第5章5-7 离散时间随机信号

(1)输出随机过程y(n)的均值my
系统的输出响应y(n)是输出随机过程{yn}的一个取样序列，根 据遍历性假设，可以由y(n)求出{yn}的均值为
由于输入随机过程是平稳随机过程，故上式中的E[x(n-k)]等 于mx，于是上式化为
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式中，H(ej0)是系统的频率特性在ω=0时的值。因此，输出随机 过程的均值是与时间n无关的一个常量，它与输入随机过程的 均值mx成正比例关系，比例常数是系统频率特性在零频率上的 取值。
类似地，可以定义两个平稳随机过程{xn}和{yn}的互功率谱：
或
根据互相关序列的性质3(式(5.52))，可以得出互功率谱具有以下 性质： 自功率谱是实偶的，互功率谱却是复函数。因为Rxy(m)既不是偶 函数，也不是奇函数，不像Rxx(m)是实偶的。相关函数和功率谱 函数分别从相关域和频域这两个侧面去描述随机序列，它们反映 的都是随机序列的统计特性，可用于信号检测、时延分析，数字 系统设计和分析、故障诊断，信号谱分析等。
5.6 功率谱
1、自协方差序列和自相关序列的傅里叶变换和z变换
在研究确定性信号时，人们经常用傅里叶变换或Z变换对信号 进行频谱分析。现在来讨论离散随机信号的频谱分析问题。 离散随机过程是它的无限多个取样序列的集合。实际中要处 理的离散时间信号，仅仅是无限多个取样序列中的一个。即使 对于遍历性的平稳随机过程，也只能根据它的一个取样序列， 来计算出它的均值、方差、均方值、自相关序列以及协方差序 列等特征量，这些特征量都是对随机过程的时域特征的描述。 随机信号不仅不可能用确定信号的表示方法来描述，而且它 们通常都是无限时宽和无限能量的信号，因而它们的傅里叶变 换和Z变换都是不存在的。即使计算它的Z变换，得到的Z变换 往往都没有收敛域。即使有收敛域，这个Z变换对应的频谱与其 它的取样序列的频谱通常也是不同的。
但是，随机过程的自协方差序列或自相关序列却能较全面描述 随机过程的特征，包括时域特征和频域特征。因为不管用哪个 取样序列来计算自协方差序列或自相关序列，得到的结果总是 相同的。换句话说，即使是由一个取样序列计算出来的自相关 序列或自协方差序列，也能作为对随机过程的本质描述。
此外，前节曾经指出，自协方差序列和在均值等于零情况下的 自相关序列都是有限能量序列，它们的傅里叶变换和Z变换总 是存在的。因此，在对离散随机过程进行频谱分析时，要用自 协方差序列或自相关序列取代随机过程的取样序列。
第五章 离散时间随机信号
Discrete-time Stochastic Signal
5.5 相关序列和协方差序列的性质
根据相关函数和协方差函数的定义，稍加推导就可得到它们的一 些很有用的性质。我们把这些性质列举如下，以备将来参考。 考虑两个实平稳随机过程{xn}和{yn}，它们的自相关序列、自协 方差序列、互相关序列和互协方差序列分别是
例5.10 设平稳随机过程的自相关序列为
求该随机过程的功率谱。
解：
以上3个例子中得到的功率谱都是实的、非负的偶函数。
5.7 离散随机信号通过线性非移变 系统
在数字信号处理的广泛应用领域中，常常需要用线性移不变系 统对信号进行滤波或处理。这些信号通常都是遍历性平稳随机 过程的取样序列。本节讨论当这样的离散随机信号作用于一个 线性移不变系统时，系统所产生的响应，具体要讨论的是系统 输出的数字特征(均值、方差、自相关序列和功率谱)与输入的 数字特征之间的关系。 设线性非移变系统的冲激响应用h(n)表示，加在系统输入端的 离散随机信号x(n)是一个平稳随机过程(输入随机过程)的一个 取样序列，系统产生的输出信号(响应)y(n)也是一个离散随机 信号，把它看成是另一随机过程(输出随机过程)的一个取样序 列。
令r-k＝l，则式(5.72)可写成
(5.73)
式中，
(5.74)
它是系统冲激响应h(n)的(确定性)自相关序列。由式(5.73) 可以看出，系统输出随机过程的自相关序列，等于输入随机 过程的自相关序列与系统冲激响应的自相关序列的线性卷积。 由于在确定性离散时间信号作用于线性非移变系统的情况 下，系统的输出响应等于输入信号与系统冲激响应的线性卷 积，因此，现在讨论的随机性离散时间信号作用于线性非移 变系统的情况，与其非常相似。
3、功率谱的性质
(1)根据自相关序列的性质3即书本P.168 式(5.52)，一个实平稳随 机过程的自相关序列是时间差m的偶函数，即Rxx(m)＝Rxx(－m)， 由Z变换的性质可以得出功率谱的一个性质： (5.60) 即Sxx(z)的极点是关于单位圆对称的。现设Sxx(z)最接近于单位 圆的一个极点位于|z|＝Ra< 1的圆周上，那么Sxx(z)在|z|＝Ra-1>1 的圆周上必存在一个对应的极点，该极点也是最接近于单位圆 的，不过它处在单位圆外。因此，Sxx(z)的收敛域是一个包含 单位圆在内的环形区域Ra<|z|<Ra-1，这里0<Ra<1；如果Ra≥1则 Sxx(z)没有收敛域。
(2)实平稳随机过程的功率谱是非负的，即
(3)实平稳随机过程的功率谱是实函数，即 式中，*号表示复共轭。 (4)实平稳随机过程的功率谱是ω的偶函数，即
从变换域的观点看，相关函数是一座桥梁：时域(序列)→相关域 (自相关函数) →频域(自功率谱)。自相关函数将无限能量序列转 变为有限能量序列，将随机序列转变为确定性序列，从而为谱 分析铺平了道路。但是，在这过程中失去了相位信息。所以， 从频谱可以恢复出原时域信号，但从自功率谱不能恢复出原随 机序列，只能得出序列的统计特性Rxx(m)。
例5.8 假设已知零均值白噪声随机过程的自相关序列为 Rxx(m)=σ2xδ(m)，这里σ2x是随机过程的方差。求该随机 过程的功率谱。 解：由式(5.59)求得
即白噪声的功率谱是常数，并等于随机过程的方差。
例5.9 相位为平稳随机过程的正弦序列仍然是一个平稳随机过 程，它的自相关序列为
式中，A是正弦序列的振幅，ω0是正弦序列的角频率。求该正 弦序列的功率谱。 解：由式(5.61)可以计算得到
(2)输出随机过程的自相关序列Ryy(n, n+m)
由该式看出输出随机过程的自相关序列只与时间差m有关， 而与时间起点的选取(即n的选取)无关，故可将Ryy(n, n+m)表 示成Ryy(m)，上式遂化为 (5.72) 综合以上讨论可看出，输出随机过程的均值为常数，其自相 关序列只与时间差有关，故它是一个平稳随机过程。
性质2：
证明：根据定义有 Rxx(0)=E[xnxn]=E[x2n]
Cxx(0)=E[(xn-mx)(xn-mx)] =E[(xn-mx)2] =σ2x
性质3：
证明：根据定义有 Rxx(-m)=E[xnxn-m] 令n-m=n’，即n=n’+m，则上式为 Rxx(-m)=E[xn'+mxn']=Rxx(m) 根据性质1和上式，得到 Cxx(-m)=Rxx(-m)-m2x=Rxx(m)-m2x=Cxx(m) 用类似的方法不难证明Rxy(m)=Ryx(-m)和Cxy(m)=Cyx(-m)。
和 一个随机序列x(n)的自相关函数Rxx(m)与该序列的自功率谱密度函 数Sxx(ejω)也是一个傅里叶变换对。
由上式可以得到
根据自相关序列的性质2，上式即
该式说明，功率谱在一个周期内的平均值就是随机过程的平 均功率。图5.5画出了功率谱函数在一个周期内的示意图。函 数曲线Sxx(ω)在-π<ω<π频率区间所围的面积恰等于随机过程的 平均功率的2π倍即2πE[x2]。因此，Sxx(ω)具有功率密度的物理 意义。所以，功率谱实际上是指功率密度谱，有时简称为谱。
性质4：
特例： 证明：由于已假设{xn}和{yn}都是实随机过程，因此下列不等式成 立： 将左式左端展开，得到
所以 令xn=yn，则上式化简为 其余两式可用类似的方法证明。从下式开始证明。
性质5： 若yn=xn-n0，则有
证明：令n-n0=n'，根据定义和假设条件yn=xn-n0，有
根据性质1，得到 由于my=E[yn]=E[xn-n0]=mx，故上式变为
利用性质5的第一个结论，即Ryy(m)=Rxx(m)，则上式成为
性质6：
在随机过程中，两随机变量的时间间隔越大，它们的相关性越小。 时间间隔趋于无穷大的两随机变量，它们之间不再相关。这一性 质可用以下公式表示：
根据性质1，由上列两式可以得出 和
性质6说明：相关序列和协方差序列都是非周期序列，而且随 着m值的增加逐渐衰减，当m值很大时，序列值已趋近为零。 因此，相关序列和协方差序列的Z变换或傅里叶变换通常是存 在的。
不管x(n)是确定性的还是随机性的信号，对于系统来说是没有 区别的，系统的冲激响应、输入信号和输出响应之间总是存在 着下列关系：
设输入随机过程的均值、方差、自相关序列和功率谱分别为mx、 σ2x、Rxx(m)和Sxx(ejω)，现在来计算输出随机过程的相应的特征 参数，并讨论输入随机过程与输出随机过程之间这些参数的关 系。
2、功率谱的定义
协方差序列Cxx(m)的Z变换：
称为平稳随机过程的功率谱。 传统上，人们把功率谱定义成自相关序列Rxx(m)的Z变换。但那 样定义会带来不方便，因为当mx≠0时，根据式(5.57)可知，自相 关序列将不是一个有限能量序列，严格地说，它的Z变换是不存 在的。为了克服这个困难，不得不把Z变换的定义推广，即允许 在z＝1(或ω＝0) 处功率谱有一个冲激存在，因为根据Z变换的终 值定理(书本P.49)，有 这说明，在z＝1处Sxx(z)有一个极点，或者说Sxx(ejω)在ω=0处存 在一个冲激。为减少这个麻烦，常把功率谱定义为自协方差序 列的Z变换。
在0<Ra<1的情况下，由于Sxx(z)的收敛域包含单位圆，所以Rxx(m) 的傅里叶变换总是存在的，即
(5.61) 今后，把式(5.59)和(5.61)都作为功率谱的定义。注意，Sxx(ejω)是 ω的周期函数，周期是2π。式(5.61)有时称为维纳-辛欣定理。式 (5.59)和(5.61)对应的逆变换公式分别为
上面6个性质可归纳成图5.4所示的图形。记住了这个图，也就记 住了这些性质。
从这6个性质可以得出以下重要结论： (1)工程实际中常常要处理的信号是不可预知的具有无限能量的 非周期信号，这类信号不满足绝对可和条件，甚至不满足乘以 指数衰减序列后绝对可和的条件，因此它们的傅里叶变换和Z 变换都不存在。但是，如果将这类信号看成是一个离散随机过 程的取样序列，那么，由于其自相关序列和自协方差序列都是 非周期序列，而且当m趋于无穷大时，自协方差序列的值将衰 减为零，在均值等于零的条件下，其自相关序列的值也将衰减 为零，这说明自相关序列和自协方差序列都是有限能量序列， 它们的Z变换和傅里叶变换是存在的，因而可以在频域或Z域中 表示和分析这些信号。 (2)自相关序列不仅反映出随机过程中不同时刻的随机变量之间 相关性的大小，而且可以根据自相关序列求出随机过程的均值、 均方值和方差等数字特征，正如性质6、性质2所说明的那样。 因此，自相关序列或自协方差序列是较全面地描述随机过程特 性的重要参量。
性质1：
当mx=0和my=0时，Cxx(m)=Rxx(m)和Cxy(m)=Rxy(m)。
证明：根据定义有
Rxx(m)=E[xnxn+m] Cxx(m)=E[(xn-mx)(xn+m-mx)] =E[xnxn+m]-mxE[xn]-mxE[xn+m]+m2x =Rxx(m)-m2x Rxy(m)=E[xnyn+m] Cxy(m)=E[(xn-mx)(yn+m-my) =E[xnyn+m]-mxE[yn+m]-myE[xn]+mxmy =Rxy(m)-mxmy
采用这个定义，对于mx＝0的随机过程而言，由于Cxx(m)＝Rxx(m)， 所以现在的定义与传统的定义是一致的；对于mx≠0的随机过程而 言，由于Cxx(m)是有限能量序列，它的Z变换始终是存在的，所以 就无需对Z变换的定义进行推广。 在今后的讨论中，总是假定随机信号的均值为零，即使对于均值 不为零的随机信号，也可以将其均值置为零，即重新定义一个零 均值随机信号{xn}－E[xn]，这对于随机过程的频谱分析不会带来 任何影响。因此，把平稳随机过程的功率谱的定义改写成下式： (5.59) 对于该式，假定了mx=0。