§2.3 麦克斯韦速率分布要点

0
exp(ax ) x dx

4
a


0
f (v)dv

0
m v2 2 m 3/ 2 4 ( ) exp v dv 2kT 2kT
并令 = m/2kT ，则


0
m 3 / 2 2kT f (v)dv 4 ( ) 2kT 4 m
图中左边打斜条狭长区域表示速率介于 V 到 v + dv 分子数与总分子数之比，此即 麦克斯韦速率分布。
m v2 2 m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) exp v dv 2kT 2kT
• 计算积分时，可利用附录2-1中的积分公 式 3 / 2 2 2
• 得到的完全相同。 • （3）最概然速率vp • 因为速率分布函数是一连续函数，若要 求极值可利用极值条件 df (v) 2kT 2 RT 0 vp v v p m Mm dv
v p 2kT / m
从上式可见 m 越小或 T 越大，vp 越大。 图画出的两条麦克斯韦速率分布曲线中。 最概然速率vP1＞vp2。 （4）三种速率之比
•（2）氢分子平均速率
v 1.70 103 m s 1
•以上计算表明，除很轻的元素如氢、 氦之外，其它气体的平均速率一般为数 百米的数量级
L v
v L

• 只要调节不同的旋转角速度 ，就可以 从分子束中选择出不同速率的分子来。 • 凹槽有一定宽度，所选择的不是恰好某 一速率大小，而是某一速率范围Δv内的 分子数。 • 接收屏测出单位时间内透过的分子数 ΔN. • 实验装置就测出了分子的速率从零到无 穷大范围内的分布情况。
v p : v : v 2 1 : 1.128: 1.224
它们三者之间相差不超 过23%，而以均方根速率 为最大。右图示意表示 了麦克斯韦速率分布中 的三种速率的相对大小。
• 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体 压强公式证明中曾用到近似条件
v v2
v p : v : v 2 1 : 1.128: 1.224
§2.3 麦克斯韦速率分布
• 气体分子热运动的特点是: • 大数分子无规则运动及它们之间频繁地相 互碰撞; • 分子以各种大小不同的速率向各个方向运 动; • 在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动 量和能量，使每一分子的速度不断变化。
• 处于平衡态的气体，虽然每个分子在某 一瞬时的速度大小、方向都在随机地变 化着，但是大多数分子之间存在一种统 计相关性， • 这种统计相关性表现为平均说来气体分 子的速率（指速度的大小）介于 v 到v + dv 的概率（即速率分布函数）是不 会改变的.
m v2 2 m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) exp v dv 2kT 2kT
四、理想气体分子的平均速率、 均方根速率、最概然速率 • (1) 平均速率
v vf (v)dv
0
0
m 4 2kT
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§2.3.1 分子射线束实验
• 德 国 物 理 学 家 斯 特 恩 （ Sterm ） 最 早 于 1920 年做了分子射线束实验以测定分子 射线束中的分子速率分布曲线。 • 现介绍朗缪尔（Langmuir）的实验，
•显然，分子束中能穿过第一个凹槽的分 子一般穿不过第二个凹槽，除非它的速率 v 满足如下关系
二、麦克斯韦速率分布 • 早在 1859 年，英国物理学家麦克斯韦利 用平衡态理想气体分子在三个方向上作 独立运动的假设导出了麦克斯韦速率公 布，其表达式如下：
m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) e 2kT
•其中k为玻尔兹曼常量。
mv 2 2 kT
v dv
2
.分布曲线如下图所示。
• 与黑点在靶板上的分布相类似. • 以ΔN/NΔv 为纵坐标（其中N 是单位 时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总分 子数），以分子的速率v为横坐标作一 图形，如图所示。
•每一细长条的面积均表示单位时间内 所射出的分子束中，分子速率介于该速 率区间的概率(ΔN/NΔv )v ，其中 Δv = 10 m· s-1。
2 mv 3 v exp 2kT dv
利用附录2-1中公式可得
8kT 8RT v m M m
(2)均方根速率 v rms
v
2 0
3kT v f v dv m
2
vrms
3kT 3RT m Mm
•
结果与从 mv2 / 2 3kT / 2
Δv→0即得一条光滑的曲线
称为分子束速率分布曲线.
其纵坐标
dN F (v ) N dv
• 称为分子束速率分布概率密度函数。 • 在v到v+dv速率区间内的细长条的面积就 表示分子速率介于v 到v+dv区间范围内 dN 的概率 dv
N dv
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束中 分子的速率分布。 • 真空加热炉（分子源）中金属蒸汽（理想 气体）的分子速率分布 f（v）dv 与 F（v） dv不同。 • f （ v ） dv 表示加热炉内气体的分子速率 介于 v 到 v + dv 的分子数 dN 与总分子 数 N 之比。
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说明麦克斯韦速率分布是归一化的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、关于麦克斯韦分布说明几点：
（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。 平衡状态下气体分子密度n及气体温度 有确定数值，故其速率分布也是确定的，
（2）它仅是分子质量及气体温度的函数， 其分布曲线随分子质量或温度的变化趋势 示于图。 (3)因为v2是一增函数，exp(-mv2/2kT) 是一减函数，增函数与减函数相乘得到 的函数将在某一值取极值，
• 概率密度取极大值时的速率称为最概然 速率（也称最可几速率），以vp表示。 • (4)我们只要记住麦克斯韦速率分布的 函数形式为
2 mv 2 Av exp 2 kT
可以通过归一化可求出系数
m 3/ 2 A 4 ( ) 2kT
（5）另外,也可以利用量纲记忆分布公 式， • 由于 e 的指数上的量纲为 1 ，而 mv2 / 2 与 kT 是同量纲的。 • 另外，当 v 时，f（v）应趋于零， • 说明 e 的指数上应是负的，由此可见其 e 指数因子为
dN f (v)dv dv Ndv
• 处于平衡态的分子源中气体分子平均速 度为零， • 平均来说，每一分子均不改变空间位置， • 故f（v）dv是“静态”的速率分布。 • 但分子束中的分子都在作匀速运动， • 说明F（v）dv是一种“动态”的分布，
•它表示了粒子通量（指单位时间内透过 的分子束中的分子数）中的速率分布。 •但 f（v）dv 与 F（v）dv 间存在一定关系， 故可利用实验测得的分子束速率分布图线 求得理想气体速率分布。
vrms 1.085 v
•其偏差仅8.5%。但采用这种近似后， 其数学处理简单得多。
麦克斯韦速率分布的例题 • [例2.1]试求氮分子及氢分子在标准状况 下的平均速率。 • [解]（1）氮分子平均速率
8RT 8 8.31 273 v m s 1 454m s 1 M m 3.14 0.028
mv 2 exp 2 kT
还应记住，除指数因子之外，还有幂函 数因子v2、微分元dv及归一化系数A。 由于整个 e指数的量纲为 1，v2dv为v的三 次方量纲，概率分布的量纲也是 1，可见 其系数A呈1/v 3量纲。 而v2 量纲与 2kT /m 的量纲相同， 所以A中应有(m/ 2kT )3/2 因子。 • 麦克斯分布就可由上述量纲分析方法写 出。