弹性动力学问题一种新的时空域边界积分方程_姚振汉

2009全国结构动力学学术研讨会

安徽省安庆市，2009.10.28-31

中国振动工程学会结构动力学专业委员会

弹性动力学问题一种新的时空域边界积分方程i

姚振汉

清华大学航天航空学院工程力学系, 北京, 100084

Email: demyzh@

摘要：弹性动力学问题传统的时空域边界积分方程采用含时间的基本解基于动力学互等定理来建立。弹性动力学含时间的基本解是在无限弹性空间某点于某瞬时作用单位集中力脉冲的解，其中不仅含有压力波、剪切波，还有波速介于两者之间的Laplace波。本文采用加权余量格式由弹性动力学偏微分方程初边值问题出发导出一种新的时空域边界积分方程。方程中只分别利用于某瞬时会聚于弹性体边界某点的球面会聚压力波和剪切波作为核函数，从而使方程显著简化。由此建立的边界元法将比传统方法具有更高的计算效率。

关键词：弹性动力学，边界积分方程，边界元法，球面会聚压力波，球面会聚剪切波

引言

众所周知，边界元法是比有限元法稍晚几年发展起来的，最早可以看到关于间接法的一系列工作，其中求解的边界未知量并不是原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅助变量。最早的间接法边界积分方程方法的文献可追溯到1958年（Smith 和 Pierce用于位势问题）。直接法边界积分方程方法的文献出现得稍晚一些，1963年 Jaswon将其用于位势问题。1967年Rizzo发表了关于弹性静力学问题直接法边界积分方程方法的论文，我国从事固体力学边界元法研究的一些作者曾经把它作为边界元法的第一篇文献。1968年Cruse和Rizzo就发表了弹性动力学问题直接法边界积分方程方法的文章[1, 2]。弹性动力学问题在重大工程问题中广泛存在，因此弹性动力学是固体力学边界元法中最重要的研究领域之一。在近年Aliabadi的边界元法专著[3]中也有专门的一章。

上述最早的弹性动力学边界积分方程方法的文献将边界元结合Laplace变换，然后求解变换域中的椭圆型方程，后来Manolis和Beskos对其做了一些改进[4]。时间－空间域边界元描述最早是由Cole、Kosloff和Minster于1978年对反平面问题给出的[5]，后来Niwa、Kobayashi和Kitahara给出了一般形式的描述[6]。进一步的改进还可见于Antes[7]，Karabalis和Beskos[8]，以及Mansur等的文献[9]。

基于弹性动力学方程的问题除弹性波问题之外还有弹性体振动问题。主要对于后者，Nardini和Brebbia基于弹性静力学描述导出了质量阵和刚度阵[10]，后来发展成为双重互易法，用于将惯性力的域内积分化为边界积分。弹性动力学边界元法在广泛的应用中受到重视，还进一步发展了用于土壤－结构相互作用和动态断裂力学的方法。

弹性动力学传统的时空域边界积分方程采用含时间的基本解、基于动力学互等定理来建立。该基本解是在无限弹性空间某点于某瞬时作用单位集中力脉冲的解，其中不仅含有压力波、剪切波，还有波速介于两者之间的Laplace波。

i此项研究得到国家自然科学基金资助（10602029）

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本文采用建立边界积分方程的一般方法，由加权余量格式从弹性动力学偏微分方程初边值问题出发，导出一种新的时空域边界积分方程。方程中只利用某瞬时会聚于弹性体边界某点的球面会聚压力波和剪切波作为核函数，使方程显著简化，从而使建立的边界元法具有更高的计算效率。 弹性动力学传统的时空域边界积分方程

弹性动力学传统的时空域边界积分方程采用弹性动力学方程含时间的基本解、基于弹性动力学的互等定理来建立。

1. 弹性动力学含时间的基本解 弹性动力学传统的时空域边界积分方程所采用的含时间基本解所满足的方程是

()),(Q)(P,,22,2221t u u c u c c ki s ki s

jj ki s ij kj τδρρρ∆∆−=−+−

(1)

其中()s

P, ;

Q, kj u t τ的物理意义是τ瞬时作用在无限弹性体中一点P 沿k x 方向的单位集中力脉冲所引起的弹性体任意一点Q 在t 瞬时j x

方向的位移分量；

12 c c =

，分别为压力波和剪切波的波速，ρ为弹性材料的密度，ki δ是Kronecker δ， (), t τ∆，()P, Q ∆为Dirac ∆函数，

()()()()()(), 0 , , d , d 1

P, Q 0 P Q, P, Q d Q 1

V

t t t t t V τττττ∞

∞

−∞

−∞

∆=∀≠∆=∆=∆=∀≠∆=∫∫∫

该基本解的具体公式为

()()s

2122221221221P,

Q, 3,,H H 411 +,,, ,

,

ki k i ki ki k i t r r u t r r t t r c c r r r

r

r r t t t c c c c c c τδπρδ⎧⎡⎤

⎛⎞⎛⎞′

⎪′′;=−−−−⎢

⎥⎨⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪⎣⎦

⎩⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎪

′′′∆−∆+∆⎢⎥⎬⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝

⎠⎪⎣⎦⎭

(2)

式中t t τ′=−，H 为Heaviside 函数，

()()()1 H , H , d 0 t t a

t a t a t a t t a

′−∞

′∀>⎧′′=−=∆⎨′∀<⎩∫。

与上述基本解相应的面力基本解为

()21221

P,

q, ,2,2,,4 2,,22,S ki ki i k k i k i k i

k i r r t t r n r n r r r r n r n c r r r r n r n r r r c ψχχτδπ

χψχχ⎡∂∂∂⎛⎞⎛⎞

⎛⎞;=−+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎢∂∂∂⎝

⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞−+−−−⎥⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎥⎝⎠⎦

(3)

其中

2

232122222111H H ,

213, , c r r r

t t t t c c r c r c r r t t r c r c c ψ∆χψ∆∆⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞

′′′′=−−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎛⎞⎛⎞′′=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∆+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛′∆+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∆+⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛′∆−−=∂∂⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∆+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

′∆−−=∂∂111

12

2222

2222,,1,,13,,1c r t c r c r

t r c c c r t c r c r t r r r c

r

t c r c r t r r r χχ

χψ