ( x , y ) g( x , y )]d
D
f ( x , y )d g( x , y )d .
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结
一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积
柱体体积 = 底面积 × 高 特点：平顶.
z f ( x, y)
柱体体积 = ？ 特点：曲顶.
D
曲顶柱体
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极
限”的方法，如下动画演示．
播放
求曲顶柱体体积的方法：
D
则有 f ( x , y )d g( x , y )d . 特殊地
f ( x , y )d f ( x , y ) d .
D D
性质６ 设 M 、 m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的最大
值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x , y )d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上连续， 为 D 的面
积，则在 D 上至少存在一点 ( , ) 使得
f ( x , y )d f ( , )
D
（二重积分中值定理）
例 1 不作计算，估计 I e
D
2
( x2 y2 )
i 1
f ( i , i ) i ，
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时， 这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭 区域 D 上的二重积分，记为 f ( x , y )d ，即
D n
lim f ( i , i ) i . f ( x , y )d 0