3.1 分布函数及概率密度函数

即当x1 x2时，F(x1) F(x2 ).
3) F() lim F(x) 0; F() lim F(x) 1.
x
x
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第三章 连续型随机变量及其分布
4) 对任意x(,), F(x)是右连续的.
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2

⑵．PX 1 f xdx f xdx f xdx
1
1
2
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第三章 连续型随机变量及其分布
例 1（续）
2 3 4x 2x2 dx 18
2
3 2x2 2 x3
8
3 1
当 0 x 1 时，由F(1)=1，P(X<0)=0及
F (x) P( X x) P( X 0) P(0 X x) kx2
得到k=1。因此，X的分布函数为
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例： 设随机变量X在区间[0,1]上取值，这是一个 连续随机变量。当0≤a≤1时，概率P {0≤x≤ a } 与a2成正比。试求X的分布函数F(x)。
x
0
x
当0 x 1时，Fx f tdt f tdt f tdt
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第三章 连续型随机变量及其分布
例 3（续）

x
tdt

x2
0
2
x
当1 x 2时，Fx f tdt
x
F (x) f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度.
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
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5. 概率密度 f(x) 具有以下性质：
10 f (x) 0.
20

f (x)dx 1.

f (x)
1
0
x
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5. 概率密度 f(x) 具有以下性质：
30 P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1)
f (x)

x2 x1
f
(x)dx. (x1

x2 )
0 x1 x2 x
40 若f (x)在点x处连续，则有
第三章 连续性随机变量及其分布
一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布
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3.1 分布函数与概率密度函数
引例：
例 1 已知随机变量 X 的分布 律， 求P{X≤x} 的分布函数.
X -1
pk
1 4
23
11 24
解：当 x <-1 时，满足 X x 的 X 的集合为，

0
1
x
f tdt f tdt f tdt

0
1
1 tdt x 2 tdt 1 x2 2x 1
2
0
1
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第三章 连续型随机变量及其分布
例 3（续）
x
当x 2时，Fx f tdt
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3.1 分布函数与 概率密度函数
例： 设随机变量X在区间[0,1]上取值，这是一个 连续随机变量。当0≤x≤1时，概率P {0≤X≤ x} 与x2成正比。试求X的分布函数F(x)。
解：当x<0时：F(x) P(X x) P() 0 当 x 1 时: F(x) P(X x) P() 1
0, x 0;
F (x)


x
2
,0

x
1;
1, x 1.
F '(x)

f
(x)

2x,0 x 1;

0, 其他
x
F (x) f (t)dx
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4. 概率密度函数的定义：
如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负 函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有
X -1
pk
1 4
23
11 24
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1.一维随机变量分布函数定义：
给定一个随机变量X ，称定义域为 （-∞， ∞） 的实值函数：
F(x) P{X x}
X
称为 X 的分布函数．
0x
x
F(x) P{X x}
对于任意的实数 a, b (a< b) ，有：
F(x) P{X x} P{} 0.
X
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x -1
2
0 ２ ３x
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引例：
当 1 x 2 时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1,
F (x) P{X x} P{X 1} 1 . 4
X
X -1 2 3
-1 x ２ ３ x
pk 1
4
11 24
当 2 x 3时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1, 或 2
F(x) P{X x} P{X 1或X 2} 1 1 . 42
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引例：
同理当 3 x 时,
0
1
2
x
f tdt f tdt f tdt f tdt

0
1
2
1
2
tdt 2 tdt
0
1
1
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第三章 连续型随机变量及其分布
例 3（续）
综上所述，可得随机变 量 X 的分布函数
1 2
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第三章 连续型随机变量及其分布
例2
设连续型随机变量 X 的分布函数为
Fx 1 1 arctgx
2
试求 X 的密度函数．
x
解：
设 X 的密度函数为 f x，则
f x Fx 1 1
0
x0
x2
Fx

x2
2 2x
1
0 x 1 1 x 2
2
1
2 x
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内容小结
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1 x2
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x
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第三章 连续型随机变量及其分布
例3
设随机变量X的密度函数为
x 0 x 1
f x 2 x 1 x 2
0
其它
试求 X 的分布函数．
解：
x
当x 0时，Fx f tdt 0
P{a X b} P{X b} P{X a}
X
F (b) F (a).
o
a
bx
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3.1 分布函数与概率密度函数
2. 分布函数的性质
设F(x)是随机变量X的分布函数, 则
1) 0 F(x) 1;
2） F (x) 是一个不减的函数．
F(x) f (x).
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连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是 概率！我们不能认为：
PX a f a ！
连续型随机变量的一个重要特点：
设 X 是连续型随机变量，则对任意的实数a，有：
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例1（续）

0
2

得 1 f xdx f xdx f xdx f xdx


0
2
2 c 4x 2x2 dx c 2x2 2 x3 2 8 c
0

3 0 3
所以，
c3 8
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PX a 0
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例：设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
f
x

c
4x

2x2
0
0x2 其它
求：⑴．常数c； ⑵．PX 1．
解： ⑴．由密度函数的性质

f xdx 1

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F(x) P{X x} P{X 1或X 2或X 3} 1.
0,
F
(
x)

1

4 3
, ,
4 1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
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引例：
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=P{X= xk}.