用对偶单纯形法求对偶问题的最优解

用对偶单纯形法求对偶问题的最优解

摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解.

关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形

Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of The

Dual Problem

Abstract：In the application of the linear programming，people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem. One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relations between the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem.

Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method

1 引言

首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点.

2 对偶问题的形式

对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题.

2.1对称形对偶问题

设原线性规划问题为

Max

1122...

n n

Z c x c x c x =+++

()11112211211222221122

...............0.1,2,...,n n n n m m mn n n

j a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

x j n +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪

⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩

（2.1）

则称下列线性规划问题

Max 1122...m m W b y b y b y =+++

()11112211

211222221122

...............0.1,2,...,n n n n m m mn n n

j a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y c

y j m +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪

⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩

（2.2）

为其对偶问题，其中(1,2,...,)i y i m =称其为对偶变量，并称（2.1）和（2.2）式为一对对称型对偶问题.

原始对偶问题（2.1）和对偶问题（2.2）之间的对应关系可以用表2-1表示.

这个表从横向看是原始问题，从纵向看使对偶问题.用矩阵符号表示原始问题（2.1）和对偶问题（2.2）为

CX Z =max

原问题 ⎩

⎨

⎧≥≤0X b AX （2.3）

Yb W =min

对偶问题 ⎩

⎨

⎧≥≤0Y C YA （2.4）

其中()12,,...,m Y y y y =是一个行向量.

2.2 非对称对偶问题

线性规划有时以非对称形式出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，我们从一

个具体的例子来说明这种非对称形式的线性规划问题的对偶问题的建立方法. 例1 写出下列原始问题的对偶问题

4

3214765m ax x x x x Z ++-=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=≥-≥++--≤-+--=--+)4,3,2,1(032417281473672432143214321j x x x x x x x x x x x x x j

解： 第一约束不等式等价与下面两个不等式约束

7

24321-≤--+x x x x 7

24321≤++--x x x x

第二个约束不等式照写

14

7364321≤-+-x x x x

第三个不等式变成

3

2417284321≤--+x x x x

以 12

1123,,,y y y y 分别表示这四个不等式约束对应的对偶变量，则对偶问题为 3

2211

131477min y y y y W +++-=

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--+-≥-++--≥+--≥++-0,,,4277461732252863

22111322111322

111322

11

1322111y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

令 12

111y y y =-，则上式的对偶问题变为：

3

213147m in y y y W ++-=

123123123123

231628523176

47724

,0,y y y y y y y y y y y y y y y ++≥⎧⎪-+≥-⎪⎪

-+-≥⎨⎪---≥⎪≥⎪⎩无符号限制

一般可以证明，若原问题中的某个变量无非负限制，则对偶问题中的相应约束为等式.

3 对偶单纯形法