影子价格在经济管理中的应用

B- 1b &=
1 0 0 2 1 - 1 0 - 1 2
90 80 = 55
- 25 25
30
把上 式代 入表 ( 2) , 再 用一 次对 偶单 纯形 法 , 得到 最 终表 ( 3) 。 表3 Cj 5 4 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 0 5 4 x5 x1 x2 cj - z j 5 30 20 0 1 0 0 0 0 1 0 - 1/ 5 - 1/ 5 2/ 5 - 3/ 5 - 2/ 5 3/ 5 - 1/ 5 - 11/ 5 1 0 0 0
技术经济与管理研究
2000 年第 3 期
Technoeconomics & Management Research NO. 3 2000
影子价格在经济管理中的应用
宁波大学管理学系 [ 摘 要] 利用线性规划有关 理论和实例, 讨论了影 子价格在企 业经济管理中的 作用。进 一步讨论了 线性规 划对偶问题 有无穷多最优解 时, 如何 理解影子价 格。从 而更 好 地利 用影 子 价格 为管 理 者决 策提 供 数量 化 的方 法。 [ 关键词] 线性规划; 对 偶问题; 影子价格; 最优生 产计划 Abstract: Based on some theories of the linear p rogramming and p rac tical examples, the shadowprise s effects on business management were disscussed. How to comprehend the shadowprise was made further to discuss at the case of alternative optimal dual solutions. Quantifying methods were supplied for manager by utilizing shadowprise. Key words: linear p rogramming; dual problem; shadowp rise opti mal; production planning 0 引言 一般地, 我们称线性规划对偶问题的最优解为原问题约束 条件的影子价格, 简称影子价格。设有一个线性规划问题: MaxZ= CX AX ! b X ∀0 其对偶问题为: Min = Yb YA ∀C Y ∀0 当 线性 规划 达到 最 优解 时, 有 Z* = CB B- 1 b= * ( 1) * 式中 Z 是原问题最优解时, 目标函数值; * 是对偶问题最优解时, 对偶问题目标函数值; CB 是原问题最优解时, 基变量所对应价值系数行向量; - 1 B 是原问题最优解时, 基变量对应的最优基的逆阵; * - 1 - 1 Y = CB B , 称 CB B 为单纯形乘子。 根据( 1) 式, 把资源向量 b 看成可以变化的向量, 则有 * * * -1 * * ( Z / b1 , Z / b 2 , #, Z / bm ) = CB B = y1 , y2 #, * y m ) ( 2) * * * * * 其中 ( y1 , y2 , #, y m ) = Y , Y 是对 偶问 题的 最优 解。 我们知道影子价格( 对偶问题的最优解) 是原问题最优基对 应的单纯形表中松驰变量的检验数。最优基不变, 检验数就不 会改变, 影子价格就不变。因此, 在最优基不变的基础上, 在 其它条件不 变的情况下, 由( 2) 式可知, 影子价 格是单位资源 变化, 所引起的目标函数最优值的变化。也可理解为: 每单位 第 i 种资源 对目标函数值的贡 献。 从转 让资源的角度 考虑, y I 理解为出让第 i 种资源的收益。 一般教材和文献对影子价格讨论的不多, 并且一些教材对 影子价格的 提法也不正确, 文献∃1%作了一些纠 正。本文进一 步讨论了影子价格在经济管理中的一些实际应用。并且对对偶 问题有无穷多最优解时, 讨论了如何理解影子价格。文中所用 术语或符号参见文献[ 2% 、 ∃3%和∃4% 。 1 影子价格使企业合理利用资源, 指导企业内部挖潜和革新 先看下面的一个例子: ∃例 1% 某厂在计划期内 安排生产 、 两种产品, 已知 生产单位产品所需三种资源如下表。求最优生产计划。
a 1j
( y1 , y2 , #, y m )
* * *Βιβλιοθήκη a 2j a mj=
i= 1
∋a y
ij
m
i*
( 5)
( 5) 是生产 单位该种产品所耗用 各种资源按影子价 格计算 的总成本称为隐含成本。设 Cj 是单位新产品的售价, 令
j
= c j-
i= 1
∋ a ijy i
m
*
j 为变量 xj 的检验数, j > 0 时, 表明该产品投产是合算 的。同 时决策者 考虑该种 产品定 价时, 定价一 定大于隐 含成 本, 这样企业才会增加收益。 3 影子价格在价格变动或工艺改进中的作用 当产品价格变动时, 利用影子价格分析资源紧缺情况。例 如例 1 中产品的售价不是( 5, 4) 而是( 5, 5) , 则从最终单纯形 表中算出影子价格将从( 0, 1, 3) 改变为:
1 2- 5
Y= C BB - 1 = ( 0, 5, 5) 0 1 - 1 = ( 0, 0, 5)
0- 1 2
第三种资源影子价格由 3 变为 5, 说明 价格改变后, 第三种资 源更紧缺了。 影子价格可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益。如 工艺改变后, 第三种资源能节约 2 % , 则带来的经济收益将是
最优生产计划变为生产产品 30 件, 产品 20 件, 最大 利润为 230, 比原来增加了 15 。资源 1 的影子价格为 3 / 5, 资 源 1 变成了紧缺资源。 2 影子价格在新产品投入和定价上的作用 企业在新产品投产之前, 可以利用影子价格, 通过分析新 产品使用资源的经济效果, 以决定新产品是否投产, 以及如何 合理地确定新产品的价格。 * 设 yi ( i= 1, 2, #, m) 是第 i 种资源的影子价格, a ij ( i= 1, 2, #, m) 是单位新产品第 ij 种资源的数量, 则
臧运华
表1 原料1 原料2 原料3 利润 1 2 1 5 3 1 1 4 总量 90 80 45
建立如下线性规划模型: MaxZ= 5x1 + 4x 2 x 1 + 3x 2 ! 90 2x1 + x 2 ! 80 x 1 + x2 ! 45 x1 、x2 ∀0 对模型用单纯型法求解, 得最终单纯形表( 2) 。 表2 CB 0 5 4 Cj XB x3 x1 x2 cj - z j b 25 35 10 5 x1 0 1 0 0 4 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 2 1 - 1 - 1 0 x5 - 5 - 1 2 - 3
3 ( 45 ( 2%= 2 7。 4 影子价格在资源合理再分配上的作用 影子价格反映了资源在特定使用环境中的价值, 同一资源 在不同 企业, 影 子价格不 尽相同 , 就是 在同一 企业不同 的车 间, 资源的影子价格也不完全一样。它随着使用环境的变化而 变化。根据影子价格在不同使用环境中的数值, 对资源数量进 行调整, 可使资源的使用效果更好。例略。 5 对偶问题有无穷多最优解时, 影子价格对目标值的影响 当对偶问题有无穷多最优解时, 如何理解影子价格对最优 目标值的影响, 通过下面实例加以说明。 ∃例 2% 线性规划问题 MaxZ= 2x 1 + 3x 2 2x 1 + 2x 2 ! 12 x 1 + 2x 2 ! 8 4x 1 ! 16 4x 2 ! 12 x 1 、x 2 ∀0 解得最终单纯形表( 4) 。 表4 CB 0 2 0 3 Cj XB x6 x1 x5 x2 cj - z j b 4 4 0 2 2 x1 0 1 0 0 0 3 x2 0 0 0 1 0 0 x3 2 1 - 4 - 1/ 2 - 1/ 2 0 x4 - 4 - 1 4 1 - 1 0 x5 0 0 1 0 0 0 x6 1 0 0 0 0
0 0 0 - 3/ 2 - 1/ 8 0 上述两表均为最优解, 对偶问题对应两个最优解, Y1 * = ( 1 / 2, 1, 0, 0) , Y2 * = ( 0, 3 / 2, 1 / 8, 0) 当某种资源变化时, 对应两个影子价格, 如何确定目标函 数最优值的变化? 我们可以通 过资源变化的范围, 确定最优基 是否发生了变化, 从而确定用哪一个影子价格来衡量目标函数 最优值的变化。 综上所述, 影子价格在经济管理运行和决策中发挥着重要 的作用。在利用影子价格解决实际问题时, 要注意最优基是否 发生了变化。以上四点是在最优基不变的情况下得到的结论, 第五点是在最优基发生变化时, 对影子价格的讨论。 [ 参考文献] [ 1] 王志江 . 关于影子价格概念的几个误区 . 管理工程学报, 1999( 2) : 45- 47. [ 2] 运筹学教材编写组 . 运筹学 北京: 清华大学出版社, 1990 45- 47. [ 3] 郭耀煌等编著 . 运筹学原理与方法 成都: 西南交通大 学出版社, 1994 23- 25. [ 4] 徐永仁编 . 经济管理运筹学 . 哈尔滨: 哈尔滨工业大学 出版社, 1996 50- 56.
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资源的市场价格和单 位成本, 只有当资源的市场 价格不低于资 源的单位成本, 企业卖掉剩余资源 才是合适的; 另一方面, 通过 企业内部的改造、 挖潜和增加 对影子价格大于零 的资源的投入 后, 使原有的剩余资源又可以得到充分利用, 而变为新的紧缺资 源( 变为影子价格大于零) 。 这样不 断调整、 补充, 真正实现资源 的合 理利用 。 例 如对于 例 1 中 表( 2) 可知 , 资源 1 有剩余 x 3 = T 25, 现在增加第三种资源的投入, 设 b&= ( 90, 80, 55) ,
由最终 表可知, 最 优生产计划 为产品 I 生产 35 件 , 产品 生 产 10 件, 总 产值 Z= 215。 三种 资源 的影 子价 格分 别为 0、1、3。 从三种资源的 影子价格为( 0, 1, 3) , 说明增加第 三种资 源对增加经济效益最有利。 在处理实际问题时, 还需考虑增加单 位每种资源的代价。 此时影子价格减去相应代价之差, 越大者每 增加单位资源带来的收益就越大。 例如增加第三种资源一单位, 能使收益增加 3, 如果增加这种资源代价大于 3 就不合算了。 利用影子价格进行企业经济活动分析, 不仅可以实现资源 的最优配置, 而且可以指明企业内部挖潜的主攻方向。因为影 子价格能指出各种资源在实现企业最优目标时的影响大小。影 子价格愈高的资源表明它对收益的影响就越大, 同时也表明这 种资源对该企业来说愈稀缺和愈贵重, 企业的管理者就应该更 加重视对这种资源的利用和管理, 通过内部挖潜革新、降低消 耗或及 时补充这 种资源, 以保证 给企业 越来越 大的收益 。总 之, 对影子价格大于零的资源都应采取措施, 增加投入, 以保 证生产正常进行, 实现利润最大化。 对影子价格为零的资源, 企业的管理者也不应忽视。当某 种资源的影子价格为零时, 由线性规划互补松驰性可知: Y* Xs = 0 ( 3) 因为 Y* ∀0, Xs ∀0, 故每一分量对应乘积为零。即: * x si = 0 ( 4) yi 由( 4) 可知, yi * = 0 时, x si = 0 或 x si > 0。 因此, 某种资源的影子价格为零, 说明这种资源刚好够用或有 剩余。 当某种资源刚好够用时, 不应出售此 种资源, 否则会影响 企业正常生产计划。 当某种资源有 剩余时, 一方面, 应比较此种