统计学课件 第七章 参数估计
概率论与数理统计完整课件第七章参数估计PPT课件
n
L(1,2,,k ) L(x1, x2,, xk ;1,2,,k ) f (xi ;1,2,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ln L(1, 2 ,, k ) 0 1
ln L(1, 2 ,, k ) 0 k
该 方 程 组 的 解 ˆi ˆi (x1, x2,, xn),i 1,2,,k ,即 为 i 的 极
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数 F(x;) 形式已知，其中θ 是待估计的参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2,, X n ) ，构造一个统计量ˆ ˆ(X1, X2,, Xn) 来估 计θ，我们称ˆ(X1, X2,, Xn )为θ的点估计量，它是 一个随机变量。将样本观测值 (x1, x2 ,, xn ) 代入估计 量 ˆ(X1, X2,, Xn ) ， 就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值 ˆ(x1, x2,, xn ) ，这个数值称为θ的点估计值.
如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计 p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的 可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当 X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计 p=3/4.
第10页/共71页
定义:设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设离散型总体 X 的概率分布律为 p(x; ) ，则样本 (X1, X2,, Xn ) 的联合分布律
~~ 2n1nLeabharlann ini1n1x(i xix
x
)
2
由微积分知识易验证以上所求为μ与σ2的极大似然 估计.
第21页/共71页
• 例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为
p(x;)
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
参数估计PPT课件
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
统计学第七章-参数估计-PPT
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根
据样本数据计算得：x 105.36
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z 2
n
105.36 1.96
10 25
105.36 3.92
101.44,109.28
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
The two confidence intervals that are used extensively are the 95% and the 90%.
常用的置信水平及Ｚ值为： Z=1.96
Z=1.65
Interpretation of Confidence Intervals
For a 95% confidence interval about 95% of the similarly constructed intervals will contain the parameter being estimated.
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(正态总体、 未知、小样本)
总体均值的区间估计
(小样本)
1.假定条件
– 总体服从正态分布,且方差(２) 未知
– 小样本 (n < 30)
2. 使用 t 分布统计量
t x ~ t(n 1)
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
t 值表
横坐标：自由度， df 纵坐标：概率， p, 即曲线下阴影部分的面积; 表中的数字：相应的 |t | 界值。
(07)第7章 参数估计
STATISTICS
第 7 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 必要的样本容量的确定
7-1
统计学
STATISTICS
学习目标
1. 2. 3. 4.
估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 一个总体参数的区间估计方法 必要的样本容量的确定方法
7-2
统计学
STATISTICS
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比重称为置信水平，也叫做置信度 2. 表示为 (1 -
为总体参数未在区间内的比重
相应的 为0.01，0.05，0.10
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
2. 则，将所有样本均值标准化为t统计量：
t x n ~ t (n 1)
3. 最终，总体均值 在1-置信水平下的置信 区间为： s
x t
2
s
7 - 24
n
统计学
STATISTICS
t 分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的t分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布
2
n
或 p z
p(1 - p)
2
( 未知时)
n
统计学
STATISTICS
总体比重的区间估计
(例题分析)
解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%， z/2=1.96
p z p (1 p )
2
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 重，随机地抽取 了 100 名 下 岗 职 工，其中65人为 女性职工。试以 95%的置信水平 估计该城市下岗 职工中女性比重 的置信区间
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
统计学参数估计PPT课件
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
统计学原理：第7章 参数估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
7 - 26
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
7.2.1 总体均值的区间估计
1、正态总体、２已知，
非正态总体、大样本
2、正态总体、２未知，小样本
7 - 27
总体均值的区间估计
(1、Z分布)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可 靠性的度量，一个点估计量的可靠性是由它的 抽样标准误差来衡量的。
7 -9
抽样分布回顾
Xi ~
, 2
..X
~
,
2
n
p Z Z Z 1
2
2
p Z 2
X
X
Z 2
1
p
Z 7 - 10
2
X
X
Z
2
X
1
抽样分布回顾
p
Z
2
X
X
7 - 12
实际情况是，样本均值已知，而总体均值未知 。
x
样本均值与总体均值的距离是对称的，
若某个样本均值落在总体均值的两个标准差范围以内， 则总体均值就会被包括在以样本均值为中心左右两个标 准差的范围之内。
7 - 13
区间估计
(interval estimate)
1. 总体参数估计的一个区间： 样本统计量 加减 估计误差
统计学 第七章 参数估计
[
]
2 χα (n) （n）的α 分位数，记为k≜ n k≜
抽样分布
（3）性质 • 若X服从χ2 （n），则均值E（X）=n ，方差 D（X） =2n 。 • χ2分布具有可加性。若 X1，X2相互独立，
X1～ χ2（n1） ，X2～χ２（n2）
则（X1＋X2）～χ２（ｎ１＋n２） • 当ｎ→∞时，χ２分布渐进于正态分布
σ
2
~ χ (n −1)
2
第三节两个总体参数的区 间估计（112页）
• • • • • • • 一、两个总体均值之差的区间估计 （一）两个总体均值之差的估计：独立样本 大样本：近似于正态分布 小样本： （1）两个总体的方差均已知，近似于正态分布 （2）两个总体的方差均未知但相等，近似于ｔ分布 （3）两个服从正态分布的总体的方差均未知且不等， 但样本容量相等，近似于ｔ分布 • （4）两个总体的方差均未知且不等，样本容量也不 等，近似于ｔ分布，自由度为V
• 解：求（3）的计算步骤： • ①求样本指标：
x ＝1000小时
σ＝50 （小时）
µ x＝
σ
n
＝
50 100
＝（小时） 5
• ②根据给定的F（t）＝95%，查概率表得t＝1.96。 • ③根据∆x＝t×µx＝1.96×5＝9.8，计算总体平均耐 用时间的上、下限： x − ∆ x＝1000－9.8＝990.（小时） 2 • 下限 x ＋∆ x＝1000＋9.8＝1009 .（小时） 8 • 上限 • 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的平均耐 用时间在990.2～1009.8小时之间。
f (x;θ ) 其中 θ
或概率密度为
是未知参数。 是未知参数。
如何求极大似然估 计量呢？ 计量呢？
《统计学》课件参数估计
1500
1450
1480
1510
1520
1480
1490
1530
1510
1460
1460
1470
1470
5 - 30
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131
。根据样本数据计算得： x 1490 ， s 24.77 总体均值X 在1-置信水平下的置信区间为
统计学
STATISTICS
总体比例的区间估计
(例题分析)
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机重复抽 取 了 100 个 下 岗 职 工 ， 其 中 65 人 为女性职工。试 以 95% 的 置 信 水 平估计该城市下 岗职工中女性比 例的置信区间。
5 - 35
解：已知 n=100，p＝65% ， z/2=1.96
Px1 X x21
总体参数的区间估计必须同时具备的三个要素:
点估计值（区间的中心） 抽样误差范围（区间的半径） 置信水平/概率保证程度（1-α ）
抽样误差范围决定估计 的精度而概率保证程度 则决定估计的可靠性
统计学
STATISTICS
5.4 总体均值的区间估计
5 - 22
统计学
2. 缺点：没有考虑抽样误差的大小；没有给出估计 值接近总体参数的程度。
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大 似然法、最小二乘法等。
5 - 10
统计学
STATISTICS
评价估计量的标准
5 - 11
统计学
STATISTICS
无偏性
应用统计学课件第7章参数估计-PPT课件
解：
p1
57 200000
0.000285
p2
142 200000
0.00071
p3
157 340000
0.000461765
可参照公式给出三类儿童总体比例的置信区间。
(0.00071 0.000285) 1.96 0.000285 (1 0.000285) 0.00071 (1 0.00071)
7.2.3 、总体比例的区间估计
p ~ N ( , (1 )) n
( p Z /2
p(1 n
p)
,
p
Z
/2
p(1 p) ) n
例7.3 根据一个由某品牌250个轮胎组成的随机样 本，测试其轮胎防爆特性，发现有8%的轮胎防爆特 性不合格，是以95%的置信度估计该品牌轮胎防爆特 性不合格的比例。
查表得到： F0.02（5 7,7） 4.99 F0.97（5 7,7） 0.20
所以，根据：
得到：
s12 / s22 F / 2
2 1
22
s12 / s22 F1 / 2
1.085 4.99
2 1
22
1.085 0.20
即
们的体重数据如下(单位KG)：，，，，，，，，。假设
新生儿体重分布服从正态分布，且标准差为。试估计新
生儿体重置信度为95%的置信区间。
解：样本均值：
由于总体标准差：
x x 3.39 n
抽样标准差：
0.4, n 9, Z0.025 1.96
边际误差：
x
n
0.4 3
故新生儿体重95%的置 Z信0.025区 间n 为1.96： 03.4 0.26
A构件 6 7.2 10.2 13.2 11.4 13.6 9.2 11.2
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
统计学第7章参数估计
m a x L x 1 , x 2 , . . . , x n ; ˆ 1 , ˆ 2 ,, ˆ k L x 1 , x 2 , . . . , x n ; 1 , 2 ,, k ( 1 , 2 ,, k )
为未知参数，X1,X2,...,X是n 来自总体的简单随机样本，由 于 X1,X2,...,Xn相互独立且与总体X同分布，X1,X2,...,Xn
n
的联合密度函数或联合分布律为 f xi;1,2, ，,k对 于 i1
给定的样本观察X1,X2,...,X值n ，我们把样本的联合密度 函数或联合分布律
样本观测值为 x1, x2,..., xn试. 求参数 的极大似然估计.
需要利用抽取的样本构造样本统计量
X1,..., Xn 。其中， 称为未知参数 的点估计量，
将样本观测值 x1,..., xn 代入 的估计量中，就得到
的一个点估计值。
值得注意的是，对于不同的样本，得到的点估
计值是不同的。
设总体X的分布的函数的形式为已知(如正态分布、泊松 分布等)，但它的一个或多个参数未知，借助总体X的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题，称为参数的 点估计问题。
4
§7.1 点估计
§7.1.1 点估计概念
例 某商场每日销售金额X N(u,2) ，其中u , 2 未知
随机抽查50天的销售金额（单位：万元）：
30,27,26,38,35,22,41 …
而全部信息就由这50个数组成 .
据此,我们应如何估计 和 呢 ?
…
统计学-ch7 suyl
《统计学参数估计》课件
4
点估计例子及应用
点估计可应用于各种领域，如经济学、医学研究和市场调查中的参数估计。
区间估计
区间估计的定义和原理
区间估计是用一个区间来估计总 体参数值，表示对参数的估计有 一定的不确定性。
置信区间的计算方法
置信区间的计算方法通常基于样 本统计量和抽样分布的特性。
区间估计例子及应用
区间估计可用于估计总体均值、 比例和方差等参数，并提供参数 估计的可信区间。
《统计学参数估计》PPT 课件
统计学参数估计PPT课件。介绍统计学中参数估计的基本概念和方法。本课 程将帮助您深入了解参数估计的重要性和应用前景。
参数估计概述
什么是参数估计？
参数估计是根据样本数据推 断总体参数的过程。
参数的概念和含义
参数是总体分布中的数值特 征，可以用于描述总体的中 心位置和离散程度。
参数估计的意义和应用
参数估计可以帮助我们了解 总体，并作出统计推断和预 测。
点估计
1
点估计的定义和原理
点估计是通过一个点估计总体参数值的方法，通常使用样本统计量来估计。
2
最大似然估计法
最大似然估计法是一种常用的点估计方法，根据样本数据选择使似然函数最大化的参数值。
3
最小乘法
最小乘法是一种点估计方法，通过最小化预测值与真实值之间的差距来估计参数。
参数估计是统计学中重要的工具，可以帮助我们 了解总体和做出合理的推断。
统计学参数估计的应用前景
统计学参数估计在各个领域都有广泛的应用，可 以提供实用的数据分析和决策支持。
假设检验
1 假设检验的基本概念和原理
假设检验是通过对统计数据进行检验来评估关于总体参数的假设。
2 假设检验的步骤和方法
参数估计PPT课件
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
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STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院1.2.点估计与区间估计的区别3.4.5.STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院§7.1 参数估计的一般问题7.1.1 估计量与估计值7.1.2 点估计与区间估计7.1.3 评价估计量的标准STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院估计量与估计值统计学STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院1.–如样本均值，样本比例, 样本方差等2.3.计算出来的统计量的–如果样本均值 x =80，则80就是µ的估计值(estimator & estimated value)统计学STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院点估计与区间估计统计学STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(point estimate)1.2.虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值–一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量统计学STATISTICS(第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(interval estimate)1.2.(点估计)置信下限置信上限统计学青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院µx 95% 的样本µ-1.96 σx µ+1.96σxµ-2.58σx µ+2.58σx 90%的样本µ-1.65 σx µ+1.65σx xσx z x σµα2±=统计学STATISTICS (第三版 第三版)置信水平(confidence level)1. 将构造置信区间的步骤 重复 很多次， 置信区间包含总体参数真值 的次数所占的比例 称为置信水平 2. 表示为 (1 - α) % α 为是总体参数未在区间内的比例3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相应的 α 为0.01，0.05，0.10作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院统计学STATISTICS (第三版 第三版)置信区间(confidence interval)由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为 置信区间 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区 间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包 含总体参数的真值1.– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的 区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真 值的区间中的一个 总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院–统计学STATISTICS (第三版 第三版)置信区间与置信水平的理解1、我们用95%的置信水平得到某班学生考 试成绩的置信区间为60-80分，如何理解？ 错误的理解： 错误的理解 60-80区间以95%的概率包 含全班同学平均成绩的真值；或以95%的概 率保证，全班同学平均成绩的真值落在6080分之间。
正确的理解：如果做了多次抽样（如100 次），大概有95次找到的区间包含真值，有 5次找到的区间不包括真值。
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院统计学STATISTICS (第三版 第三版)2、真值只有一个，一个特定的区间“总是 包含”或“绝对不包含”该真值。
但是，用 概率可以知道在多次抽样得到的区间中 大概有多少个区间包含了参数的真值。
3、如果大家还是不能理解，那你们最好这 样回答有关区间估计的结果：该班同学平均成绩的置信区间是60 学平均成绩的置信区间是6060-80 分，置信度为95% 分，置信度为95%。
95%。
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院统计学STATISTICS (第三版 第三版) 点估计值置信区间(95%的置信区间)µ重复构造出µ的20个置信区间作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院统计学STATISTICS (第三版 第三版)评价估计量的标准作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院统计学STATISTICS (第三版 第三版)无偏性(unbiasedness)无偏性： 估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数ˆ) P(θ无偏 有偏AθBθˆ作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院统计学STATISTICS (第三版 第三版)有效性(efficiency)量，有更小标准差的估计量更有效ˆ) P(θθˆ1 的抽样分布有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计B Aθθˆ2 的抽样分布θˆ作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院统计学STATISTICS (第三版 第三版)一致性(consistency)一致性：随着样本量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数ˆ) P(θ较大的样本量B Aθ较小的样本量θˆ作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院统计学STATISTICS (第三版 第三版)§7.2 一个总体参数的 区间估计7.2.1 总体均值的区间估计 7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院比例方差均值总体参数样本统计量符号表示2σx p2sπµSTATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(正态总体、σ２已知，或非正态总体、大样本)统计学STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(大样本)–总体服从正态分布,且方差(σ)2.3.总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为~(0,1)x z N nσ=22()sx z x z n nαασσ±±或未知青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(例题分析)量是否符合要求。
现从某天生产的一批食品中随机抽取了102.895.4123.5107.598.4108.6101.6108.893.3101.5136.8105.097.8116.6102.2102.0100.0115.695.0102.6STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(例题分析)解：根据样本数据计算得：体，且方差已知。
总体均值µ在()28.109,44.10125=n x 该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28gx青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(例题分析)324548453934504049283436483839443934STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(例题分析)解：据计算得：()63.41,37.3736=n x 投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁x统计学STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院总体均值的区间估计(正态总体、σ２未知、小样本)统计学STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(小样本)–总体服从正态分布,但方差2.3.总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为~(1)x t t n sn=−2sx t nα±统计学STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。
建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间146014901470151015201470146015301480统计学STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(例题分析)解：根据样本数据计算得：，()2.1503,8.147616=n x 该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h ～1503.2h1490=xSTATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院总体比例的区间估计STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院2.)1(nππ−1-置信水平下的置信区间为3. 总体比例π在1-α置信水平下的置信区间为np p z p )-1(2α±统计学STATISTICS (第三版第三版)作者：张占贞作者：张占贞青岛科技大学经济与管理学院青岛科技大学经济与管理学院(例题分析)【例】某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。
采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。
试以95%的置信水平估计该小区赞成该项改革的户数比例的置信区间解：，α()(1)64%(164%)5050.7%,77.3%p p n−−=该小区赞成此项改革的户数比例的50.7%-77.3%。