实验差分方程

实验八差分方程

[实验目的]

1. 掌握差分的性质，多项式求和；

2. 差分方程的解法；

3. 用差分方程解代数方程；

4. 用差分方程分析国民经济。

§1 基本理论

1.差分

2. 任意数列{x n },定义差分算子Δ如下：

Δx n=x n+1-x n

对新数列再应用差分算子，有

Δ2xn=Δ(Δk x n).

性质

性质1 Δk(x n+y n)=Δk x n+Δk y n

性质2 Δk(cx n)=cΔk x n

性质3 Δk x n=∑(-1)jC j k X n+k-j

性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有Δk xn=f(k)(η) 差分方程

定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程：

x n-a1x n-1-a2x n-2-……a B x n-k=b(n=k,k+1,……)

其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0,则该方程是齐次方程

关于λ的代数方程

λk-a1λk-1-------a k-1λ-a k=0

为对应的特征方程，根为特征值。

1．实验内容与练习

2．1 差分

例1Xn={n3

可见，{n},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。

练习1 对{1}，{n},{n 2},{n 4},{n 5}, 分别求各阶差分数列。

练习2 {C 0n-1}{C 1n-1}{C 2n-1},{C 4n-1},分别求各阶差分数列. {Xn}的通项为n 的三次函数， Xn=a 3n 3+a 2n 2+a 1n+a 0 证明它为常数数列。

证明 由Xn=a 3n 3+a 2n 2+a 1n+a 0可直接计算 。

定理8。1 若数列的通项是关于n 的k 次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。

练习3 证明定理8。1 。

定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多项式，

练习4 根据插分的性质证明定理8。2 例2。求∑i 3 例3 例4

解 设Sn=∑i 3 表

设Sn=a 4n4+a 3n 3+a 2n 2+a 1n+a 0, s 1=1,s 2=9,s 3=36,s 4=100,s 5=225,得

a 0=0, a 1=0, a 2=1/4, a 3=1/2, a 4=1/4.

所以，

Sn=(1/4)n 4+(1/2)n 3+(1/4)n 2.

练习 {Xn}的通项Xn 为n 的k 次多项式，证明∑x i 为n 的 k+1次多项式；求 ∑i 4.

由练习 2 {C r n-1}可得。 2.2差分方程

对于一个差分方程，如果能找出这样的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成

为恒等式，这个通项叫做差分方程的解。

例3

对差分方程21,x x x n -5x n-1+6x n-2=0,可直接验证x n =c13n +c22n 是该方程的解。

例3中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解

叫做差分方程的通解。

若k 阶差分方程给定了数列前k 项的取值，则可以确定通解的任意常数，得到差分

的特解。

例4对差分方程x n -5x n-1+6x n-2=0,若已知x 1=1,x 2=5,则可以得到该差分方程的特解为x n =3n -2n.

我们首先研究齐次线性差分方程的求解。 x n =rx n-1 对一阶差分方程

x 1=a

显然有x n =ar n-1。因此，若数列满足一阶差分方程，则该数列为一个等比数列。 例5 求Fibonacci 数列{Fn}的通项，其中F 1=1,F 2=1,F n =F n-1+F n-2. Fibonacci 数列的前几项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。该数列有着非常广泛的应用。

Fibonacci 数列所满足的差分方程为 F n -F n-1-F n-2=0,

其特征方程为

λ2-λ-1=0 其根为λ1=

251+,λ2=2

5

1-.利用λ１λ２可将差分方程写为 F n -(λ1+λ2)F n-1+λ1λ2F n-2=0,

即

F n -λ1F n-1=λ2(F n-1-λ1F n-2)

数列｛F n -λ1F n-1｝满足一个一阶差分方程．显然

2λ-n F 2

1

1--=n n F λ(122F F λ-) 同理可得

2

112--=-n n n F F λλ (122F F λ-)

由以上两式可解出n F 的通项。

练习９ 证明若数列{n x }满足二阶差分方程02211=----n n n x a x a x ，其特征方程

02112=-=a a λλ由两个不相等的根21,λλ，则n n

21,λλ为该差分方程的两个特解。从而其

通解为n

n n c c x 2211λλ+=。

由练习9，若二阶差分方程的特征方程有两个不相等的根，可写出其通解的一般性式。再由21,x x 的值可解出其中的系数，从而写出差分方程的特解。

练习10 具体求出 Fibonacci 数列的通项，并证明25

1lim

1.+=

+∞-n

n n F F 。那么,若二阶线性

齐次差分方程有两个相等的根，其解有如何来求呢？

设二阶线性齐次差分方程的特征方程有两个相等的根λ，则差分方程可写为

022

2

1=+---n n n x x x λλ。差分方程的两边同时除以n

λ，有

-n

n

x λ

02

2

2

1

1

=+

----n n n n x x λ

λ

。设

n

n

n x y λ

=

,则0221=+---n n n y y y (n>=3)。由于该式在 n>=3式均成立,我们将它改写为

0212=+-++n n n y y y (n>=1)。 (8.2)

方程(8.2)的左边是n y 的二阶差分,从而有02=∆n y ,于是n y 是n 的 一次函数,设为

,10n c c y n +=则有n n n c c x λ)(10+=。上是即为差分方程的通解。

练习11 证明：若数列{n x } 所满足的三阶差分方程的特征方程由三个相等的根λ，则差分方程的通解为n n c c c x λλλ)(2210++=。

一般的，设,,21λλ···,l λ为差分方程的特征方程所有不同的解,其重数分别为

,,21h h ···，l h ，则差分方程对应于其中的根i λ（i=1，2，···，l ）的特解,,n

i n i n λλ···n i h l n λ1-。

对于一般的k 阶齐次线性差分方程，我们可以通过其特征方程得到上述形式的k 个特

解，进而得到差分方程的通解。

练习12 若数列{n x } 满足差分方程

)5(044324321>==+--+----n x x x x x n n n n n 且,19,2,7,64321-====x x x x 求{n x }的通项。

例6

若实系数差分方程的根为虚数，则其解也是用虚数表示的，这给讨论问题带来不便。差分方程

x n -2x n-1+4x n-2=0

的特征值为31+i.若x 1=1,x 2=3,由下面的程序易求出其特解为： x n =(i 243581--

)(1+3i)n +(－i 24

3581+)(1－3i)n Clear[x1,x2,c1,c2,l1,l2,solution];

x1=1;x2=3;

solution=Solve[1^2-2l+4==0,1]; l1=l/.solution[[1,1]]; l2=l/.solution[[2,1]];

c=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}];