1.3.1圆的极坐标方程(教学设计)

1.3.1圆的极坐标方程（教学设计）

教学目标：

1、掌握极坐标方程的意义

2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程

教学重点、极坐标方程的意义

教学难点：极坐标方程的意义

教学过程：

一、复习回顾：

1、曲线与方程。

2、圆的标准方程。

3、圆的一般方程。

4、极坐标与直角坐标的互化。

平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：

⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩

⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 5、正弦定理。

6、余弦定理。

二、师生互动，新课讲解：

1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为

(a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，

的极坐标(ρ,θ)满足的条件？

解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，

则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①，

2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？

可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式.

等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.

反之，适合等式①的点都在这个圆上.

3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲

线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程

的曲线。

例1（课本P 例1）、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，

可以使圆的极坐标方程更简单？

①建系；

②设点；M （ρ，θ）

③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r

④证明或说明.

()()12343,0,,,,,,22 .

1C a C a C a C a πππ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式训练分别写出以为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程：

答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3) ρ＝-2acos θ (2) ρ＝-2asin θ

例2.求圆心在(ρ0，θ0

)，半径为r 的圆的方程

2变已知一个圆的方程是ρ＝θ-5sin θ求圆心坐标.和半径。

222225sin cos 5sin 55(()2522

5

(,),5

22x y y x y ρθθρρθρθ-+=--++=-＝两边同乘以得

＝－即化为直角坐标为

　即所以圆心为解半径是：

38cos O C ON ON ρθ例：从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。

(4,0),

4,

,

4cos C r OC CM M ON CM ON M ρθ

==∴⊥如图，圆的圆心半径连结，是弦的中点, 所以，动点的轨迹方程是＝解：

[解] 在圆周上任取一点P (如图)

设其极坐标为(ρ，θ)．

由余弦定理知：

CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ，

故其极坐标方程为

r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．

1

10(cos sin )10cos(),

26(5,),5,6π

ρθθθπ

⋅=+-解：原式可化为

＝所以圆心为半径为

2123:2cos ,:sin 20,C C ρθρθ=-+=变：已知圆圆 试判断两圆的位置关系。

221122

2212:(1)1,(1,0)1

:(112C x y O C x y O O O -+=+-==解：将两圆都化为直角坐标方程为

圆心半径为，圆心半径为所以两圆相外切。

课堂练习：

1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ C ）

()().2cos .2sin .2cos 1.2sin 144A B C D ππ

ρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫

=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

么？化为直角坐标方程是什＝、曲线的极坐标方程θρsin 42

解：

少？的两个圆的圆心距是多＝和＝、极坐标方程分别是θρθρsin cos 3

答：

4cos()4π

ρθ=-、极坐标方程所表示的曲线是( )D

（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）圆

510cos()C 3π

ρθ-、圆＝的圆心坐标是( )

（A ）(5，0) (B)（5，-3π） (C)(5，3π) (D (5，23π

)

6(2,)2A π

、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。

备用练习:

1．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，

4)2(2

2=-+y x 222224cos()4sin ,

24sin ,

4(2) 4.x y y x y π

ρθθρρθ-=+=+-=解：＝化为直角坐标系为＝即

（2）化极坐标方程)3cos(6π

θρ-= 为直角坐标方程。

2sin (4)π

π

ρθρθρθρ．说明下列极坐标方程表示什么曲线

(1)＝２cos(-) (2)＝cos(-)43 (3)＝3 ＝６

2222323020x y x y x y x y x +-+==+==．填空：

　(1)直角坐标方程的　极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿

(2)直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿(3)直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿

(4)直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿

三、课堂小结，巩固反思：

1．曲线的极坐标方程的概念．

2．求曲线的极坐标方程的一般步骤．

3．如何求圆的极坐标方程。

4．圆的极坐标方程是什么。

四、课时必记：

圆心在(ρ0，θ0

)，半径为r 的圆的方程

五、分层作业：

A 组：

1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为________．

答：(x －2)2＋y 2＝4

2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是________．

答：2

2

3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4－θ所表示的曲线是________．

答：圆

4、（课本P15习题1。3 NO ：1（1）（3））

解析：(1)表示圆心在极点，半径为5的圆(图略)．

(3)表示过极点，圆心在⎝ ⎛⎭⎪⎫

1，π2半径为1的圆(图略)．

5、（课本P15习题1。3 NO ：2（3）（4））

222

2cos()a a r ρρθα+--=2222cos()a a r ρρθα+--=