第8讲 作用的轨道与群的陪集分解

yH =xhH= xH ■
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作业：P40, ３; Ｐ46, 1, 7, 9, 10.
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
• (Ⅱ) x,y∈G, Hx≠Hy Hx∩Hy= Φ。 ■ • 也称{G/H}r 为 G 关于子群 H 的右陪集空间.
•类似地有左陪集空间 {G/H}l.
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作用的轨道、Lagrange定理
• 推论1.5.3 设I,J分别是H在G中的左、右陪集 代表集，则 |I|=|J|。 • 证明: 由推论1.5.2 得 • |G|= ∑x∈I |xH| = ∑y∈J |Hy|. • 又x,y∈G有 |Hx|=|Hy| =|H||G|=|I||H|=|J||H| |I|=|J| ■ • 称推论1.5.3中的数 |I|=|J|为H在G中的指数.记 为[G:H]. • 定理1.5.4 (Lagrange定理) 设H是有限群G的 子群, 则 • |G|=[G:H]|H|。
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作用的轨道、Lagrange定理
• 设群G作用于集合M上, 在每个G—轨道中取
一个元素构成M的一个子集合I, 称为M的一个
G—轨道代表元集.
• Γ={O x : x ∈I}, 称为M的G—轨道分解.
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1.5 作用的轨道、Lagrange定理
• 设H是群G的子群,考虑H在G上的左乘作用,则 x (∈G)的H—轨道 • Ox = { hx：h∈H}=Hx • 称为H在G中的一个右陪集。 • 对称地有左陪集 xH = {xh：h∈H}。 • 记住：右陪集 Hx [左陪集 xH]就是用 x 从右 [左]边去乘H中的每一个元素而得到的G的一 个子集合。 • 陪集作为群作用的轨道，则有轨道代表元集, 称为相应的右[左] 陪集代表集。
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例 设 Tk 是平面上绕点O旋转 k/6 的变换， G={T0,T1, …,T11}， 则G是一个群。 G 在平面上的所有点集 M 上有作用。
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在群G的作用下，看一看任意一个点的运 动情况
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作用的轨道、Lagrange定理
• 定义1 设群G作用于集合M上, x ∈M,称集合 • O x = { g◦x：g∈G} • 为 x 在G作用下的轨道, 简称G—轨道。 • 定理1.5.1 设群G作用于集合M上, 则子集族 • Γ={O x : x ∈M}
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作用的轨道、Lagrange定理
•由定理1.5.1得 •推论1.5.2 设H是群G的子群, I为H在G中的右 陪集代表集，则H在G中的所有右陪集 • {G/H}r = { H x : x ∈I } •构成群G的一个分解(称为右陪集分解), 即 •(Ⅰ) G= ∪x ∈I H x ；
• 构成M的一个分解,即
• (Ⅰ) M= ∪x ∈M Ox ； • (Ⅱ) x,y∈M, Ox≠Oy Ox∩Oy= Φ。
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1.5 作用的轨道
• • • • • • •
Ox={ g◦x：g∈G}
证明 (Ⅰ)是显然的，因为 x∈ Ox ． (Ⅱ) 若有 a∈ Ox∩Oy ，则有 g, h∈G 使得 a = g◦x = h◦y x = (g-1 h)◦y, b∈Ox, 则有 f∈G 使得 b = f◦x= f◦((g-1h)◦y)=(fg-1h)◦y ∈ Oy ， Ox Oy .同理有Ox Oy . Ox = Oy . ■
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作用的轨道、Lagrange定理
• Lagrange定理的重要性： |Ｈ|│|Ｇ|。
• 问题１：１０阶群有３阶、６阶、５阶子群吗？ • 问题２：Ｓ５的１２阶子群Ｈ的指数是多少？ • 问题３：素数阶群有多少个子群？ • 命题 设HG, x, y∈G, 则 xH = yH x-1y∈H. • 证明 xH=yH (?) xh=y x-1y=h ∈H xh=y
第 8 讲
作用的轨道、Lagrange定理
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复习
群的作用
• 定义1.4.1 • 设G是群,M是非空集合,如果映射 f: G SM 是群同 态,则称 f 为G在M上的一个作用. • 当 f 是单同态时, 则称作用是忠实的。 • 定义1.4.1′ 设G是一个群,M是一个集合,若有映射 • ◦ ：Ｇ×ＭＭ，(a , x) a ◦ x. • 满足 • (1) e ◦ x = x ( x ∈M, e是G的单位元) • (2) (αβ) ◦ x =α◦(β◦x)． (α,β∈G, x ∈M ) • 则称G在M上有群作用.