第1.4节 次序统计量及其分布数理统计

f (x)
例1(p30例1.18) 设 总 体 X 服 从 区 间 [ 0 , 1] 上 的 均
匀 分 布 , ( X 1 , X 2 , , X n )为 总 体 X 的 样 本 , 试 求 X ( k )的 分布.
解
总 体 X的 分 布 密 度 为 1, 0 x 1 f (x) 0, 其 他
n n ! f i ( y i ), f ( y1 , y 2 , , y n ) i 1 0,
T
y1 y 2 y n 其他，
证明省略
例2(p30例1.19) 设 总 体 X 服 从 区 间 [ 0 , ] 上 的 均
匀 分 布 , ( X 1 , X 2 , , X n )为 总 体 X 的 样 本 , 试 求 样 本 的联合分布.
nk
nk
f (x)
=
(x)
(1 x )
,
0 x 1.
定理1.20 设 总 体 X 的 分 布 密 度 为 f ( x )( 或 分 布 函 数
为 F ( x ), X 1 , X 2 , , X n 为 来 自 总 体 X 的 样 本 ， 则 次 序 统 计 量 ( X ( 1 ) , X（ 2）, , X（ n）) 的 联 合 分 布 密 度 为
X (1 ) 称 为 样 本 的 最 小 次 序 统 计 量 , X ( n ) 称 为 样 本 的 最大次序统计量.
T
T
2、次序统计量的性质 定理1.19 次序统计量是充分统计量
证 由充分统计量的定义可知，只需要证明其条件 分布与总体分布无关即可.由于样本具有独立性与同分 布性，因而
P { X 1 x 1 , , X n x n | X (1 ) x (1 ) , , X ( n ) x ( n ) }
n 1 n 1 ik

P { X ( i ) x X ( i 1) } P { X ( n ) x }
ik
设 v n ( x ) ( x ) 表 示 x 1 , x 2 , , x n中 不 超 过 于 x 的 个 数 . 它 表 示 的 是 总 体 X 作 n次 重 复 独 立 观 测 时 ， 事 件 { X x }出 现 的 次 数 ， 也 就 是 样 本 观 测 中 ( X 1 , X 2 , , X n ) 不 超 过 x的 个 数 ， 因 而 v n ( x ) B ( n ,
X的 分 布 函 数 为 0, x 0 F ( x) x, 0 x 1 1, x 1
fX
（ k）
(x) =
n! ( k 1 ) !( n k ) ! n! ( k 1 ) !( n k ) !
( F ( x ))
k 1
k 1
(1 F ( x ))
f (x)
说明 (1 ) 最 大 次 序 统 计 量 X ( n )的 分 布 密 度 为
fX ( x ) n [ F ( x )]
(n)
n 1
f (x)
( 2 ) 最 小 次 序 统 计 量 X ( 1 )的 分 布 密 度 为 fX ( x ) n [1 F ( x )]
(1 )
n 1
T
F ( x )), 因 此
FX (x)
(k )

n 1 ik
n 1
P { X ( i ) x X ( i 1) } P { X ( n ) x }
ik
= P {v ( x ) i } P { v ( x ) n }
= C n [ F ( x )] [1 F ( x )]
为 F ( x ), X 1 , X 2 , , X n 为 来 自 总 体 X 的 样 本 ， 则 次 序 统 计 量 ( X ( 1 ) , X（ n）) 的 联 合 分 布 密 度 为
n ( n 1 )[ F ( y ) F ( x )] n 2 f ( x ) f ( y ), x y f( X ,X ) ( x , y ) (1 ) (n) 其他， 0,
P { X (1 ) y , , X ( n ) y }

n
P { X ( i ) y } [ F ( y )]
n
i 1
( 2 )当 x y时 ，
F( X
又由于
(1)
,X(n) )
( x , y ) P { X (1 ) x , X ( n ) y }
{ X ( n ) y } { X (1 ) x , X ( n ) y } { X (1 ) x , X ( n ) y } { X (1 ) x , X ( n ) y } { x X (1 ) y , , x X ( n ) y }
i i ik n 1 ni
=
( k 1 ) !( n k ) !
因此
fX
（ k）
n!
F (x)
t
0
k 1
(1 t )
nk
d t (利 用 分 部 积 分 )
(x) =
n! ( k 1 ) !( n k ) !
( F ( x ))
k 1
(1 F ( x ))
nk
所以 , X ( 1 ) , X ( 2 ) , , X ( n ) 也都是随机变量 一般不相互独立 .
定义1.12
设 样 本 X 1 , X 2 , , X n按 由 小 到 达 的 顺 序 重 排 为
X (1 ) X ( 2 ) X ( n )
则 称 ( X (1 ) , X ( 2 ) , , X ( n ) ) 为 样 本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的 次 序 统 计 量 ， X ( k )称 为 样 本 的 第 k 个 次 序 统 计 量 ,
n为 奇 数 ，
n为 偶 数 ，
2、样本中位数的意义 样本中位数主要用来描述样本位置的特征， 具有和样本均值类似的含义，但它不受样本异常值 的影响，同时也容易计算，也可以作为总体均值的 估计. 缺点是分布不容易计算，因而在理论讨论时， 带来一定困难. 3、样本极差 定义 设 ( X ( 1 ) , X ( 2 ) , , X ( n ) ) T 为 样 本 ( X 1 , X 2 ,
-1
与总体无关，故
次序统计量是充分统计量.
3、次序统计量的分布
定理1.19 设 总 体 X 的 分 布 密 度 为 f ( x )( 或 分 布 函 数
为 F ( x ), X 1 , X 2 , , X n 为 来 自 总 体 X 的 样 本 ， 则 第 k 个 次 序 统 计 量 X k的 分 布 密 度 为
, Xn) 的次序统计量，样本的极差定义为
R X ( n ) X ( 1 ) m a x X i m in X i
1 i n 1 i n
T
其观测值为 r x ( n ) x ( 1 ) m ia x x i miin x i 1 n 1 n
4、样本极差的意义 样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散 程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受 样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以 作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛. 例3(p32例1.20) 从总体中抽取容量为6的样本， 测得样本值为 32, 65, 28, 35, 30, 29 试求,样本中位数、样本均值、样本极差、样本方差、 以及样本标准差。
fX (x)
(k )
n! ( k 1 ) !( n k ) !
[ F ( x )]
k 1
[1 F ( x )]
nk
f (x)
其 中 k 1, 2 , , n .
证
FX
(k )
根据分布函数的定义，可以得到
( x ) P { X ( k ) x } P {( X ( i ) x X ( i 1 ) X ( n ) x )
X ( k ) 取 值 为 x ( k ) ( k 1, 2 , n ),由 此 得 到 ( X (1 ) , X ( 2 ) , , X ( n ) )
T
T
T
T
T
称为样本
( X 1 , X 2 , , X n )
T
的次序统计量.
对应的 ( x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( n ) ) 称为其观测值
因而
[ F ( y )] F ( X
n
(1)
,X(n)
( x , y ) [ F ( y ) F ( x )] )
n
所以
F( X
(1 )
,X(n)
( x , y ) [ F ( y )] [ F ( y ) F ( x )] )
n
n
于是可以得到其联合分布密度为
f( X ( x, y) F( X
, Xn) 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( 2 ) X 1 [ X n X n 1 ], ( ) ( ) 2 2 2 n为 奇 数 ，
T
n为 偶 数 ，
其观测值为
x n 1 ， ( 2 ) x 1 [ x n x n 1 ], ( ) 2 (2) 2
第1.4节 次序统计量及其分布
一、次序统计量 二、样本中位数和样本极差
一、次序统计量
1、 次序统计量
设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是 从 总 体 X 中 抽 取 的 一 个 样 本 , ( x1 , x 2 , , x n ) 是 其 一 个 观 测 值 , 将 观 测 值 按 由 小 到 大的次序重新排列为 x (1 ) x ( 2 ) x ( n ) 当 ( X 1 , X 2 , , X n ) 取 值 为 ( x1 , x 2 , x n ) 时 , 定 义
2
(1)
,X(n) )
( x, y)
(1 )
,X(n) )
xy
n ( n 1)[ F ( y ) F ( x )] n 2 f ( x ) f ( y ), x y 其他， 0,
二、样本中位数和样本极差
1、样本中位数 定义 设 ( X ( 1 ) , X ( 2 ) , , X ( n ) ) T 为 样 本 ( X 1 , X 2 ,
P { X i x (1 ) , , X i x ( n ) | X (1 ) x (1 ) , , X ( n ) x ( n ) }
1 n
c
其 中 ( i1 , i 2 , , i n ) 是 (1, 2 , , n )的 一 个 置 换 ， 这 样 的 置 换 共 n ! , 因 而 c ( n !) 。 由 此 可 见 ， 此 条 件 分 布
解 总 体 X的 分 布 密 度 为
1 , 0 x f ( x) 0, 其 他 样本的联合分布为
n! n , f ( y1 , y 2 , , y n ) 0,
0 y1 y 2 y n , 其他，
定理1.21 设 总 体 X 的 分 布 密 度 为 f ( x )( 或 分 布 函 数
.
X (k ) :
样本 ( X 1 , X 2 , , X n )的第 k 个次序统计量
.
特别地，X ( 1 ) min X i 称为最小次序统计量
1 i n
Leabharlann Baidu
.
X ( n ) max X i 称为最大次序统计量
1 i n
.
注
由于每个 X ( k ) 都是样本 ( X 1 , X 2 , , X n )的函数 , , 并且它们
T
证
根据分布函数的定义可得
F( X
(1)
,X(n) )
( x , y ) P { X (1 ) x , X ( n ) y }
以下分两种情形讨论：
(1)当 x y时 ，
F( X
(1)
,X(n) )
( x , y ) P { X (1 ) x , X ( n ) y } P { X ( n ) y }