公路路面不平度的数值模拟方法研究
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针对路面不平度的数值模拟问题 ,各国学者 进行了大量研究. 目前使用的方法有谐波叠加法 (或称三角级数法) [3 ,4] 、积分单位白噪声法 、滤波
器整形白噪声法[5] 以及利用 ARMA 模型的方法[2] 等 ,这些方法所得路面不平度对应的功率谱密度 与给定的功率谱密度相比都存在一定误差. 文献 [6 ]研究了利用基于频域功率谱采样的数值模拟 方法对铁路轨道的随机不平度进行的研究 ,在此 文献的基础上 , 本文通过对 GB703121986[7] 建议 的公路路面功率谱密度的拟和表达式进行研究 , 在分析了所关心的汽车固有振动频率和行驶速度 的影响后 ,获得分布在一定频率范围内的离散功 率谱密度数据 ,利用计算 、分析获得路面不平度的 离散傅立叶变换 ,进而利用离散傅立叶逆变换得 到路面不平度值. 通过对整个过程以及算例进行 分析 ,可以得出 :这种方法思路明确 、便于操作 ,并 且利用这种方法得到的路面不平度对应的功率谱 密度可以达到与给定的功率谱密度一致.
系数 ,数据取决于公路的路面等级 ,单位 :m2Πm- 1 ;
W 为频率指数 ,为双对数坐标上斜线的频率 ,它
决定路面功率谱密度的频率结构 ,取 W = 2.
由于汽车隔振系统的作用 ,使汽车对某些频
率路面激励的位移或加速度响应极小 ,所以在进
行路面不平度计算时 ,可以不考虑这些频率成分
的影响. 设需要的路面空间频率成分 (或称有效空
间频率) 的上 、下限分别为 nu 、nl ,则有[3]
Gx ( n) =
Gx ( n0 )
n n0
-W
0
nl ≤ n ≤ nu (2) 其它
有效频率上 、下限 nu 和 nl 的选取要保证使汽车
以常用速度行驶时由路面不平度激起的振动频率
范围包括汽车系统振动的主要固有频率. 假设汽 车的行驶速度为 v (单位 : mΠs) ,路面不平度的空 间频率为 n ,那么汽车轮胎受到的激振频率为 : f = vn. 若汽车振动的主要固有频率范围为 ( f l , f u ) ,可以得出路面不平度功率谱密度的有效空间 频率上 、下限 nu 、nl 分别为
图 1 为 C 级公路的路面不平度曲线 (该图的 横坐标是沿道路走向的长度 I ,纵坐标是路面相 对基准平面的高度或路面不平度 x) .
2 算 例
某轿车振动系统的固有频率分布在 017 ～ 15 Hz ,常用车速为 36 ～180 kmΠh (10～50 mΠs) . 若 取地面作用于轮胎的激励时间频率下限为 f l = 0. 5 Hz 、上限为 f u = 30 Hz ,那么在此激励的频率范 围内研究该轿车的振动可以满足要求. 由 (3) 式可 知 ,研究轿车振动时需要的空间频率的上 、下限分 别为
(4) 、(5) 可得
Δl
≤1 2 nu
= 01166 7 m L
≥1
nl
= 100 m
在本算例中 ,取Δl = 011 m、L = 40916 m ,可以满足
以上要求. 因此有 ,采样点数 N =ΔLl = 4 096 、空间
频率间隔Δn =
1 L
= 01002 44 m- 1 .
根据 GBΠT703121986 ,按照功率谱密度 ,公路
…, N - 1) ,其离散傅立叶变换有 N 个数据 ,但在
计算其功率谱密度时只需其离散傅立叶变换的前
N 2
+1
个数据 .
现在利用 (7)
、(8)
式得到了其离散
傅立叶变换的前
N 2
+
1
个数据 ,所以若要通过离
散傅立叶逆变换得出离散信号 xm ( m = 0 ,1 , …,
N - 1) ,就必须补齐其离散傅立叶变换的后部分
Key words : power spectral density ; road roughness ; Fourier transform ; sampling
汽车振动系统中包括许多非线性元件 ,为获 得准确的结果 ,需采用非线性振动模型[1] . 对于非 线性系统 ,需要在时域中进行研究. 近年来 ,主动 、 半主动控制悬架的研究已经得到了人们充分重 视 ,控制系统的反馈信号是时域信号 ,所以在进行 控制策略研究时 ,也需在时域中进行. 因为研究时 所需路面激励是时域信号 ,时域内的路面激励需 利用路面不平度数据 (空间域路面激励) 和汽车行 驶速度获得. 路面不平度可利用以下 2 种方法得 到 :1) 试验测试方法 ;2) 将给定的路面不平度功率 谱密度变换为路面不平度的方法 ,近年来这种方 法受到了广泛重视[1～5] .
nu
=
fu v
=
30 10
= 3 m- 1
nl
=
fl v
=
015 50
=
0101 m- 1
可见 ,只需在 0. 01～3 m- 1 的空间频率范围内模拟
路面不平度 ,便可覆盖该轿车振动系统的固有频
率 ,从而保证利用所得路面不平度作为激励研究
汽车的振动情况时 ,所得结论符合真实情况. 为避
免频率混叠和使有效空间频率下限 nl 准确 ,由
| Xk | =
N
2Δl
Gx
(
nk )
(
k
=
0
,1
,2
,
…,
N 2
)
(7)
上式中 , nk = kΔn.
由 (7) 式得到的只是离散傅立叶变换的模值 ,
而
Xk
是复数
,若相角为
φ k
,则有
Xk
=|
Xk |
ejφk ( k
=
0
,1
,2
,
…,
N 2
)
(8)
φ k
可以在[ 0
,2π]内随机选取.
对具有 N 个数据的离散采样 xm ( m = 0 , 1 ,
(北京航空航天大学 汽车工程系 , 北京 100083)
摘 要 : 研究了一种公路路面不平度的数值模拟新方法 ,该方法直接对给 定的公路路面不平度功率谱密度进行研究 ,经过一系列处理获得路面的不平度值. 充 分考虑了所关心的汽车固有振动频率和行驶速度影响后 ,利用该方法对 C 级公路路 面进行数值模拟 ,模拟结果表明 :利用该方法所得路面不平度的功率谱密度与给定的 功率谱密度是准确一致的.
845
逆变换便得到路面不平度
∑ xm
=
1 N
N- 1 k=0
j2πkm
Xk e N ( m
= 0 ,1 ,2 , …, N - 1)
(9)
由于上述获得路面不平度的过程是计算其功率谱
密度的逆过程 ,所以理论上可保证所得路面不平
度的功率谱密度与给定的功率谱密度准确一致.
据 ,最后对这些数据利用 (9) 式进行离散傅立叶逆 变换便得到路面不平度数据.
离散的功率谱密度
Gx
(
nk )
(k
=0
,1
,2
,
…,
N) 2
,由
(7) 式得到路面不平度的离散傅立叶变换前
N 2
+1
个模值 ,然后利用 (8) 式得出其复数形式 ,接着根
nu
=
fu v
(3)
nl
=
fl v
在计算功率谱密度时为避免频率混叠 ,距离采样
间隔Δl 应满足[8]
Δl
≤1 2 nu
(4)
若采样点数为 N ,总采样距离为 L = NΔl ,则采样
的空间频率分辨率为Δn
=
1 L
. 为保证在计算离散
的功率谱密度时其有效空间频率下限 nl 准确 ,应
有 nl ≥Δn ,即
收稿日期 : 2003203226 基金项目 :“凡舟”科研基金资助项目 (20021313) 作者简介 : 刘献栋 (1966 - ) ,男 ,河北赵县人 ,教授 ,l9236 @163. com.
© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
2第00239
年 卷
9月 第9期
北京航空航天大学学报 Journal of Beijing Univer sit y o f A er onautics and Astronautics
September 2003 Vol. 29 No19
公路路面不平度的数值模拟方法研究
刘献栋 邓志党 高 峰
关 键 词 : 功率谱密度 ; 路面不平度 ; 傅立叶变换 ; 采样 中图分类号 : U 467 ; TP 273 文献标识码 : A 文 章 编 号 : 100125965 (2003) 0920843204
Re search o n the metho d of simulating ro ad ro ughne ss numerically
=
0
,1
,2
,
…,
N 2
)
进行补齐
,于是得到
Xk
(k
= 0 ,1 ,2 ,
…,
N 2
,
N 2
+ 1 , …, N
-
1) . 对
Xk
进行离散傅立叶
© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 9 期 刘献栋等 :公路路面不平度的数值模拟方法研究
Liu Xiandong Deng Zhidang Gao Feng
(Dept . of Automobile Engineering , Beijing University of Aeronautics and Astronautics , Beijing 100083 , China)
Abstract : To obtain exact road roughness , a new method processing directly the given power spectral density was introduced. Considering the effect of the vehicle natural vibration frequency and velocity completely , the simu2 lation and analysis were done on the C grade of road using this method. The results indicate that the power spectral density of the road roughness obtained is the same as the given.
合[7] .
Gx ( n) = Gx ( n0 )
n n0
-W
(1)
式中 , n 为空间频率 ,它是波长 λ的倒数 ,表示每
米长度中包含波的周期数 ,单位 :m- 1 ,且 n > 0 ; n0
为参考空间频率 , n0 = 0. 1 m- 1 ; Gx ( n0 ) 为参考空
间频率 n0 下的路面功率谱密度 ,称为路面不平度
数据. 补齐过程 ,要根据离散傅立叶变换的特性进
行.
对任意一个具有 N 个数据点的离散信号 ,有
(6) 式所示的离散傅立叶变换 ,它是 N 个复数 ,由
N- 1
∑ (6) 式可以看出 : X0 是实数 ,且 X0 = xm ,若离 n=0
散信号经过了零均值化 ,则 X0 = 0 ; X1 与 XN - 1 、
L ≥1
(5)
nl
设 xm ( m = 0 ,1 , …, N - 1) 是路面不平度的采样数
据 ,则其离散傅立叶变换为
∑ Xk
=
N- 1
e x -
j2πkm N
m
(k
=
0 ,1 ,2 , …, N
-
1)
(6)
m=0
根据文( nk ) 的关系为
X2
与
XN
-
2
、…、X N 2
-
1
与
X
N 2
+
1
分别互成共轭.
离散
傅立叶变换对应的最大频率为 N2Δf ,为不发生频
率混 叠 现 象 常 使
fu
<
1 2Δt
=
N 2T
=
N2 Δf , 所以有
XN = 0. 2 根据离散傅立叶变换数据的上述特性 ,对由
(8)
式得到的
N 2
+ 1 个离散傅立叶变换值
Xk ( k
路面分为 A～ H 8 个等级 ,据统计我国高等级公
路基本属于 A 、B 、C 3 个等级[10] ,本文对 C 级公
路的路面不平度进行研究. C 级路面对应的 (1) 式
中路 面 不 平 度 系 数 Gx ( n0 ) 的 几 何 平 均 值 为
256 mm2Πm- 1 . 根据 nl 、nu 、Δn 的取值和 (2) 式可得
844
北 京 航 空 航 天 大 学 学 报 2003 年
1 由路面不平度的功率谱密度得到 路面不平度
大量的试验测量表明 ,路面不平度是具有零
均值 、各态历经的平稳 Gauss 随机过程[1 ,4] . 在工
程实际中 ,通常用功率谱密度来描述路面的统计
特性 ,并且路面不平度的功率谱密度可用下式拟
器整形白噪声法[5] 以及利用 ARMA 模型的方法[2] 等 ,这些方法所得路面不平度对应的功率谱密度 与给定的功率谱密度相比都存在一定误差. 文献 [6 ]研究了利用基于频域功率谱采样的数值模拟 方法对铁路轨道的随机不平度进行的研究 ,在此 文献的基础上 , 本文通过对 GB703121986[7] 建议 的公路路面功率谱密度的拟和表达式进行研究 , 在分析了所关心的汽车固有振动频率和行驶速度 的影响后 ,获得分布在一定频率范围内的离散功 率谱密度数据 ,利用计算 、分析获得路面不平度的 离散傅立叶变换 ,进而利用离散傅立叶逆变换得 到路面不平度值. 通过对整个过程以及算例进行 分析 ,可以得出 :这种方法思路明确 、便于操作 ,并 且利用这种方法得到的路面不平度对应的功率谱 密度可以达到与给定的功率谱密度一致.
系数 ,数据取决于公路的路面等级 ,单位 :m2Πm- 1 ;
W 为频率指数 ,为双对数坐标上斜线的频率 ,它
决定路面功率谱密度的频率结构 ,取 W = 2.
由于汽车隔振系统的作用 ,使汽车对某些频
率路面激励的位移或加速度响应极小 ,所以在进
行路面不平度计算时 ,可以不考虑这些频率成分
的影响. 设需要的路面空间频率成分 (或称有效空
间频率) 的上 、下限分别为 nu 、nl ,则有[3]
Gx ( n) =
Gx ( n0 )
n n0
-W
0
nl ≤ n ≤ nu (2) 其它
有效频率上 、下限 nu 和 nl 的选取要保证使汽车
以常用速度行驶时由路面不平度激起的振动频率
范围包括汽车系统振动的主要固有频率. 假设汽 车的行驶速度为 v (单位 : mΠs) ,路面不平度的空 间频率为 n ,那么汽车轮胎受到的激振频率为 : f = vn. 若汽车振动的主要固有频率范围为 ( f l , f u ) ,可以得出路面不平度功率谱密度的有效空间 频率上 、下限 nu 、nl 分别为
图 1 为 C 级公路的路面不平度曲线 (该图的 横坐标是沿道路走向的长度 I ,纵坐标是路面相 对基准平面的高度或路面不平度 x) .
2 算 例
某轿车振动系统的固有频率分布在 017 ～ 15 Hz ,常用车速为 36 ～180 kmΠh (10～50 mΠs) . 若 取地面作用于轮胎的激励时间频率下限为 f l = 0. 5 Hz 、上限为 f u = 30 Hz ,那么在此激励的频率范 围内研究该轿车的振动可以满足要求. 由 (3) 式可 知 ,研究轿车振动时需要的空间频率的上 、下限分 别为
(4) 、(5) 可得
Δl
≤1 2 nu
= 01166 7 m L
≥1
nl
= 100 m
在本算例中 ,取Δl = 011 m、L = 40916 m ,可以满足
以上要求. 因此有 ,采样点数 N =ΔLl = 4 096 、空间
频率间隔Δn =
1 L
= 01002 44 m- 1 .
根据 GBΠT703121986 ,按照功率谱密度 ,公路
…, N - 1) ,其离散傅立叶变换有 N 个数据 ,但在
计算其功率谱密度时只需其离散傅立叶变换的前
N 2
+1
个数据 .
现在利用 (7)
、(8)
式得到了其离散
傅立叶变换的前
N 2
+
1
个数据 ,所以若要通过离
散傅立叶逆变换得出离散信号 xm ( m = 0 ,1 , …,
N - 1) ,就必须补齐其离散傅立叶变换的后部分
Key words : power spectral density ; road roughness ; Fourier transform ; sampling
汽车振动系统中包括许多非线性元件 ,为获 得准确的结果 ,需采用非线性振动模型[1] . 对于非 线性系统 ,需要在时域中进行研究. 近年来 ,主动 、 半主动控制悬架的研究已经得到了人们充分重 视 ,控制系统的反馈信号是时域信号 ,所以在进行 控制策略研究时 ,也需在时域中进行. 因为研究时 所需路面激励是时域信号 ,时域内的路面激励需 利用路面不平度数据 (空间域路面激励) 和汽车行 驶速度获得. 路面不平度可利用以下 2 种方法得 到 :1) 试验测试方法 ;2) 将给定的路面不平度功率 谱密度变换为路面不平度的方法 ,近年来这种方 法受到了广泛重视[1～5] .
nu
=
fu v
=
30 10
= 3 m- 1
nl
=
fl v
=
015 50
=
0101 m- 1
可见 ,只需在 0. 01～3 m- 1 的空间频率范围内模拟
路面不平度 ,便可覆盖该轿车振动系统的固有频
率 ,从而保证利用所得路面不平度作为激励研究
汽车的振动情况时 ,所得结论符合真实情况. 为避
免频率混叠和使有效空间频率下限 nl 准确 ,由
| Xk | =
N
2Δl
Gx
(
nk )
(
k
=
0
,1
,2
,
…,
N 2
)
(7)
上式中 , nk = kΔn.
由 (7) 式得到的只是离散傅立叶变换的模值 ,
而
Xk
是复数
,若相角为
φ k
,则有
Xk
=|
Xk |
ejφk ( k
=
0
,1
,2
,
…,
N 2
)
(8)
φ k
可以在[ 0
,2π]内随机选取.
对具有 N 个数据的离散采样 xm ( m = 0 , 1 ,
(北京航空航天大学 汽车工程系 , 北京 100083)
摘 要 : 研究了一种公路路面不平度的数值模拟新方法 ,该方法直接对给 定的公路路面不平度功率谱密度进行研究 ,经过一系列处理获得路面的不平度值. 充 分考虑了所关心的汽车固有振动频率和行驶速度影响后 ,利用该方法对 C 级公路路 面进行数值模拟 ,模拟结果表明 :利用该方法所得路面不平度的功率谱密度与给定的 功率谱密度是准确一致的.
845
逆变换便得到路面不平度
∑ xm
=
1 N
N- 1 k=0
j2πkm
Xk e N ( m
= 0 ,1 ,2 , …, N - 1)
(9)
由于上述获得路面不平度的过程是计算其功率谱
密度的逆过程 ,所以理论上可保证所得路面不平
度的功率谱密度与给定的功率谱密度准确一致.
据 ,最后对这些数据利用 (9) 式进行离散傅立叶逆 变换便得到路面不平度数据.
离散的功率谱密度
Gx
(
nk )
(k
=0
,1
,2
,
…,
N) 2
,由
(7) 式得到路面不平度的离散傅立叶变换前
N 2
+1
个模值 ,然后利用 (8) 式得出其复数形式 ,接着根
nu
=
fu v
(3)
nl
=
fl v
在计算功率谱密度时为避免频率混叠 ,距离采样
间隔Δl 应满足[8]
Δl
≤1 2 nu
(4)
若采样点数为 N ,总采样距离为 L = NΔl ,则采样
的空间频率分辨率为Δn
=
1 L
. 为保证在计算离散
的功率谱密度时其有效空间频率下限 nl 准确 ,应
有 nl ≥Δn ,即
收稿日期 : 2003203226 基金项目 :“凡舟”科研基金资助项目 (20021313) 作者简介 : 刘献栋 (1966 - ) ,男 ,河北赵县人 ,教授 ,l9236 @163. com.
© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
2第00239
年 卷
9月 第9期
北京航空航天大学学报 Journal of Beijing Univer sit y o f A er onautics and Astronautics
September 2003 Vol. 29 No19
公路路面不平度的数值模拟方法研究
刘献栋 邓志党 高 峰
关 键 词 : 功率谱密度 ; 路面不平度 ; 傅立叶变换 ; 采样 中图分类号 : U 467 ; TP 273 文献标识码 : A 文 章 编 号 : 100125965 (2003) 0920843204
Re search o n the metho d of simulating ro ad ro ughne ss numerically
=
0
,1
,2
,
…,
N 2
)
进行补齐
,于是得到
Xk
(k
= 0 ,1 ,2 ,
…,
N 2
,
N 2
+ 1 , …, N
-
1) . 对
Xk
进行离散傅立叶
© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 9 期 刘献栋等 :公路路面不平度的数值模拟方法研究
Liu Xiandong Deng Zhidang Gao Feng
(Dept . of Automobile Engineering , Beijing University of Aeronautics and Astronautics , Beijing 100083 , China)
Abstract : To obtain exact road roughness , a new method processing directly the given power spectral density was introduced. Considering the effect of the vehicle natural vibration frequency and velocity completely , the simu2 lation and analysis were done on the C grade of road using this method. The results indicate that the power spectral density of the road roughness obtained is the same as the given.
合[7] .
Gx ( n) = Gx ( n0 )
n n0
-W
(1)
式中 , n 为空间频率 ,它是波长 λ的倒数 ,表示每
米长度中包含波的周期数 ,单位 :m- 1 ,且 n > 0 ; n0
为参考空间频率 , n0 = 0. 1 m- 1 ; Gx ( n0 ) 为参考空
间频率 n0 下的路面功率谱密度 ,称为路面不平度
数据. 补齐过程 ,要根据离散傅立叶变换的特性进
行.
对任意一个具有 N 个数据点的离散信号 ,有
(6) 式所示的离散傅立叶变换 ,它是 N 个复数 ,由
N- 1
∑ (6) 式可以看出 : X0 是实数 ,且 X0 = xm ,若离 n=0
散信号经过了零均值化 ,则 X0 = 0 ; X1 与 XN - 1 、
L ≥1
(5)
nl
设 xm ( m = 0 ,1 , …, N - 1) 是路面不平度的采样数
据 ,则其离散傅立叶变换为
∑ Xk
=
N- 1
e x -
j2πkm N
m
(k
=
0 ,1 ,2 , …, N
-
1)
(6)
m=0
根据文( nk ) 的关系为
X2
与
XN
-
2
、…、X N 2
-
1
与
X
N 2
+
1
分别互成共轭.
离散
傅立叶变换对应的最大频率为 N2Δf ,为不发生频
率混 叠 现 象 常 使
fu
<
1 2Δt
=
N 2T
=
N2 Δf , 所以有
XN = 0. 2 根据离散傅立叶变换数据的上述特性 ,对由
(8)
式得到的
N 2
+ 1 个离散傅立叶变换值
Xk ( k
路面分为 A～ H 8 个等级 ,据统计我国高等级公
路基本属于 A 、B 、C 3 个等级[10] ,本文对 C 级公
路的路面不平度进行研究. C 级路面对应的 (1) 式
中路 面 不 平 度 系 数 Gx ( n0 ) 的 几 何 平 均 值 为
256 mm2Πm- 1 . 根据 nl 、nu 、Δn 的取值和 (2) 式可得
844
北 京 航 空 航 天 大 学 学 报 2003 年
1 由路面不平度的功率谱密度得到 路面不平度
大量的试验测量表明 ,路面不平度是具有零
均值 、各态历经的平稳 Gauss 随机过程[1 ,4] . 在工
程实际中 ,通常用功率谱密度来描述路面的统计
特性 ,并且路面不平度的功率谱密度可用下式拟