初三数学九年级上《韦达定理》复习

初三数学九年级上《韦达定理》复习

一、知识回顾

1.一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1.x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知

x 1=a ac b b 242-+-,x 2=a

ac b b 242---

2.能得出以下结果：

x 1＋x 2= 即：两根之和等于

x 1•x 2= 即：两根之积等于

12x x +=a ac b b 242-+-+a

ac b b 242--- =a

ac b b ac b b 24422----+- =

12.x x =a ac b b 242-+-×a

ac b b 242--- =2

224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- =2224)(

)(a -=

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为

x 1+x 2=a

b -

， x 1x 2=a c 3.韦达定理

韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么

1212,b c x x x x a a

+=-= 4.韦达定理前提

（1）定理成立的条件0∆≥

（2）注意公式重12b x x a

+=-

的负号与b 的符号的区别 二、知识学习

（1）计算对称式的值 例1. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212x x +； (2)

1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-，121212

11x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，

12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．

举一反三

1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22

的值为_________

2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2＝

例2．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212

，则k= ; 例3．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;

例4．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;

例5.设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2

例6．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2221x 1x 1

（2）构造新方程

例7.理论：以两个数为根的一元二次方程是。（十字相

乘法） 解方程组 x+y=5 ， xy=6

解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z 1=2,z 2=3

∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3

x 2=3,y 2=2

显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围

例8. 一个三角形的两边长是方程

的两根，第三边长为2，求k 的取值范

围。

例9. 已知关于x 的方程221(1)104

x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

例10. 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．

(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2

x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．

(2) 求使1221

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．

课后练习

一、填空题

1.如果x 1.x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________.

2.一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.

3.关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.

4.若x 1.x 2是方程07x 5x 2=--的两根，那么_______________x x 2

221=+，

.________)x (x 221=-

5.已知方程0k x x 2=+-的两根之比为2，则k 的值为_______.

6.已知21x ,x 为方程01x 3x 2=++的两实根，则.__________20x 3x 221=+-

7.方程02x 5x 2=+-与方程06x 2x 2=++的所有实数根的和为___________.

8.关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.

二、选择题

9.已知a.b 是关于x 的一元二次方程01nx x 2=-+的两实数根，则式子

b a a b +的值是（ ） A.2n 2+ B.2n 2+- C.2n 2- D.2n 2

--

10.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）

A.06x x 2=-+

B.06x x 2=++

C.06x x 2=--

D.06x x 2=+-

11.设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ，且0x x 621=+，那么m 的值等于（ ） A.3

2-

B.—2

C.92

D.—92 12.点P （a,b ）是直线y=—x+5与双曲x 6y =的一个交点，则以a,b 两数为根的一元二次方程是（ ）

A. 06x 5x 2=+-

B. 06x 5x 2=++

C. 06x 5x 2=--

D. 06x 5x 2

=-+

13.已知0)2m 2()x 1(m x 2=----两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）

A.1

B.—1

C.2

D.—2 14.设α.β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++2

2

的值为（ ）