方差分析PPT

查F表当 v1=4，v2=15时，F0.01=4.89，F=11.19>F0.01 推断：这个试验的处理平均数间是有极显著差异的。
37
(3) 各处理平均数的比较（SSR法）
单个平均数的标准误
S yi 6.73 / 4 1.297
根据 =15，查SSR表得p=2，3，4，5时的SSR0.05
y1 y2
s12
2 s2
：
yi
：
wk.baidu.com
si2
︰
2 sk
︰
yk
T=∑y
33
S
2
S
2 t
2 e
St2
Se2
s
S
2 T
34
[例] 某作物氮肥的盆栽试验，设5个处理，A施用一种氨 水，B施用另一种氨水，C施碳酸氢铵，D施尿素，E不施 氮肥。每处理重复四次（4盆）(施肥处理的施肥量每盆皆 为折合纯氮1.2克)，共5×4=20盆，随机放置于同一网室 中，作物产量(克/盆)列于表6.11，试测验各处理的差异显 著性。
• •
上一章学习了一个或两个样本平均数 本章将介绍2个以上样本平均数的假
的假设测验方法。 设测验方法——方差分析。
1
第六章
方 差 分 析
2
• 方差分析：将总变异分解， 从而评定各变异在总变异中 相对重要性的统计分析方法。
• 方差分析是科学试验分析中 的一个十分重要的工具。 方差分析与上章t测验一样，是通过将试验处 理的效应与试验误差进行比较，来进行统计 推断，只不过这里是采用方差来度量处理引 起的变异和误差引起的变异。
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二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析 若k个处理中的观察值数目不等，分别为n1，n2，…，nk， 在方差分析时有关公式因ni 不相同而需作相应改变。 主要区别点如下：
与重复间变异差异是否显著？
H0： α=0.05

2 t
2 e
HA： 2 2 t e
19
s 168.00 F 20.56 s 8.17
查附表5在ν1=3，ν2=12时
F0.05=3.49
2 t 2 e
实得F＞ F0.05
差异显著。
20
将例6.1和例6.3的分析结果归纳在一起，列出方 差分析表如下：
1 2
s1
s2
的比值定义为F，那么F值的分布就是F分布。
s F s
2 1 2 1
15
按上述方法从正态总体中进行一系列抽样， 就可得到一系列的F值而作成一个F分布。 F分布是平均数μ=1、取值区间为[0, ∞]的 一组曲线，是偏态分布曲线，曲线的形状决 定于ν1和ν2 。 F分布一定区间的概率可以从已制成的F值表 中查出（附表5，见361页）。表中给出了各 种ν1、ν2下右尾概率α=0.05、α=0.01显 著水平时的临界F值。
0.05
0.01
A AB
A
C
18
14
c
c
BC
C
29
三、新复极差法
新复极差法（SSR法），与q法相似。计算 LSRα值查的是SSRα值(附表8)而不是q表。
LSR S SSR yi
LSRα值 SSR 0.05 3.08 SSR 0.01 4.32 LSR0.05 4.40
P 2
LSR0.01 6.18
5
3.31
4.58
4.29
5.94
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施肥效果的显著性 处理 尿素 碳酸氢铵 氨水1 氨水2 平均产量 31.5 28.5 27.0 24.0 差异显著性 5% 1% A AB AB BC
a ab bc c
不施
20.0
d
C
推断：根据多重比较结果可知，施用氮肥(A、B、C、D)与
不施氮肥有显著差异，且施用尿素、碳酸氢铵、氨水1与不 施氮肥均有极显著差异；尿素与碳酸氢铵、碳酸氢铵与氨 水1、氨水1与氨水2处理间均无显著差异。
32
一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析 单向分组资料是指观察值按一个方向分组的资料
每组具n个观察值的k组数据的符号表 组别 1 2 ： i ： k 观察值(yij,i=1,2,…,k ; j=1,2,…,n) y11 y21 ： yi1 ︰ yk1 y12 y22 ： yi2 ︰ yk2 … … … … … … y1j y2j ： yij ： ykj … … … … … … y1n y2n ： yin ： ykn 总和 平均 方差 T1 T2 ： Ti ： Tk
sy
i
8.17 / 4 1.43
查附表7，得到当DFe=12时，p=2,3,4的qα值
28
LSRα值
P 2 3 4
q 0.05 3.08 3.77 4.20
q 0.01 4.32 5.05 5.50
LSR0.05 4.40 5.39 6.01
LSR0.01 6.18 7.22 7.87
不同药剂处理水稻苗高平均数比较(q法) 处理 D B 苗高平均数 29 23 a b 差异显著性
3
4
3.23
3.33
4.55
4.68
4.62
4.76
6.51
6.69
30
不同药剂处理水稻苗高平均数比较(SSR法) 处理 苗高平均数 差异显著性 0.05 0.01
D
B A
29
23 18
a
b c
A
AB BC
C
14
c
C
31
第三节 单向分组资料的方差分析
组内观察值数目相等的单向分组资料 的方差分析 组内观察值数目不等的单向分组资料 的方差分析 组内又分亚组的单向分组资料的 方差分析
116
T=336
29
6
1、总变异
把表中的全部观察值作为一个组，根据前面讲
过的计算平方和和自由度的公式 ，可以计算出总变 异的平方和和与自由度。
总平方和：
SST ( y y ) 2 y 2 ( y ) 2 nk
2
2 336 182 212 322 602 4 4
16
（二）F 测验
在方差分析中，F测验可用于检测某项变异因 素的效应是否存在。所以，在计算F值时，总是将 要测验的那一项变异因素作分子，而以误差变异 作分母。
17
[例6.2]测定东方红3号小麦蛋白质含量10次，
得方差为S12 =1.621,测定农大139小麦的蛋白 质含量5次,得方差S22 =0.135，两个蛋白质含 量的变异差异是否显著？ 答：比较两个变异是否显著，用F测验。 1、提出无效假设： 12 = 2
[例5.1]以A、B、C、D四种药剂处理水稻 种子，每处理四个重复，各得4个苗高观
察值(cm)，试分解其自由度和平方和。
药剂 A B C 18 20 10 苗高观察值 21 24 15 20 26 17 13 22 14 总和Ti 72 92 56 平均数 yi 18 23 14
D
28
27
29
32
35
( 1) 自由度和平方和的分解 总变异自由度DFT=nk－1=5×4－1=19 处理间自由度DFt=k－1=5－1=4
误差自由度DFe=kn－k=5×4－5=15
矫正数 C T 2 nk 526 2 /( 5 4 ) 13833 .8
SST y 2 C 24 2 30 2 212 C 402 .2
作物氮施肥盆栽试验的产量结果 处 理 A (氨水1) B (氨水2) C (碳酸氢铵) D (尿素) E (不施肥) 观察值 24 30 28 26 27 24 21 26 31 28 25 30 32 33 33 28 21 22 16 21
Ti
108 98 114 126 80 526
yi
27.0 24.5 28.5 31.5 20.0 26.3
a
0.01
A AB
B C
26
b
c c
C
二、 q 法
q 测验法（复极差法）是将k个平均数
由大到小排列后，根据所比较的两个处理 平均数的差数是几个平均数间的极差分别 确定最小显著极差LSRα值的。
LSR q S
i
yi
sy
S
2 e
n
27
[例6.5] 试以q法测验各种药剂处理的苗高 平均数之间的差异显著性。
与SSR0.01值，将 SSR 值分别乘以Si2值，即得 LSR 值，
列于下表，进而进行多重比较。
多重比较时的 LSR 值计算 p 2 3 4 SSR0.05 3.01 3.16 3.25 SSR0.01 4.17 4.37 4.50 LSR0.05 3.90 4.10 4.22 LSR0.01 5.41 5.67 5.84
10
SSt
Ti
n
2
72 2 92 2 562 116 2 C 7056 504 4
DFt k 1 4 1 3
11
3、误差 则各观察值应该相等，由于误差是客观存在 因此，可以用重复间的差异度量误差：
表中重复间各观察值间，若不存在误差，
的，因而重复间各观察值间必然是有差异的，
SST SSt SS e , DFT DFt DFe
12
SSe=SST-SSt=602-504=98。
DFe=（kn-1）-（k-1）=15-3=12
SSt 504 s 168.00 df t 3
2 t
SS e 98 s 8.17 df e 12
2 e
13
将上述例子推广到一般，设有k个处理，每个处理 有n次重复，则资料共有nk个观察值，其数据分析 如下表。
3
第一节 方差分析的基本原理
平方和与自由度的分解 F分布与F测验
4
一、自由度和平方和的分解
总变异
变异
处理间变异+误差变异
方差 平方和除以自由度
• 方差是平方和除以自由度。要将一个试验 资料的总变异分解为各个变异，首先必须将总平 方和和总自由度分解为各个变异的相应部分。因 此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。 5 • 下面用一个例子来说明这一问题。
水稻药剂处理苗高方差分析表
变异来源 DF SS S2 F F0.05
处理间变异
误差变异 总变异
3
12 15
504
98 602
168.00
8.17
20.56
3.49
21
第二节 多重比较
上一节对试验数据通过平方和与自由 度的分解，将处理方差与误差方差作比较， 由F测验推论处理间有显著差异，对有些 试验来说方差分析已算告一段落，但对有 些试验来说，其目的不仅在于了解一组处 理间总体上有无实质性差异，更在于了解 哪些处理间存在真实差异，故需进一步做 处理平均数间的比较。 一个试验中处理平均数间比较是多重 比较。
2
2、确定显著水平：a=0.05
3、进行显著测验：
s F s
2 1 2 2
= 1.621/0.139=12.01
查F值表：F0.05=6.00 F大于F0.05, 差异显著。
18
[例6.3] 在例6.1中算得处理间方差 st2=168.00，重复间方差
2 se =8.17，具有自由度ν1=3，ν2=12。试测验处理间变异
22
方法：
最小显著差数法 q法 新复极差法
23
一、最小显著差数法
最小显著差数法，简称LSD法
LSD t s yi y j s yi y j 2S n
24
2 e
[例6.4] 试以LSD法测验各种药剂处理的 苗高平均数之间的差异显著性。
s yi y j
2 8.17 2.02 4
平方和与自由度的分解表
变异来源 处理间 DF k-1 SS S2
2
T
n
2
i

T
nk
S
2 t
误差
kn-k
SST SSt
T2 y nk
2
s
2 e
总变异
kn-1
2 ST
14
二、F分布与F测验
（一）F 分布
在一个正态总体中随机抽取两个样本， 分别求得其方差 s 2 与 s 2 ，将 2 和 2
由附表4，DFe=12时，t0.05=2.179,t 0.01=3.055 故 LSD0.05=2.179×2.02=4.40 LSD0.01=3.055×2.02=6.17
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不同药剂处理水稻苗高平均数比较(LSD法) 处理 D B A C 苗高平均数 29 23 18 14 差异显著性 0.05
其中：
( y ) nk
2
T 为矫正数，用C表示。 nk
7
总自由度： DFT=nk-1=4×4-1=15
8
2、处理效应 如果没有处理效应，表中各个处理间平均数
yi
从理论上讲均应该相等，因此，可以用
yi
来度量处理效应。
9
处理间平方和和自由度：
SS t
T n
2
i
C
DFt k 1
SSt Ti 2 n C (108 2 98 2 80 2 ) / 4 C 301.2
SSe 402 .2 301.2 101.0
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(2) F测验 方差分析 变异来源 处理间 误差 总变异 DF 4 15 19 SS 301.2 101.0 402.2 S2 F F0.05 75.30 11.19** 3.06 6.73 F0.01 4.89