二重积分的计算

©
(1,1)
y x
x
二重积分的计算法
y
1
0
1
dx sin y 2dy
x
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
y 2
1
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
0
0 1
0
1 1 1 2 2 sin y dy (1 cos 1) 2 2 0
d

2 ( )
1 ( )
o f (r cos , r sin )r d r

r 1 ( )
r 2 ( )
0 r ( ) 特别, 对 D : 0 2

o
r 1 ( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
1
x
二、在极坐标系下计算二重积分 若积分区域 D是与圆域有关的区域或者被积函数为
y f ( x 2 y 2 )、f ( xy)、f ( x ) 等形式,用极坐标计算二重积分更
简便．为此只要我们找到极坐标系下二重积分与直角 坐标系下二重积分的关系, 就可以在极坐标系下讨论 二重积分 f ( x, y)d 的计算。
©
x 例3.化 f ( x, y)d 为二次积分,其中D为y x 、 轴和
2 3
( x 2)2＋( y 1)2 1 x 2 所围图形． y 2 y x3 x2 解：所围区域 D为Y型区域, ( x 2) 2＋( y 1) 2 1 D x o 3
D
D:
0 y 1, y 2 x 2 2 y y 2
y2 y 2Hale Waihona Puke Baidux x 2a
x a a2 y2 y 2ax x
2
O
a
a
2a
x
原式= dy
0
a a2 y2 f ( x, y2 2a
2 2
y ) dx
2a 2a y 2 f ( x, 2a
dy
0
©
a
2a
a a y
f ( x , y )dx dy a
sin x d x
0
©

2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
xyd , 其中D(如图)是抛物线 y x 2 及直 例2. 计算
线 x y
D
所围成的闭区域． 解法1：若将D看成是 X 型区域,
D 可表示为 0 x 1, x 2 y x .则
f ( x, y)d
D
©
d
c
2 ( y ) f ( x, y )dy dx 1 ( y )

d
c
dy
f ( x, y)dx
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
D f ( x, y) dx d y
d x
分析 siny2 对y的积分 不能用基本积分法算出, 而它对x的积分可用基本积分法算出. 所以将二次积分先 交换积分次序. 交换积分次序的方法是:
1
1
(1) 将所给的积分域 用联立不等式表示 D: y 0 x 1, x y 1 (2) 画出积分域的草图
(3) 改写D为: 0 y 1, 0 x y o

2 0
d
©
( )
0
f (r cos , r sin ) r d r
y 1
yx
D
y x2
1
xyd d x
1
D
x
x y x2 d x 0 1 1 3 5 (x x ) d x 2 0
1 2 2 x
0 1

x2
xydy
o
x

1 x4 x6 1 1 24 2 4 6 0
©
解法2:若将 D 看成是 Y 型区域 D ,可表示为得
第九章
第二节
二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
©
一、在直角坐标系下计算二重积分
1．先对 y ,后对 x的二次积分 若积分区域 D 可以表示为
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
y 2 ( x)
y
D
oa
则称D为 X – 型区域.
a x0 b x y 1 ( x)
V f ( x, y ) d a A( x)d x
[
a
©
b
D b 2 ( x)
( x)
1
f ( x, y ) d y ] d x
我们常将上式写成
f ( x, y)d a
D
b
dx
2 ( x)
1 ( x )
y ) dx
二重积分的计算法
交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相
应的二重积分的积分区域, 并画出草图;
(2) 按相反顺序写出相应的二次积分.
©
二重积分的计算法
1990 年研究生考题, 填空, 3分
2 y2
0 dx x e
解
2
dy (
)
1 4 (e 1) 2
y 1 ( x) b
x
x
当 f ( x, y) 0 时,则 f ( x, y)d 的值是以 D 为底,
以 z f ( x, y) 为曲顶的曲顶柱体体积．
D
©
由第五章中“平行截面面积为 z 已知的立体体积”的分析过程: y 2 ( x) 任取
截面积为
平面
截柱体的
y
D
o
故曲顶柱体体积为
d y
1 0
所以
f ( x, y)d
D
©
2 2 y y 2
3 y2
f ( x, y )dx
例4 交换下列积分顺序
I d x f ( x, y ) d y
0
2
x2 2 0
2 2
2
d x
8 x 2
0
f ( x, y ) d y
x2 y2 8
D2
解：如图, 积分域由两部分组成: 2 2 x2 2 0 x2 y 1 x2 2 D1 : , D2 : D 2 1 2 0 y 2 x 0 y 8 x 将 D D1 D2 视为Y–型区域,则 D : 0 y 2,
x 2 y 2 R 2，x 2 z 2 R 2
由对称性, 所求立体体积为其在第 一卦限部分体积的8倍．第一卦限部 分(如图)的底面区域为： o 2 2 D : 0 x R,0 y R x a 曲顶为：z R 2 x 2 x 所以 V 8 R 2 x 2 dxdy 8 dx
0 y 1, y x y
xyd
D
d y
0
1
y
y
xydx 0 y x
1 2
1

2
y y
dy
1 1 1 y3 y 4 1 1 2 y( y y ) d y 2 3 4 0 24 2 0
©
二重积分的计算法
dx sin y 2dy 例 计算二次积分0 x
解 设D1 {( x , y ) 0 x 1, 0 y x},
D2 {( x , y ) 0 x 1, x y 1},
D2
D1
O
max{ x 2 , y 2 }
1
x
e
D
max{ x 2 , y 2 }
dxdy e
D1
max{ x 2 , y 2 }
I f ( x, y) d x d y d y
2
D
1
2 2 2
2 y x 8 y2
8 y 2 2y
0
f ( x, y) d x
©
二重积分的计算法
例 交换积分次序： dx
0
2a
2 ax 2 ax x
2
f ( x , y )dy (a 0)
解
y
2a
a
D
1 1 2 2 i (ri ri ) i ri i 2 2 1 (2ri ri )ri i 2 ri (ri ri ) ri i 2
r ri ri
r ri
i
i
o
A
其中ri 为ri 与 ri ri 的平均值。由此当 ri , i充分 小时，极坐标系下的面积元素d rdrd .
b a
y
2 ( x)
1 ( x)
d
x 1 ( y)
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2
D1
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
©
ri ri i
其次, 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系 x r cos y r sin 最后, 两坐标系下积分区域
D D
D 形状不变，因此有
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算．
D
首先找两坐标系下面积元素的关系。如图,极坐标 系下, 设积分区域被网格（由一族同心圆( r 常值)与 一族过极点的射线( 常值)组成 ）分割成若干个小区
©
r 域, 任取一个（其中 r介于 ri ，i i
i ， i i 之间)，则
ri 之间， 介于
i i
r 1 ( )
r 2 ( )
D
r 1 ( )

r 2 ( )
r 2 ( )
D
D

o

A
©

A
o
r 1 ( ) 0
o

A
1 ( ) r 2 ( ) 设 D: , 则
r 2 ( ) D

D f (r cos , r sin )r d r d
D D D
1
©
2

D3
D3
o
x
sin x d xd y, 其中D 是直线 例1. 计算 D x 所围成的闭区域. y yx 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D x 因此取D 为X – 型域 : x o 0 y x D: 0 x sin x x sin x d xd y dx d y D x 0 x 0
1
2
dy 1 e dx 1 dy
2 2
y
y x
1
y
y
e dx
y x
解 e dx 不能用初等函数表示,
先交换积分次序.
I
y

1
1 2
dx e d y
x
2
y x x
y x
y x2
1
1 2 1 4
1 x(e e x )dx
2
1
O
3 1 e e 8 2
©
1 2
R
D
z a
a
y
R2 x2
0
0
R 2 x 2 dy
1 3 16 3 8 ( R x ) dx 8( R R ) R 0 3 3
R 2 2 2 3
©
二重积分的计算法
2002 年研究生考题, 7分
计算二重积分
e
D
max{ x 2 , y 2 }
dxdy , 其中
y
1
D {( x , y ) 0 x 1,0 y 1}.
f ( x, y)dy
2.先对 x ,后对 y 的二次积分 若积分区域 D 可以表示为
1 ( y ) x 2 ( y ) D: c yd
y d
x 2 ( y)
x 1 ( y)
则称 D 为 Y – 型区域.
则其体积可按如下两次积分计算
c o
x
2 ( y) 1 ( y)
0 dx x e
2 y 0 0
2
2
y2
dy
dy e
y2
交换积分次序 y
2
dx

e ye
2 0 2
0
y2
×x 0 d y
dy
o
y
y x
2
y2
x
1 4 1 2 y2 2 e d( y ) (e 1) 2 2 0
©
例5.求两底半径为R的直交圆柱所围成的立体体积． 解：设两柱面方程分别为
dxdy e
D2 y2
d xd y
e dxdy e dxdy
x2
(或 2 dx e dy ) dx e dy dy e dx
x2
x x2 y2
1
x
D1 1
0
D2
1 y 0 0 0
0
0
©
e 1.
二重积分的计算法
计算积分
I
14
y x