齿轮系统周期运动稳定性研究

式中 , x 为量纲一扭转振动位移 ; bc 为特征长度 ;ζ为量纲
一阻尼比 ; m 为齿轮副的等效质量 ;ωn 为系统固有频率 ;ε
为啮合刚度波动幅值 ; K1 为啮合刚度的一阶谐波分量 ;
K0 为平均啮合刚度 ; f ( x) 为啮合侧隙的间隙非线性函
数 ; Pm 为平均激励力 ;α为节圆压力角 ; Pa 为交变激励力
(编辑 郭 伟)
作者简介 :唐志峰 ,男 ,1977 年生 。浙江大学现代制造工程研究 所博士研究生 。主要研究方向为检测与控制技术 。发表论文 3 篇 。项占琴 ,男 , 1946 年生 。浙江大学现代制造工程研究所教 授 。吕福在 ,男 ,1968 年生 。浙江大学现代制造工程研究所副教 授 、博士 。
延续求解周期运动的同时 ,可得到对应的 Floquet 乘子 ,并通过 Floquet 乘子随参数的变化规律来 判断周期解的分岔点参数值[3] ,进而研究周期运 动对于参数变化的稳定性及失稳分岔问题 。文成 秀等[5] 提出通过某一吸引子吸引域的形态可以定 性地判断周期运动对初值的稳定性 。本文基于上 述思想引入了一个定量指标 ,即稳定性品质因子 , 用以判断状态空间中共存的各周期吸引子对初值
λ2 = - 1. 0832 λ1 = - 0. 8844
λ2 = - 1. 2412
间隔比Biblioteka Baidun
5. 8768 4. 5870 4. 4466 4. 6000
在上述各分岔点附近 , 阻尼比发生微小变化 就能够引起周期解性态的突跳 , 系统对阻尼比的 稳定性较差 ,5 次倍周期分岔后阻尼比的间隔为 4. 600 ,与 Feigenbaum 常数[6] 相差不到 2 % ,进一 步说明了分岔点的准确性 , 可以正确地为系统参 数的选取提供参考 。 2. 2. 2 激励频率变化
K(τ) 、e(τ) 分别为啮合刚度及沿基圆切向度量的 综合误差 ;τ为时间 ;2 b 为沿啮合线上度量的侧
隙 ; c 为啮合阻尼 。系统的量纲一运动微分方程为
¨x + 2ζ·x + (1 +εco sΩt) f ( x) = Pm + Pa co sΩt (1) x = [ rb1θ1 + rb2θ2 - e(τ) ]/ bc
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设 | λ| max 为 Floquet 乘子模的最大值 , 根据 Floquet 分岔理论 ,周期解稳定性及失稳分岔方式 的判据[3 ] 如下 : 若 | λ| max < 1 , 周期解稳定 ; 若 | λ| max > 1 , 周期解不稳定 ;若 | λ| max = 1 ,周期 解处于临界稳定状态 。当一个模的最大 Floquet 乘子由 (1 ,0) 穿出单位圆时 , 周期解失稳分岔表 现为鞍结型分岔 ; 当一个模的最大 Floquet 乘子
的幅值 ; ea 为误差幅值 ; t 为量纲一时间 ;Ω为量纲一频率 。
2 系统周期解对参数的稳定性
2. 1 算法思想 对于非线性动力系统 ,可采用预测 —校正算
法[3 ,4 ] 延续求得各参数下系统的周期解及其对应 的离散状态转移矩阵 , 由离散状态转移矩阵的特 征值求得相应的 Floquet 乘子 。
为 P - 64
分岔点ζ值 0. 060 17 0. 047 77 0. 045 66 0. 045 20 0. 045 10
Floquet 乘子
λ1 = - 0. 9879
λ2 = - 1. 0079 λ1 = - 0. 9368
λ2 = - 1. 1744 λ1 = - 0. 9413
λ2 = - 1. 0388 λ1 = - 0. 9472
齿轮系统周期运动稳定性研究 ———郜志英 沈允文 董海军等
齿轮系统周期运动稳定性研究
郜志英 沈允文 董海军 刘梦军
西北工业大学 ,西安 ,710072
摘要 :针对含间隙的强非线性齿轮系统动力学模型 ,用数值方法研究了当系统参数和初始 条件变化时周期运动的稳定性 。基于 Floquet 分岔理论将预测 - 校正算法用于讨论参数变化 时周期解的稳定性 ,得到精确的分岔点参数值 ;通过胞映射法求得周期吸引子的吸引域 ,引入 稳定性品质因子用以定量分析初始条件变化时周期运动的稳定性 。该研究结果可为非线性动 力学行为的分析和齿轮系统的设计提供参考 。
δn = (ζn- 1 - ζn ) / (ζn - ζn+1 ) n = 1 , 2 , … (3) 表 1 阻尼比变化时系统的周期解分岔情况
周期解分岔
P - 2 分岔
为 P- 4 P - 4 分岔
为 P- 8 P - 8 分岔
为 P - 16 P - 16 分岔
为 P - 32 P - 32 分岔
0 引言
周期运动的稳定性问题是非线性系统动力学 行为研究的一个重要内容 ,它既包括参数的稳定 性问题 , 也 包 括 初 值 扰 动 的 稳 定 性 问 题[1] 。将 预测 —校正算法[2～4] 与 Floquet 理论结合起来 ,在
收稿日期 :2004 - 07 - 07 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (50075070)
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关键词 :非线性齿轮系统 ;周期运动 ;稳定性 ;数值分析 中图分类号 : T H113 文章编号 :1004 - 132 Ⅹ(2005) 09 - 0757 - 04
Research on Stabil ity of Periodic Motion of Gear Systems Gao Zhiying Shen Yunwen Do ng Haijun Liu Mengjun
ζ = c/ (2 mωn ) ε = K1 / K0
x - b/ bc
x > b/ bc
f ( x) =
0
- b/ bc ≤ x ≤ b/ bc
(2)
x + b/ bc
x < - b/ bc
Pm = T1 co sα/ ( rb1 bc K0 ) Pa = eaΩ2 / bc
t = ωnτ Ω = ω/ωn
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中国机械工程第 16 卷第 9 期 2005 年 5 月上半月
扰动的稳定性 。通过对强非线性单级齿轮系统周 期运动的稳定性问题进行研究 ,为选择目标周期 解所对应的参数和初始条件提供参考 。
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由 ( - 1 ,0) 穿出单位圆时 , 周期解将通过倍周期 分岔而失稳 ; 当一对模的最大 Floquet 乘子以共 轭复数在复平面内穿出单位圆时 , 周期解将经过 Hopf 型拟周期解分岔产生拟周期解 。 2. 2 计算分析 2. 2. 1 阻尼比变化
给定激励频率 Ω = 1. 0 ,阻尼比ζ从 0. 09 向 0. 04 变化 , 追踪得到一条倍周期分岔途径 , 分岔 情况见表 1 (其中 P - k 为 k 周期解 ,λ1 为模的最 大 Floquet 乘子在失稳分岔前的值 ,λ2 为模的最大 Flo quet 乘子在失稳分岔后的值) 。间隔比[6] 为
1 单级齿轮系统的非线性分析模型
单级 齿 轮 系 统 间 隙 非 线 性 动 力 学 模 型 [2 ,3 ,6 ] 如图 1 所示 。其中 , rbi 、θ、Ιi 和 T i ( i = 1 , 2) 分 别表示基圆半径 、扭转角位移 、转动惯量和扭矩 ;
图 1 单级齿轮系统间隙非线性动力学模型
No rt hwestern Polytechnical U niver sit y , Xi’an , 710072 Abstract :For t he dynamic model of st ro ngly no nlinear gear systems wit h backlash , t he stabilit y of periodic motio n was st udied by numerical met hods when t he system parameters and t he initial co ndi2 tio ns were changed. Based o n t he Floquet bif urcatio n t heo ry , t he p redict - correct met hod was used to discuss t he stabilit y of perio dic solutio ns wit h changing t he parameter s , and t he parameter values of bif urcatio n point s were o btained accurately. The at t ractio n do mains of periodic at t ractor s are o btained by using t he cell mapping met hod , and t he stabilit y factor is int roduced to quantificatio nally analyze t he stabilit y of perio dic motio n wit h changing t he initial co nditio ns. According to t he research result s , t he parameter s and t he initial co nditio ns can be p roperly selected , and t he fo undatio n will be laid for a2 nalysis of no nlinear dynamic behavior and design of t he gear systems. Key words :no nlinear gear system ;periodic motio n ; stabilit y ;numerical analysis