人教版八年级下册教研专题讲义：两个正方形演绎精彩无限

两个正方形演绎无限精彩

摘要：有公共顶点或公共边的两个正方形，在大小相同或不同的情形下，通过拼接，旋转等方式展示出外在的图形美，通过图形的面积，线段的数量关系，位置关系等结论展示出图形的内在美，通过平行线，全等三角形，相似三角形等证明方式展示出结论证明方法的多样性，系统梳理有利于全面掌握，提高数学学习的效率.

关键词：正方形，旋转；面积、位置与数量.

两个有着公共顶点或公共边的正方形，通过不同的背景条件，借助旋转等方式构造出多彩的命题.现归纳如下，供学习时借鉴.

1．面积问题

例1 如图1，ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形．O 是BF 与EG 的交点．如果正方形ABCD 的面 积是9平方厘米，CG ＝2厘米，则三角形DEO 的面积是 （ ）

（A ）6.25平方厘米 （B ）5.75平方厘米 （C ）4.50平方厘米 （D ）3.75平方厘米 （第十七届“希望杯”初一赛题）

解：连接BD ，因为ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形，所以BD ∥EG ，

所以三角形DOE 和三角形BOE 是同底等高的两个三角形[1]，根据三角形的面积公式知道，这两个三角形的面积相等，因为正方形ABCD 的面积为9平方厘米，所以正方形的边长为3厘米，因此正方形BEFG 的边长为5厘米，所以正方形BEFG 的面积为25平方厘米，所以三角形BOE 的面积为4

1×25=6.25（平方厘米），所以选A. 点评：这道题，可以推广到一般性结论：不论正方形如何变化，三角形DOE 的面积都是正方形BEFG 的面积的4

1. 例2 （2013年北京模拟） 如图2边长为4的正方形ABCD 和边长为6的正方形BEFG 并排放在一起，1O 和2O 分别是两个正方形的中心（正方形对角线的交点），则阴影部分的面积 是 ．

解法1： 因为边长为4的正方形ABCD 和边长为6的正方形BEFG 并排放在一起，

所以1O B=

21×42=22，2O B=2

1×62=32，且∠1O B 2O =90°， 所以21O BO S 三角形=21×32×22=6.

解法2：过点1O 作1O H ⊥AB,垂足为H ，过点2O 作2O M ⊥BG,垂足为M ，易证四边形1O HM 2O 是直角梯形，且1O H=HB=2， 2O M=MB=3，

所以21O BO S 三角形=21×（2+3）×（2+3）-21×2×2-2

1×3×3=6.

解法3：连接2O G ，因为2O G ∥1O B ，所以21O BO S 三角形=G BO S 1

三角形，过点1O 作1O H ⊥AB,垂足为H ，所以1O H=HB=2，所以21O BO S 三角形=2

1×2×6=6. 点评：思维视角不同，得到不同的解题方法，一题多解的数学特色体现充分.直接求面积，分割图形求面积，等积转换求面积都是求三角形面积的有效方法，恰当选择，就等于选择了高效解题.

2．线段问题的探究与变式

例3 （2017山东省枣庄市）已知正方形ABCD ，P 为射线AB 上的一点，以BP 为边作正方形BPEF ，使点F 在线段CB 的延长线上，连接EA ，EC ．

（1）如图3，若点P 在线段AB 的延长线上，求证：EA=EC ；

（2）如图4，若点P 在线段AB 的中点，连接AC ，判断△ACE 的形状，并说明理由；

（3）如图5，若点P 在线段AB 上，连接AC ，当EP 平分∠AEC 时，设AB=a ，BP=b ，求a ：b 及∠AEC 的度数．

解析：

（1）

解法1：因为四边形ABCD 和四边形BPEF 都是正方形，所以CF=AP,EF=EP, ∠CFE=∠APE =90°, 所以△CFE ≌△APE ，所以EA=EC.

解法2： 连接BE ，如图3，因为四边形ABCD 和四边形BPEF 都是正方形，所以BA=BC, ∠CBE=∠ABE=135°,EB=EB,所以△CBE ≌△ABE ，所以EA=EC.

(2）△ACE 是直角三角形，理由是：

解法1： 如图4，因为P 为AB 的中点，所以PA=PB ，因为PB=PE ，所以PA=PE ，所以∠PAE=45°，

因为∠BAC=45°，所以∠CAE=90°，所以△ACE 是直角三角形；

解法2： 如图4，设正方形BFEP 的边长为a ，则PA=PB=a ，BC=2a ，

所以222210a EF CF CE =+=，22228a BC AB CA =+=，

22222a PE PA AE =+=,所以222EA CA CE +=,所以△ACE 是直角三角形；

（3）设CE 交AB 于G ，因为EP 平分∠AEC ，EP ⊥AG ，所以AP=PG=a ﹣b ，BG=a ﹣（2a ﹣2b ）=2b ﹣a ，因为PE ∥CF ，所以

BG PG BC PE =,即a

b b a a b --=2，解得：a=2b ， 所以a ：b=2：1. 解法1：如图5，作GH ⊥AC 于H ，因为∠CAB=45°，所以HG=22AG=2

2（22b-2b ） =（2﹣2）b ，因为BG=2b ﹣a=（2﹣2）b ，所以GH=GB ，GH ⊥AC ，GB ⊥BC ，

所以∠HCG=∠BCG ，因为PE ∥CF ，所以∠PEG=∠BCG ，所以∠AEC=∠ACB=45°．

解法2：如图5，连接EB ，根据题意，得BE= 2b ，BC=a=2b ，

所以BC=BE ，所以∠BEC=∠BCE ，因为PE ∥CF ，所以∠PEC=∠BCE ，所以∠PEC=∠BCE=∠AEP ， 所以∠AEC=∠PEC+∠AEP =∠PEC+∠BCE=∠BEP =45°.