中考数学《三角形中位线》拓展课本例题

精心设计 重在思维 勤于训练

——从一道题目的拓展训练说起

三角形中位线是初中数学中的重点也是难点之一笔者通过精心的教学设计，为学生编织有效的知识网，达到了事半功倍的教学效果.现呈现如下，旨在与大家交流提高.

一、例题及跟进训练

例题如图1，在ABC 中，M 是BC 的中点，AB CD =，F 是AD 的中点，MF 的延长线交BA 的延长线于E 点，求证:AE AF =.

略解 如图2，连BD ，取BD 中点P ，连PF 、PM ，则有

//PF AB ，12

PF AB =

; //PM CD ，12

PM CD =. PFM E ∴∠=∠，PMF MFC ∠=∠. AB CD =，PF PM ∴=.

PFM PMF ∴∠=∠,

E MFC AFE ∴∠=∠=∠,

AE AF ∴=.

反思 在本问题的解答过程中，由中点产生联想，构造中位线，将看似本无关联的两条线段联系在一起，是解决问题的关键.为帮助学生熟识此“模式”，笔者安排了以下跟进训练. 训练1 如图3，在四边形ABCD 中，AB DC =，E 、F 分别为AD 和BC 的中点，FE 的延长线分别交CD 的延长线和BA 的延长线于点N 、M .求证:BMF CNF ∠=∠.

略解 连AC (或BD )并取其中点P ，再连PE 、PF ，如图4.利用例题方法很容易得

结论.

反思 从学生的反馈来看，学生还处在简单的模仿期，能否创新，并内化为自己的能力还有待检验考核.于是进一步探讨下面的问题:

训练2 如图5，在ABC 中，AC AB >，在它的两边AB ，AC 上分别截取BD CE =，F 、G 分别是BC ，DE 的中点，又AT 是BAC ∠的平分线.求证://FG AT .

略解 方法1:如图6，连DC ，并取其中点P ，再连PG 、PF ，延长FG 、BA 交于点M ，FG 交AC 于点N .则易用类似例题方法证得//FG AT .

方法2:如图7，连结DF ，并延长到H 点，使FH DF =，连CH 、EH ，则有 BDF CHF ≅,

得BD CH =，B BCH ∠=∠,

CE CH ∴=，.CEH CHE ∴∠=∠.

由三角形内角和定理，知

CEH CHE BAC ∠+∠=∠,

于是由TAC HEC ∠=∠ ,

得//FG AT .

方法3:如图8，过D 点作AT 的垂线分别交AT 、AC 于M 、P 点，过B 点作AT 的垂线分别交AT 、AC 于N 、Q 点，连MG 、NF .

由AT 是BAC ∠的平分线，很容易得:M 、N 分别为DP 、BQ 的中点，

BD PQ CE ==,

PE CQ ∴=.

F 、

G 分别是BC 、DE 的中点，

//MG AC ∴，12MG PE =, //NF AC ，12

NF CQ =, //MG NF ∴，且MG NF =.

∴四边形MNFG 为平行四边形，故得结论//FG AT .

反思 方法1构造中点在预设之中，延长FG 与BA 交于M 点在生成之外.显然是学生在模仿利用了前面的经验而构造的中点，在矛盾冲突中才尝试构造出延长线.这是学生一个很大的进步和创新.训练2比训练1又进了一个梯度，这能真实的反映学生的点滴收获. 方法2比方法1更有创意.事实上，利用F 这个中点构造全等三角形是我们常讲的方法，也是学生能熟练运用的方法.解法3是最能体现命题者意图的方法，其中涉及角平分线，作垂线，等腰三角形“三线合一”性质，是我们解决此类问题的有效思路.

二、课内练习

1.已知:如图9，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，连CD .求证: 12

CD AB =.

设置这个问题，因为它是一个简单的与中点有关的重要问题，实际上就是后面将要学习的“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的问题.学生的表现可谓精彩纷呈:

学生1:如图10，延长CD 到E ，使DE CD =，连AE .

学生2:如图11，延长AC 到F ，使CF AC =，连BF .

学生3:如图12，延长BC 到G ，使CG BC =，连AG ，…

2.已知:ACB 和AED 都是等腰直角三角形，90AED ACB ∠=∠=︒，M 、N 分别是BD 、CE 的中点.

①如图13，若D 点在线段AB 上，判断MN 与CE 之间的关系，并说明理由.

学生1:如图14，连EM 并延长到F ，使MF ME =，连FC ，则有EDM FBM ≅，得BF DE AE ==.由EAC FBC ≅，得CF EC =，因MN 是EFC 的中位线而得

MN EC ⊥，且12

MN EC =.

学生2:如图15，连CM 并延长到G ，使MG CG =，连EG ，类似同学1方法得结论. 学生3:如图16，连DN 并延长到H ，使NH DN =，连BH .(实际上在问题解决的过程中，我们发现:H 点在线段AC 上，因此可以优化辅助线作法:连DN 并延长交AC 于H 点，连BH .)

学生4:如图17，延长EA 、BN 交于点P ，连DP ，则可证AEC EDP ≅，得EP AC BC ==;再证ENP CNB ≅得N 为BP 中点，利用中位线得结论.

②如图18，将图13中的AED 绕A 点逆时针旋转一个锐角，①的结论是否仍然成立?请说明理由.

利用前面经验和方法，可以类似解决，不再赘述.

三、课后反思

1.提倡自主学习，是我们的共识

自主学习是提高学习成绩的最佳策略.教师有效的教会学生怎样解题，培养学生基本数学素养和能力是我们的目的.我们教会学生做一千道题，但当一千零一道题出现时，学生可能还是不会，所以教学中要强调教会学生掌握必要的数学思想方法.这是新课标将“三基”扩展到“四基”的初衷，也是我们的共同追求.

2.恰当设置问题，是激活学生思维的最好平台

实践证明，一题多解，变式训练，都是培养学生数学思维的有效的途径或手段.上述在解决中位线这个比较难的问题时，教师组合了一个问题串，传递的信息有很强的指向性:连线段，取中点，作中位线，改变问题呈现形式，循序渐进，逐层推进，高频率，强刺激，收到了很好的效果.

3.解题常用方法须强化和深化

解决线段间的数量关系，是我们常见的问题，学生在解决方法中的表现可谓精彩纷呈:用中心对称的性质旋转变换;轴对称变换;旋转变换等等.多种方法的求解，对提高学生解决问题的能力大有裨益，我们要将常用的解题方法进行强化和深化，以形成一种技能，提高学生

的素质.